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    pdfauthor   = {KBIDA Abdellatif},
    pdftitle    = {Suites numériques},
    pdfsubject = {Cours suites 1ers},
    pdfkeywords = {suite, arithmétique, géométrque, convergence, récurrence }
    }
    
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\def\noi{\noindent}

\newtheorem{theoreme}{Théorème}
\newtheorem{definition}{Définition}
\newtheorem{prop}{Propriété}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\setcounter{chapter}{8}
\chapter{Suites numériques}
\section{Notion de suite}
\noi Une suite numérique est une succession de nombres réels, chacun étant un terme 
de la suite. On numérote les termes, ce qui revient à faire correspondre 
à des entiers naturels des nombres réels.

\begin{tabular}{lllll}
 Rang du terme & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 
 &  $\downarrow$& $\downarrow$ & $\downarrow$ &  $\downarrow$\\ 
 Terme & 3 & 9 & 27 & 81 \\ 

\end{tabular} 
\begin{definition}~\\
Une suite numérique est une fonction de $\N$ (ou une partie de $\N$)  vers $\R$.
$$\begin{array}{rl}
U : &\N \rightarrow \R \\
 &n \Ass U_n
\end{array}$$
\end{definition}
L'image de l'entier $n$ par la suite $U$ se note $U_n$ au lieu de $U(n)$. $U_n$ se lit \og $U$ indice $n$ \fg.
On dit que $U_n$ est le terme de rang $n$. la suite $U$ se note aussi $\Un$.
\\
\noi Remarques
\begin{description}
\item[$\bullet$] Si on définit la suite $\Un$, Le terme suivant $U_n$ est $U_{n+1}$, le terme précédant $U_n$ est $U_{n-1}$
\end{description}  

\section{Sens de variation }
\begin{definition}Soit $\Un$ une suite numérique on dit que :
\begin{description}
\item[$\bullet$] la suite $\Un$ est croissante lorsque pour tout $n \in \N\;,\; U_{n+1} \geq U_n $ ;
\item[$\bullet$] la suite $\Un$ est décroissante lorsque pour tout $n \in \N\;,\; U_{n+1} \leq U_n $ ;
\item[$\bullet$] la suite $\Un$ est stationnaire ou constante lorsque pour tout $n \in \N\;,\; U_{n+1} = U_n $.
\end{description} 
\end{definition}

On définit de même une suite  croissante, décroissante ou stationnaire à partir d'un certain rang $n_0$ en utilisant les inégalités suivantes :
\\ pour tout entier naturel $n$ tel que $\;n \geq n_0$ on a $ U_{n+1} \geq U_n $ ;
\\ pour tout entier naturel $n$ tel que $\;n \geq n_0$ on a $U_{n+1} \leq U_n $ ;
\\ pour tout entier naturel $n$ tel que $\;n \geq n_0 $ on a $U_{n+1} = U_n $.
\\
\\
\noi \textbf{Remarque : }il existe des suites ni croissantes ni décroissantes.
\\ La suite  $U$ définie pour tout $n\in \N$ par $U_n={(-1)}^n$. On a $U_0=1$ ; $U_1=-1$ ; $U_2=1$ et $U_3=-1$.\\
Le signe de  la différence  $U_{n+1}-U_{n}$ n'est pas constant donc la suite $U$ n'est ni croissante ni décroissante.
\\

\noi \textbf{Méthodes : } Pour étudier le sens de variation d'une suite $\Un$ on pourra :

\begin{description}
\item[$\bullet$] étudier le signe de la différence $U_{n+1}-U_{n}$ ;
\item[$\bullet$] lorsque pour tout $n \in N$ (ou à partir d'un certain rang $n_0$) $U_n$ est non-nul et de signe constant on peut comparer le rapport
 $\frac{U_{n+1}}{U_{n}}$ à 1;
 \item[$\bullet$] si pour tout $n \in N$ on a $U_n=f(n)$ avec $f$ une fonction définie sur $[0;+\infty[$, lorsque $f$ est une fonction monotone 
 la suite $U$ et la fonction $f$ ont la même monotonie.
\end{description} 
\section{Suites arithmétiques}
\subsection{Notion de suite arithmétique}
\begin{definition}~\\
\noi $\bullet$ Lorsqu'on obtient chaque terme d'une suite en ajoutant au terme précédent toujours le même réel, appelé raison, 
la suite est une suite arithmétique.\\
\noi $\bullet$ $U$ est une suite arithmétique de raison $r$, signifie que pour tout $n \in \N$ (ou une partie de $\N$), on a :
$$U_{n+1}=U_n+r .$$
\end{definition}
La relation entre $U_{n+1}$ et $U_{n}$ est appelée relation de récurrence.
\\
\noi \textbf{Exemples}
\begin{description}
\item[$\bullet$] 5 ; 8 ; 11 ; 14 est une suite arithmétique de quatre termes, de premier terme  5 et de raison 3.
\item[$\bullet$]  12; 10,5 ; 9 ; 7,5 ; 6 est une suite arithmétique de cinq termes, de premier terme  12 et de raison -1,5.
\end{description}  
~\\
\noi \textbf{ Méthode : } Pour démontrer qu'une suite est arithmétique
il faut montrer que pour tout $n \in \N$ la différence  $U_{n+1}-U_{n}$ est un  réel $r$ constant.
\\
\noi Les suites $\Un$ suivantes sont-elles arithmétiques ? \\
\begin{tabular}{ll}
a) $U_n=3n+1$ & b) $U_n=n^2+1$ \\ 
\end{tabular} 
~\\
~\\
\noi a) Les trois premiers termes sont $U_0=1$ ; $U_1=4$ ; $U_2=7$ ; $U_3=11$.\\
Pour tout $n \in \N$ on a  $U_n=3n+1$  et $U_{n+1}=3(n+1)+1=3n+3+1=3n+4$ \\
d'où
  $U_{n+1}- U_n=3n+4-(3n+1)=3$. 
 
  \noi La suite $\Un$ est une suite arithmétique de premier terme $U_0=1$ et de raison 3.
 \\ 
 \\
 \noi b) Les trois premiers termes sont $U_0=1$ ; $U_1=2$ ; $U_2=5$.\\
 La différence   $U_{n+1}- U_n$ n'est pas constante en effet,   $U_{1}- U_0=1$ et   $U_{2}- U_1=3$.\\ 
  \noi La suite $\Un$ n'est donc pas une suite arithmétique. 
 
 
\subsection{Calcul du terme de rang $n$}
Considérons la suite arithmétique $u$ de premier terme $u_1=5$ et de raison de $-3$.
$$\begin{array}{l}
 u_2=u_1+r=5-3=2\\
 u_3=u_2+r=(u_1+r)+r=u_1+2r=2-3=-1\\
  u_4=u_3+r=(u_1+2r)+r=u_1+3r=-1-2=-3 
 \end{array}$$
On admet que pour tout entier $n$ non nul, on a :  $u_n=u_1+(n-1)r$.

\begin{theoreme}
Le terme de rang $n$ d'une suite arithmétique $U$ de premier terme $U_1$ et de raison $r$ est :
$$U_n=U_1+(n-1)r$$
Si le premier terme est $U_0$ alors le terme de rang $n$ est : $U_n=U_0+nr$.
\end{theoreme}

\noi Exemple : soit la suite arithmétique de premier terme $U_1=12$ et de raison 3.\\
Le terme de rang 50 $U_{50}=U_1+(50-1)\times r=12+49\times 3 = 159$.

\subsection{Somme des n premiers termes}

\begin{theoreme}
La somme des n premiers  termes d'une suite arithmétique $U$ de premier terme $U_1$ est :
$$S_n=U_1+U_2 \ldots+U_{n-1}+U_n=\frac{n(U_1+U_n)}{2}$$

\end{theoreme}

\noi Exemple : soit la suite arithmétique de premier terme $U_1=1$ et de raison 2.
$$S_n=U_1+U_2 \ldots+U_{n-1}+U_n=1+3+5\ldots+(2n-1)=\frac{(1+2n-1)(n)}{2}=n^2$$

$S_1=1$ ; $S_2=1+3=4$ ; $S_3=1+3+5=9$; $S_4=1+3+5+7=16$;
\\
\\
\noi Justification : 


\newpage
\section{Suites géométriques}
\subsection{Notion de suite géométrique}

\begin{definition}~\\
\noi $\bullet$ Lorsqu'on obtient chaque terme d'une suite en multipliant le terme précédent par le 
même réel, appelé raison, la suite est une  suite géométrique.\\
\noi $\bullet$  Si $U$ est une  suite géométrique de raison $q$, pour tout $n \in \N$ (ou d'une partie de $\N$).
on a : $U_{n+1}=qU_n$
\end{definition}

\noi \textbf{Exemples : }
\\
1; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; est une suite géométrique de cinq  termes de premier terme 1 et de raison 2.
\\
Les intérêts composés : un capital de 5000 \eu est placé au taux annuel de 4,5 \%.
On a donc :
$$\begin{array}{l}
 C_0=5000\\
 C_1=5000+5000\times 0,045=5000\times1,045=5225\\
 C_2=C_1\times1,045=5355,625
 \end{array}$$
 
 \noi \textbf{Méthode :  }Pour démontrer qu'une suite est géométrique il faut  : 
\\
\noi $\bullet$ s'assurer que pour tout $n\in \N$ $U_n \neq 0$
\\
\noi $\bullet$ montrer que pour tout $n \in \N$ le rapport  $\frac{U_{n+1}}{U_{n}}$ est un  réel $q$ constant.
 
 \subsection{Calcul du terme de rang $n$}
 
 Soit $U$ une suite géométrique de premier terme $U_1$ et de raison $q$. 
 On a : $U_2=q\times U_1$; $U_3=q\times U_2=q\times q \times U_1=q^2U_1$ ; 
 $U_4=q\times U_3= q\times q^2U_1=q^3U_1$.
 On admet que pour tout entier $n$ non nul, on a :  $U_n=q^{n-1}U_1$.

\begin{theoreme}
Le terme de rang $n$ d'une suite géométrique  $U$ de premier terme $U_1$ et de raison $q$ est :
$U_n=q^{n-1}U_1$.
si le premier terme est $U_0$ alors le terme de rang $n$ est $U_n=q^{n}U_0$.
\end{theoreme}
 
\noi Exemple : Soit $U$  une suite géométrique de premier terme 100 et de raison 3.
$U_{10}=3^9\times 100= 1968300$


\subsection{Somme des $n$ premiers termes}

\begin{theoreme} Cas particulier ~\\
\noi La somme des $n$ premiers  termes d'une suite géométrique $U$ de premier terme $1$ et de raison $q \neq 1$ est :
$$S_n=1+q+q^2 \ldots+q^{n-1}=\frac{1-q^{n}}{1-q}$$
\end{theoreme}

Dans le cas général $U_1$ n'est pas forcément égal à 1.
On a donc
 $$S_n=U_1+U_2+\ldots +U_n=U_1+qU_1+q^2U_1 \ldots+q^{n-1}U_1=U_1(1+q+q^2 \ldots+q^{n-1})$$ d'où

 \begin{theoreme} Cas général ~\\
\noi La somme des $n$ premiers  termes d'une suite géométrique $U$ de premier terme $U_1$ et de raison $q \neq 1$ est :
$$S_n=U_1+U_2+\ldots +U_n=U_1\times\frac{1-q^{n}}{1-q}$$
\end{theoreme}
 
\section{Convergence d'une suite}
On considère un réel $l$ et une suite numérique $\Un$, et on s'interéresse au comportement  de la suite en $+\infty$.
\begin{definition}
Dire que la suite numérique $\Un$ \textbf{converge vers le réel }$l$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les termes de la suite à partir 
d'un certain rang.\\
\noi On dit alors que $l$ est la limite de la suite $\Un$ et on note $\lim _{n\to +\infty }U_n=l$. 
\end{definition}

 \noi \textbf{Remarques : }\\
 La limite d'une suite numérique convergente est unique.\\
 Si une suite ne converge pas elle est dite divergente.\\
 Si la suite $U$ de la forme $U_n=f(n)$ avec $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[a;+\infty[$, les théorèmes sur les 
 limites des fonctions en $+\infty$ s'appliquent.\\
 
  \noi \textbf{Exemple : } La suite $\Un$ définie par $U_n=\frac{(-1)^n}{n}$, $n \in \N^*$, converge vers 0.\\
  Tout intervalle ouvert $]a;b[ \;a \mbox{ et } b \in \R^* \mbox{ avec } a<b$ ,  contenant $0$ contient tous les termes de la suite $\Un$.
  à partir du rang $n_0 = E(max(\frac{1}{|a|},\frac{1}{|b|}))+1$ ou $E$ désigne la fonction partie entière.

  
   \begin{theoreme} Opérations et limites ~\\
$\Un$ est une suite convergente vers le réel $a$ et $(V_n)$ est une suite convergente vers le réel $b$.\\
\noi $\bullet$ La suite $(W_n)$, définie par $W_n=U_n+V_n$, converge vers le réel $a+b$.
\\
\noi $\bullet$ La suite $(T_n)$, définie par $T_n=U_n\times V_n$, converge vers le réel $a\times b$.
\\
\noi $\bullet$ Si de plus  $(V_n)$ est une suite qui converge vers le réel  $b\neq 0$ telle que pour tout $n \in \N ,\; V_n \neq 0$ ,
alors la suite $(Q_n)$ définie par $Q_n=\frac{U_n}{V_n}$ converge vers le réel  $\frac{a}{b}$.
\end{theoreme}

 \noi \textbf{Exemple : } La suite $\Un$ définie pour  tout  $n \in \N^*$ par $U_n=2+\frac{4}{\sqrt{n}}$, converge vers 2.
  En effet $\lim _{n\to +\infty }\frac{4}{\sqrt{n}}=0$ donc d'après le théorème sur la limite d'une somme, $\lim _{n\to +\infty }U_n=2$.

\begin{theoreme} d'encadremment dit \og des gendarmes\fg ~\\
Soient trois suites $\Un$, $(V_n)$ et $(W_n)$ telles qu'il existe d'un certain rang $p \in \N $ tel que pour tout entier naturel $n \geq p$ on ait  $ W_n \leq  U_n \leq V_n$.
\\
\noi Si  $(V_n)$ et $(W_n)$  convergent vers le même réel $l$, alors $\Un$ converge vers $l$. 
\end{theoreme}
 \noi \textbf{ Justification: } 
	Soit $I$  un intervalle ouvert contenant $l$. La suite $(W_n)$  converge vers $l$.\\ 
\noi 	Il existe donc un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes $W_n \in I$. \\
\noi De même pour la suite $(V_n)$ il existe un rang $n_1$ à partir duquel tous les termes $V_n \in I$.\\
\noi On a donc pour $n$ tel que $N \geq max(n_0,n_1,p)$ tous les $V_n$ et tous les  termes $W_n$ sont dans l'intervalle $I$ , or 
pour tout $n \geq N \geq p$ on a $W_n \leq  U_n \leq V_n$ d'où à partir du rang $N$ tous les termes $U_n \in I$. \\
\noi D'après la définition de la convergence d'une suite on peut dire que $\Un$ converge vers $l$.
 

  \begin{theoreme} Limite d'une suite géométrique ~\\
Soit $\Un$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme  1, pour tout $n \in N \; U_n=q^n$.\\
\noi $\bullet$ Si $-1<q<1$ alors $\lim _{n\to +\infty }q^n=0$
\\
\noi $\bullet$ Si $q=1$ alors $\lim _{n\to +\infty }q^n=1$
\\
\noi $\bullet$ Si $q >1$ alors $\lim _{n\to +\infty }q^n=+\infty$ on dit alors que la suite diverge vers $+\infty$
\end{theoreme}

\end{document}



 