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\hypersetup{ 
    pdfauthor   = {KBIDA Abdellatif},
    pdftitle    = {Cours produit scalaire 1ers},
    pdfkeywords = {produit scalaire, applications },
    pdfcreator  = {PDFLaTeX}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\RE}{(O;\Vec{i},\Vec{j})}
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\def\noi{\noindent}

\newtheorem{theoreme}{Théorème}
\newtheorem{definition}{Définition}
\newtheorem{propriete}{Propriété}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\setcounter{chapter}{5}
\chapter{Produit scalaire}
\section{Définition  et conséquences}

\begin{definition}$\;$\\
On se place dans un repère orthonormé du plan. Soient $\Vec{u}(x;y)$ et $\Vec{v}(x';y')$  deux vecteurs.
On appelle produit scalaire de $\Vec{u}$ et $\Vec{v}$ le réel noté $\Vec{u}.\Vec{v}$ et défini par :
$$\Vec{u}.\Vec{v}=xx'+yy'$$
\end{definition}

\noi \textbf{Exemple : }\\
Avec $\Vec{u}(1 ; 2)$ et $\Vec{v}(2 ; 3)$, on obtient $\Vec{u}.\Vec{v}=2+6=8$.
\\
\\
\noi\textbf{Remarques : }
\begin{description}
\item[$\bullet$] $\Vec{u}.\Vec{u}=x^2+y^2={||\Vec{u}||}^2$, on notera parfois ${||\Vec{u}||}^2=\Vec{u}^2$
\item[$\bullet$]  Si l'un des deux vecteurs $\Vec{u}$ ou $\Vec{v}$ est nul alors le produit scalaire est nul. 
Cependant la réciproque est fausse $\Vec{u}.\Vec{v}=0$ n'implique pas nécessairement que $\Vec{u}$ ou $\Vec{v}$ soit le vecteur nul.
Exemple : avec $\Vec{i}(1;0)$ et $\Vec{j}(0;1)$ on a  $\Vec{i}.\Vec{j}=0$ et pourtant ni $\Vec{i}$ ni $\Vec{j}$ ne sont le vecteur nul.
\end{description} 
 
 \begin{theoreme}$\;$ Lien avec la norme. \\
 Soient $\Vec{u}$ et $\Vec{v}$ deux vecteurs, on a l'égalité suivante : \\
 $$\Vec{u}.\Vec{v}=\frac{1}{2}\left({||\Vec{u}+\Vec{v}||}^2-{||\Vec{u}||}^2-{||\Vec{v}||}^2 \right)  $$
 \end{theoreme}
\noi\textbf{Démonstration : }\\
 Dans un repère orthonormé $\RE$ on considère les vecteurs $\Vec{u}(x;y)$ et $\Vec{v}(x';y')$. \\
 On a :
 \begin{description}
\item[$\bullet$] ${||\Vec{u}||}^2=x^2+y^2$
\item[$\bullet$] ${||\Vec{v}||}^2={x'}^2+{y'}^2$
\item[$\bullet$] ${||\Vec{u}+\Vec{v}||}^2={(x+x')}^2+{(y+y')}^2=x^2+2xx'+{x'}^2+y^2+2yy'+{y'}^2$
\end{description}
 d'où $\frac{1}{2}\left({||\Vec{u}+\Vec{v}||}^2-{||\Vec{u}||}^2-{||\Vec{v}||}^2 \right)=xx'+yy'=\Vec{u}.\Vec{v}$.\\
 
 \noi La norme d'un vecteur étant indépendante du repère, on en déduit le théorème suivant : 
  \begin{theoreme}$\;$  \\
Le produit sclaire  $\Vec{u}.\Vec{v}$ est indépendant du repère choisi.
 \end{theoreme} 
$\;$\\
$\;$\\
$\;$\\
$\;$\\

On peut définir de plusieurs manières le produit scalaire, selon le contexte on utilisera l'une de ces expressions.  
\begin{theoreme}$\;$ Définitions équivalentes 
\begin{enumerate}
\item $\Vec{u}.\Vec{v}=\frac{1}{2}\left({||\Vec{u}+\Vec{v}||}^2-{||\Vec{u}||}^2-{||\Vec{v}||}^2 \right)$.
\item 
$\Vec{u}.\Vec{v}=\left\lbrace 
\begin{array}{ll}
 ||\Vec{u}||\times||\Vec{v}||\times\cos(\Vec{u},\Vec{v})& \mbox{si } \Vec{u} \not = \Vec{0}  \mbox{ et } \Vec{v} \not = \vec{0}  \\
 0&\mbox{sinon }
\end{array}\right.$
\item 
$\Vec{u}.\Vec{v}=\left\lbrace 
\begin{array}{ll}
 \Vec{u}.\Vec{v'} & \mbox{si } \Vec{u} \not = \Vec{0}  \mbox{ avec } \Vec{v'} \mbox{ le projeté orthogonal de }  \Vec{v}  \mbox{sur la direction donnée par }  \Vec{u} \\
 0&\mbox{sinon }
\end{array}\right.$
\end{enumerate} 
\end{theoreme} 
\noi\textbf{Démonstration : }\\
Supposons que  $\Vec{u} \not = \Vec{0}  \mbox{ et } \Vec{v} \not = \Vec{0}$ et posons $\Vec{i}=\frac{\Vec{u}}{||\Vec{v}||}$.\\
Soit $\Vec{j}$ le vecteur tel que : $(\Vec{i},\Vec{j})=\frac{\pi}{2}$ et $||\Vec{v}||=1$ ainsi le repère $\RE$ est repère orthonormé direct.\\
Dans ce repère on a $\Vec{u}=(||\Vec{u}||;0)$ et $\Vec{v}=(||\Vec{v}||\cos \theta;||\Vec{v}||\sin \theta)$ avec $\theta=(\Vec{u},\Vec{v})$ d'où :\\
$\Vec{u}.\Vec{v}=$ ce qui démontre (2).\\
Si on considère $\Vec{v'}$ le projeté orthogonal de $\Vec{v}$ sur la direction donnée par  $\Vec{u}$ on a $\Vec{v}=(||\Vec{v}||\cos \theta;0)$ d'où : \\
$\Vec{u}.\Vec{v'}=||\Vec{u}||\times||\Vec{v}||\times\cos(\Vec{u},\Vec{v})=\Vec{u}.\Vec{v}$ ce qui démontre (3).\\


 
\section{Propriétés du produit scalaire}

\begin{propriete}
$\Vec{u}$, $\Vec{v}$ et $\Vec{w}$ sont trois  vecteurs et  $\lambda$ est un réel.\\
\noi Commutativité : 
$\Vec{u}.\Vec{v}=\Vec{v}.\Vec{u}$\\
\noi Linéarité  : 
 $(\lambda\Vec{u}).\Vec{v}=\lambda\Vec{u}.\Vec{v}$\\
 \noi Distibutivité :
$(\Vec{u}+\Vec{v}).\Vec{w}=\Vec{u}.\Vec{w}+\Vec{v}.\Vec{w}$ 
on a aussi :
$\Vec{u}.(\Vec{v}+\Vec{w})=\Vec{u}.\Vec{v}+\Vec{u}.\Vec{w}$\\
\end{propriete}

\noi \textbf{Justification : }\\
\noi En exprimant le produit scalaire dans une b.o.n, on démontre chacun des points de la propriété. \\
\\
\noi \textbf{Exemple : }
Soient $A$ , $B$ et $C$ trois points du plan, simplifier $\Vec{AB}.\Vec{BD}-\Vec{AC}.\Vec{BD}$ 

$$
\begin{array}{l}
\Vec{AB}.\Vec{BD}-\Vec{AC}.\Vec{BD}\\
\Vec{AB}.\Vec{BD}+\Vec{CA}.\Vec{BD} \\
(\Vec{AB}+\Vec{CA}).\Vec{BD} \\
\Vec{CB}.\Vec{BD} \\
\end{array}
$$



\begin{propriete} Identités remarquables : 
$$
\begin{array}{l}
{(\Vec{u}+\Vec{v})}^2=\Vec{u}^2+2\Vec{u}.\Vec{v}+\Vec{v}^2\\
{(\Vec{u}-\Vec{v})}^2=\Vec{u}^2-2\Vec{u}.\Vec{v}+\Vec{v}^2\\
{(\Vec{u}+\Vec{v})}(\Vec{u}-\Vec{v})=\Vec{u}^2-\Vec{v}^2
\end{array}
$$

\end{propriete}
\noi \textbf{Démonstration : }
On a 
${(\Vec{u}+\Vec{v})}^2={(\Vec{u}+\Vec{v})}.{(\Vec{u}+\Vec{v})}$ on applique la distributivité du produit scalaire par rapport à l'addition et la commutativité du produit scalaire. On obtient :
${(\Vec{u}+\Vec{v})}^2=\Vec{u}^2+2\Vec{u}.\Vec{v}+\Vec{v}^2$
$\;$\\
$\;$\\
$\;$\\
$\;$\\

\begin{propriete}  Inégalités : \\
$$
\begin{array}{l}
 -||\Vec{u}||\times||\Vec{v}|| \leq \Vec{u}.\Vec{v} \leq  ||\Vec{u}||\times||\Vec{v}||\\
 \\
||\Vec{u}+\Vec{v}|| \leq ||\Vec{v}||+ ||\Vec{v}||
\end{array}
$$
\end{propriete}

\begin{theoreme}$\;$  orthogonalité\\
Deux vecteurs non-nuls sont orthogonaux si, et seulement si $\Vec{u}.\Vec{v}=0$.
\end{theoreme} 

\section{Applications du produit scalaire}

\subsection{Equation d'une droite à l'aide d'un vecteur normal}
\noi


\begin{minipage}{12cm}
 Dans un repère orthonormé $\RE$ on cherche à determiner une équation de la droite $\triangle$ 
dont la direction est orthogonal au vecteur $\Vec{n}(a;b)$ non-nul passant par le point $A(x_A;y_A)$.

$M(x;y)$ appartient à la droite  $\triangle$  si et seulement si $\Vec{AM}.\Vec{n}=0$
on a donc une équation de la droite $\triangle$  : \\ \noi $(x-x_A)\times a+(y-y_A)\times b=0.$
\end{minipage}
\begin{minipage}{8 cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\uput{0.1}[270](1,0){$A$}
\uput{0.2}[270](0,1){$\Vec{n}$}
\uput{0.2}[60](2,1){$\triangle$}
\psline{->}(1,0)(0,1)
\psline(0,-1)(2,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\\
\noi \textbf{Application :}\\
\noi Dans un repère orthonormé $\RE$, soient les points $A(2;1)$, $B(0;1)$ et $C(1;3)$.\\
\noi Déterminer une équation de la droite $d$ passant par le point $A$ et perpendiculaire
à la droite $(BC)$
\\
\\
\noi On a $\Vec{BC}(1;2)$ et $M(x;y)$ appartient à la droite $d$ si et seulement, si 
$$\begin{array}{l}
\Vec{AM}.\Vec{BC}=0\\
(x-2)+2(y-1)=0 \\
x+2y-4=0
 \end{array}
 $$
$x+2y-4=0$ est une équation de la droite $d$.

\subsection{Equation d'un cercle}
\noi Dans un repère orthonormé $\RE$, on cherche à determiner une équation d'un cercle $\mathcal{C}$ dans les deux cas suivants.\\
\noi \textbf{Défini par son centre et son rayon :}\\
Soit le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega(x_0;y_0)$ et de rayon $r>0$.
\\ $M(x;y)$ appartient au cercle  $\mathcal{C}$   si et seulement si ${\Omega M}^2=r^2$\\
on a donc une équation du cercle $\mathcal{C}$  : \\ \noi ${(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2=r^2.$\\
$\;$\\
$\;$\\
$\;$\\
$\;$\\

\noi \textbf{Défini par son diamètre :}\\
\begin{minipage}{12cm}
Soient $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ deux points distincts  du plan et $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre $[AB]$.
\\ $M(x;y)$ appartient au cercle  $\mathcal{C}$   si et seulement si $\Vec{AM}.\Vec{BM}=0$\\
on a donc une équation du cercle $\mathcal{C}$  : \\ \noi $(x-x_A)\times(x-x_B)+(y-y_A)\times(y-y_B)=0.$\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{8 cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(2,2)
\pscircle(0,0){2} 
\psline[linewidth=1pt](-2,0)(2,0)
\psline[linewidth=1pt](-2,0)(1,1.73)
\psline[linewidth=1pt](2,0)(1,1.73)
\uput{0.1}[60](1,1.73){$M$}
\uput{0.1}[180](-2,0){$A$}
\uput{0.1}[0](2,0){$B$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
$\;$\\
$\;$\\
$\;$\\
$\;$\\
$\;$\\
$\;$\\
$\;$\\
$\;$\\
\begin{minipage}{12cm}
\subsection{Théorème de la médiane}
\begin{theoreme}Soient $MAB$ un triangle et $I$ le milieu du segment $[AB]$ on a :
\begin{description}
\item[$\bullet$] ${MA}^2+{MB}^2=2{MI}^2+\frac{1}{2}{AB}^2$
\item[$\bullet$] ${MA}^2-{MB}^2=2\Vec{MI}.\Vec{BA}$
\item[$\bullet$] $\Vec{MA}.\Vec{MB}={MI}^2-{IA}^2$
\end{description} 
\end{theoreme} 
\end{minipage}
\begin{minipage}{8 cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(2,2)
\psline[linewidth=1pt](-1.5,0)(1.5,0)
\psline[linewidth=1pt](-1.5,0)(-1,2)
\psline[linewidth=1pt](1.5,0)(-1,2)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](-1,2)(0,0)
\uput{0.1}[90](-1,2){$M$}
\uput{0.1}[180](-1.5,0){$A$}
\uput{0.1}[0](1.5,0){$B$}
\uput{0.1}[270](0,0){$I$}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{minipage}
$\;$ \\
\noi \textbf{Démonstration :} \\
\begin{enumerate}
\item $$
\begin{array}{l}
{MA}^2-{MB}^2={(\Vec{MI}+\Vec{IA})}^2+{(\Vec{MI}+\Vec{IB})}^2 \\

{MA}^2-{MB}^2=2{MI}^2+{IA}^2+{IA}^2+2\Vec{MI}.\Vec{IA} +2\Vec{MI}.\Vec{IB}\\

{MA}^2-{MB}^2=2{MI}^2+\frac{1}{2}{AB}^2+2\Vec{MI}.(\Vec{IA}+\Vec{IB}) \\

{MA}^2-{MB}^2=2{MI}^2+\frac{1}{2}{AB}^2
\end{array}
$$
\item 
$$
\begin{array}{l}
{MA}^2-{MB}^2={(\Vec{MI}+\Vec{IA})}^2-{(\Vec{MI}+\Vec{IB})}^2 \\

{MA}^2+{MB}^2=2\Vec{MI}.\Vec{IA} -2\Vec{MI}.\Vec{IB}\\

{MA}^2+{MB}^2=2\Vec{MI}.(\Vec{IA}+\Vec{BI}) \\

{MA}^2+{MB}^2=2\Vec{MI}.\Vec{BA}
\end{array}
$$


\item 
$$
\begin{array}{l}
\Vec{MA}.\Vec{MB}=(\Vec{MI}+\Vec{IA}).(\Vec{MI}+\Vec{IB})\\
\Vec{MA}.\Vec{MB}=(\Vec{MI}+\Vec{IA}).(\Vec{MI}-\Vec{IA})\\
\Vec{MA}.\Vec{MB}={MI}^2-{IA}^2 \\

\end{array}
$$

\end{enumerate} 

\end{document} 


 