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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\RE}{(O;\Vec{i},\Vec{j})}
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\def\noi{\noindent}

\newtheorem{theoreme}{Théorème}
\newtheorem{definition}{Définition}
\newtheorem{propriete}{Propriété}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\setcounter{chapter}{4}
\chapter{Dérivation}
\section{Nombre dérivé d'une fonction en point}
\noi
\begin{minipage}{14 cm}
\begin{definition}
$f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ est un réel de $I$.\\
Dire que le réel $l$ est le nombre dérivé de $f$ en $a$ signifie que :\\
la fonction $h \Ass \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ $(h \not=0)$ a pour limite $l$ en zéro. \\
On dit alors que la fonction $f$ est dérivable en $a$.
\end{definition}
On note le nombre dérivé $l$ de la fonction $f$ en $a$, $f'(a)$.\\
La quantité $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est appelée \textbf{taux de variation}. 
\end{minipage}
\begin{minipage}{5 cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(4,4)%axes
\psline{->}(0,0)(0,4) 
\psline{->}(0,0)(4,0)
\psline[linestyle=dashed](0,3)(1,3)
\psline[linestyle=dashed](1,3)(1,0)
\psline[linestyle=dashed](0,1)(3,1)
\psline[linestyle=dashed](3,1)(3,0)
\psbezier(1,3)(2,3)(2,-1)(3,1)
\psline{->}(0,0)(0,0.5) 
\psline{->}(0,0)(0.5,0)
\uput{0.1}[200](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\uput{0.1}[270](0.25,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput{0.2}[90](1,3){$A$}
\uput{0.2}[90](3,1){$B$}
\psline(0.5,3.5)(3.5,0.5)
\uput{0.1}[270](1,0){$a$}
\uput{0.1}[270](3,0){$a+h$}
\uput{0.1}[180](0,3){$f(a)$}
\uput{0.1}[180](0,1){$f(a+h)$}
\end{pspicture} % C'est fini !
\end{center}
\end{minipage}
\begin{large}\textbf{Exemples :}\end{large} 
\begin{description}
\item[$\bullet$] La fonction $f\;:\;x\Ass 2x+1$ est-elle dérivable en un réel $a$ ?\\
Pour $h \not = 0$, on peut écrire :\\
$g(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{2(a+h)+1-(2a+1)}{h}=\frac{2h}{h}=2$\\
la fonction $g$ admet $2$ comme limite en zéro ; $f$ est donc dérivable  en $a$, son nombre dérivé est $2$. 

\item[$\bullet$] La fonction  $f\;:\;x\Ass x^3-7$ est-elle dérivable en  $a=2$ ? \\
Pour $h \not = 0$, on peut écrire :\\
$g(2)=\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{{(2+h)}^3-7-(2^3-7)}{h}=\frac{12h+6h^2+h^3}{h}=12+6h+h^2$\\
la fonction $g$ admet $12$ comme limite en zéro ; $f$ est donc dérivable  en $a=2$, et son nombre dérivé est $f'(2)=12$.
\end{description} 
\section{Intérprétation du nombre dérivé}
\subsection{interprétation graphique}
\noi
Soit une fonction $f$  dérivable en $a$. On appelle $C_f$ sa représentation graphique.
On désigne par $A$ et $M$ les points de $C_f$ d'abscisse respective $a$ et $a+h$.
la droite $(AM)$ a pour coefficent directeur :
$$ \tau(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
Quand $h$ tend vers 0, ce coefficient directeur tend vers le nombre dérivé de $f$ en $a$.
\begin{theoreme}
Si $f$  est une fonction dérivable en $a$, la représentation graphique de $f$ admet au point $(a,f(a))$
une tangente de coefficient directeur $f'(a)$
\end{theoreme}
Conséquence:
\begin{propriete} Equation de la tangente \\
Si $f$ est dérivable en $a$, alors une équation de la tangente en  $M_a(a,f(a))$ à la courbe représentative de $f$ est :
$$y=f'(a)x+f(a)-af'(a)$$
\end{propriete}

\subsection{interprétation cinématique}
\noi
Un mobile se déplace sur une trajectoire rectiligne entre un point $A$ et un point $B$.\\
A chaque instant $t$ on peut associer la distance $AM=d(t)$ qui sépare le mobile du point départ $A$.\\
On définit ainsi une fonction $d\;:\;t\Ass d(t)=AM.$\\
Le rapport $\frac{d(t_0+h)-d(t_0)}{h}$ représente la vitesse \textit{moyenne} du mobile entre les instants $t_0$ et $t_0+h$.\\
Si la fonction $d$ est dérivable en $t_0$, la limite de $\frac{d(t_0+h)-d(t_0)}{h}$ quand $h$ tend vers 0 est la vitesse instantanée du mobile
à l'instant $t_0$.
\begin{definition}
La vitesse instantanée d'un mobile à l'instant $t_0$ est le nombre dérivée en $t_0$ de la fonction horaire du mobile.
\end{definition}

\subsection{Approximation affine :}
\noi
\section{Fonction dérivée}
\noi Si une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est dérivable en tout point de $I$ on dit que la fonction est dérivable sur $I$.\\
\begin{large}\textbf{Exemples :}\end{large} \\
\noi $\bullet $ Fonction carré $f\; : \; x \Ass x^2$. \\
Pour tout $x_0 \; \in \; \R$ le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ est $2x_0$ ; la fonction 
$$         \begin{array}{ll}
	f'  : \R \rightarrow \R  \\
	x \Ass 2x 
	\end{array}$$  est la fonction dérivée de $f$. \\
le nombe dérivé de $f$ en 3 est donc $f'(3)=6$.\\
\noi $\bullet $ Fonction affine $f\; : \; x \Ass mx+p$.\\
Pour tout $x_0 \; \in \; \R$ le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ est $m$ ; la fonction 
$$         \begin{array}{ll}
	f'  : \R \rightarrow \R  \\
	x \Ass m
	\end{array}$$  est la fonction dérivée de $f$. \\

\section{Opérations sur les fonctions dérivables}
\noi $u$ et $v$ sont deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$.
\subsection{Addition et multiplication}
Les fonctions $u+v$, $ku$ ($k \in \R$) et $uv$ sont dérivables sur $I$ et on a :
\begin{description}
\item[$\bullet$] $(u+v)'=u'+v'$
\item[$\bullet$] $(ku)'=ku'$
\item[$\bullet$] $(uv)'=u'v+uv'$
\end{description} 
\textbf{Dérivée de $u^n$ :}\\
Si $u=v$ on $(u^2)'=u'u+uu'=2u'u$. \\
D'autre part $(u^3)'=(uu^2)'=u'(u^2)+u(2u'u)=3u'u^2$.\\
Plus généralement, pour tout entier $n\geq 2$, $(u^n)'=nu'u^{n-1}$.\\
En particulier si $u(x)=x$ on obtient  :  \\
la fonction $f:x\Ass x^n$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=nu'(x){[u(x)]}^{n-1}=nx^{n-1}$
\subsection{Division et inverse :} 
\noi Si $u$  est une  fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$,\\
 \noi et si $v$ est une  fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ telle que pour tout $a\; \in \; I\; ,\; v(a) \not = 0$,\\
\noi alors les fonctions $\frac{1}{v}$ et $\frac{u}{v}$ sont des fonctions dérivables sur $I$ et on a :
\begin{description}
\item[$\bullet$] $\left( \frac{1}{v}\right) '=-\frac{v'}{v^2}$
\item[$\bullet$]  $\left( \frac{u}{v}\right) '=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.\\
\end{description} 

\noi \textbf{Principe de la démonstration :}\\
Pour $h \not =0$ et $a \in I$  on a :
$$
\begin{array}{l}
\tau_a(h)=\frac{1}{h}\left[ \frac{1}{v(a+h)}-\frac{1}{v(a)}\right] \\
\\
\tau_a(h)=\frac{1}{h}\left[ \frac{v(a)-v(a+h)}{v(a+h)v(a)}\right]\\
\\
 \tau_a(h)=\overbrace{\frac{1}{h}\left[ v(a)-v(a+h)\right]}^{\mbox{tend vers } -v'(a)} \times \overbrace{\frac{1}{v(a+h)v(a)}}^{\mbox{tend vers } \frac{1}{{v(a)}^2}}
 \end{array}
$$
 \\ 

 $\tau_a(h)$ tend vers $-\frac{v'(a)}{v(a)}^2$ quand $h$ tend vers 0.\\
 On en déduit que pour tout $a \in I $ le nombre dérivé de $\frac{1}{v}$ en $a$ est $-\frac{v'(a)}{v(a)}^2$.
 
\subsection{Fonction composée :} 
\begin{theoreme}
$u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.\\
$a$ et $b$ des réels et $a\not =0$.\\
$J$ est l'intervalle, ensemble des réels $x$ tels que $ax+b \in  I$.\\
la fonction $v \;:\; \Ass u(ax+b)$ dérivable sur $J$ et pour tout réel $x_0$ de J on  a :
$$v'(x_0)=au'(ax_0+b). $$ 
\end{theoreme}
\section{Tableau des dérivées des fonctions usuelles :}

\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline 
 &&\\
 Fonction $f\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;$ & Fonction $f'\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ & Ensemble de définition de $f'$ \\ 
 &&\\
\hline  
&&\\
$x\; \Ass a$&  $x\; \Ass 0 $& $D_{f'}=\R$\\ 
&&\\
\hline  
&&\\
$x\; \Ass ax+b$&  $x\; \Ass a $&$D_{f'}=\R$ \\ 
&&\\
\hline  
&&\\
$x\; \Ass x^n\;(n \in \N^*)$&  $x\; \Ass  nx^{n-1} $ & $D_{f'}=\R$\\ 
&&\\ 
\hline 
&&\\ 
$x\; \Ass \frac{1}{x}$&  $x\; \Ass -\frac{1}{x^2} $ & $D_{f'}=\R^*$\\ 
&&\\
\hline
&&\\  
$x\; \Ass \frac{1}{x^n}\;(n \in \N^*)$&  $x\; \Ass -\frac{n}{x^{n+1}} $& $D_{f'}=\R^*$ \\ 
&&\\
\hline
&&\\  
$x\; \Ass \sqrt{x}$&  $x\; \Ass \frac{1}{2\sqrt{x}}$ &$D_{f'}=]0;+\infty[$\\ 
&&\\
\hline
&&\\  
$x\; \Ass \sin(x)$&  $x\; \Ass \cos(x) $& $D_{f'}=\R$\\
&&\\
\hline
 &&\\  
 $x\; \Ass \cos(x)$&  $x\; \Ass -\sin(x) $ & $D_{f'}=\R$\\
&&\\
\hline
 
\end{tabular} 
\end{document} 


 