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\hypersetup{ 
    pdfauthor   = {KBIDA Abdellatif},
    pdftitle    = {Applications de la dérivation},
    pdfsubject = {Cours dérivation 1ers},
    pdfkeywords = {fonction, dérivée, sens de variation, extremum }
    }

\input{variation}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\baselineskip=16pt
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\newtheorem{theoreme}{Théorème}
\newtheorem{definition}{Définition}
\newtheorem{propriete}{Propriété}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\pagestyle{empty}
\begin{document}
\setcounter{chapter}{6}
\chapter{Applications de la dérivation}
\section{Lien entre la dérivation et sens de variation d'une fonction}
Dans le chapitre 6, on a vu que la dérivation est utile dans la recherche d'une tangente à la courbe.
Nous allons voir qu'elle est aussi utile dans la recherche du sens de variation d'une fonction.
\begin{theoreme}~\\
Si une fonction $f$ est dérivable et monotone sur l'intervalle $I$ alors sa dérivée est de signe constant sur $I$.\\
$\bullet$ Si $f$ est dérivable et croissante sur $I$ alors $f'$ est positive ou nulle sur $I$.\\
$\bullet$ Si $f$ est dérivable et décroissante sur $I$ alors $f'$ est négative ou nulle sur $I$.
\end{theoreme}
\noi \textbf{Justification :}~\\
Supposons que  $f$ soit une fonction dérivable et croissante sur l' intervalle $I$.
La fonction $f$ étant croissante sur $I$, pour tous les réels distincts $a$ et $a+h$ de $I$, les réels
$h$ et $f(a+h)-f(a)$ sont de même signe donc 
$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \geq 0$.\\
\noi $f'(a)$ est la limite en 0 de la fonction $x\;\Ass\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.\\ 
\noi Etant donné que le réel $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ positif est ausssi proche que l'on veut de $f'(a)$, on conçoit
et l'on admet que $f'(a) \geq 0$.
Ainsi, si $f$ est une fonction dérivable et croissante sur un intervalle $I$ alors pour tout réel $a$ de  $I$, $f'(a)\geq 0$.\\
\noi Même raisonnement pour $f$  une fonction dérivable et décroissante sur l'intervalle $I$.
~\\
On s'intéresse à la réciproque, et nous admettons le résultat suivant : 
\begin{theoreme}~\\
$\bullet$ Si $f'$ est strictement positive sur $I$ sauf en un nombre fini de réels de $I$ où $f'$ s'annule, alors $f$ est 
 strictement croissante sur $I$.\\
$\bullet$ Si $f'$ est strictement négative sur $I$ sauf en un nombre fini de réels de $I$ où $f'$ s'annule, alors $f$ est 
 scritement décroissante sur $I$.\\
\end{theoreme}

\begin{minipage}{7cm}
\textbf{Exercice } Etudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R-\{1\}$ par $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$.\\
La fonction $f$ est une fraction rationnelle, elle est donc dérivable sur $\R-\{1\}$ et on a :
$$f'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)}{{(x-1)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{{(x-1)}^2}.$$
On étudie le signe de $x^2-2x-1$. Puisque ${(x-1)}^2>0$ sur $\R-\{1\}$, la fonction dérivée $f'$ est du signe de $x^2-2x-1$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{11cm}
\setlength{\columnseprule}{2pt}
\setlength{\columnseprule}{0.1pt}
%\hspace{10mm}
\begin{flushright}
\begin{variation}{%
 
 \debvar{x}{f'(x)}{f}{-\infty}{}{}

\croissance{1-\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}}
  
\decroissance[]{}{}
   
\asymptote{1}{}{}
 
\decroissance{1+\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}}

\croissance[]{+\infty}{}}

\end{variation}
\end{flushright}
\end{minipage}
\newpage
 
\section{Extremum d'une fonction}

\begin{theoreme}~\\
$f$ est une fonction dérivable sur l'intervalle ouvert $I$.\\
Si $f$ admet un extremum en un réel $x_0$ de $I$, alors $f'(x_0)=0$.
\end{theoreme}
\textbf{Remarques :}\\

\begin{minipage}{14cm}
\begin{flushleft}
\noi $\bullet$ Il est indispensable que l'intervalle $I$ soit un ouvert.
Considérons par exemple la fonction $f\; :\;x \Ass x^2$ sur $I=[0;1]$, \\
\noi $f(1)=1 $ est le maximum de la fonction $f$ sur $I$ et pourtant $f'(1)=2\neq0$.
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5 cm}
\hspace{10mm}
\begin{pspicture}(0,0)(1.5,1.5)
\psset{xunit=1.5,yunit=1.5}
%\psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(0,0)(1,1)
\footnotesize
\psaxes[linewidth=1 pt,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\uput{0}[0](0.7,0.8){$y=x^2$}
\uput{.1}[225](0,0){$0$}
\uput{.1}[180](0,0.5){$\Vec{j}$}
\uput{.1}[290](0.2,0){$\Vec{i}$}
\psplot[plotpoints=100,linewidth=0.5pt]{0}{1}{x 2 exp  }
\end{pspicture}
\end{minipage}
~\\
~\\
\begin{minipage}{14cm}
\begin{flushleft}
$\bullet$ La réciproque  est fausse.
Si $f'(x_0)=0$, la fonction $f$ n'admet pas nécessairement un extremum en $x_0$.
Considérons par exemple la fonction $f\; :\;x \Ass x^3$ sur $I=]-1;1[$, on a $f'(0)=0$
et pourtant $f(0)$ n'est pas un extremum de $f$.
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5 cm}
\hspace{10mm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\psset{xunit=1.5,yunit=1.5}
%\psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(1,1)
\footnotesize
\psaxes[linewidth=1 pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(1,1)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\uput{0}[0](0.7,0.8){$y=x^3$}
\uput{.1}[225](0,0){$0$}
\uput{.1}[180](0,0.5){$\Vec{j}$}
\uput{.1}[290](0.2,0){$\Vec{i}$}
\psplot[plotpoints=100,linewidth=0.5pt]{-1}{1}{x 3 exp  }
\end{pspicture}
\end{minipage}
~\\
La réciproque du théorème 2 est fausse mais lorsque le tableau de variation d'une fonction est de l'un des types suivants, on peut conclure que $f(x_0)$ est un extremum de $f$.\\
\begin{minipage}{10 cm}
\vspace{5mm}

\begin{variation}{%
 
 \debvar{x}{f'(x)}{f}{a}{}{}

\decroissance{x_0}{f(x_0)}


\croissance[]{b}{}}

\end{variation}
\vspace{10mm}
$f(x_0)$ est un minimum de $f$. \\
\noi On remarque que $f'$ s'annule en changeant de signe en $x_0$.

\end{minipage}
\begin{minipage}{10 cm}
\vspace{5mm}

\begin{variation}{%
 
 \debvar{x}{f'(x)}{f}{a}{}{}

\croissance{x_0}{f(x_0)}


\decroissance[]{b}{}}

\end{variation}
\vspace{10mm}
$f(x_0)$ est un maximum de $f$.\\
\noi On remarque que $f'$ s'annule en changeant de signe en $x_0$.
\end{minipage}
~\\
On admet le théorème suivant :

\begin{theoreme}~\\
$f$ est une fonction dérivable sur l'intervalle ouvert $I$.\\
Si $f'$ sannule en $x_0$ de $I$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum en $x_0$.
\end{theoreme}

\end{document} 


 