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    pdfauthor   = {KBIDA Abdellatif},
    pdftitle    = {Probabilités sur les ensembles finis},
    pdfsubject = {Calcul des probabilités 2},
    pdfkeywords = {équipropabilité, combinaison, probabilité conditionelle }
    }


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newtheorem{theoreme}{Théorème}
\newtheorem{definition}{Définition}
\newtheorem{propriete}{Propriété}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\setcounter{chapter}{9}
\chapter{Probabilités sur les ensembles finis}
\section{Langage des événements }
\begin{description}
\item[$\bullet$] \textbf{Expérience aléatoire :} expérience dont on connaît parfaitement les conditions mais dont on ne peut pas prévoir l'issue. \\
 \textit{Ex : un lancé de dé.}

\item[$\bullet$] \textbf{Univers :} ensemble de tous les résultats possibles de l'expérience aléatoire. On le note $\Omega$.\\
\textit{Dans notre exemple l'univers est : $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$}.

\item[$\bullet$] \textbf{Eventualité :} chaque élément de l'univers. \\
\textit{Ex :  obtenir un "3".}

\item[$\bullet$] \textbf{Evénement :} sous-ensemble de l'univers $\Omega$. \\
\textit{Ex : $A=\{$ obtenir un chiffre impair $\}$.}

\item[$\bullet$] \textbf{Evénement élémentaire :}  événement possédant un unique élément. \\
\textit{Ex : $B=\{$ obtenir le chiffre 6 $\}$.}

\item[$\bullet$] \textbf{Evénement certain :}  $\Omega$ est appelé l'événement certain. 

\item[$\bullet$] \textbf{Evénement impossible :}  $\emptyset$ est appelé l'événement impossible. 

\item[$\bullet$] \textbf{Cardinal d'un ensemble :} nombre d'élément(s) de cet ensemble. On note \textit{Card}$(A)$. \\
\textit{Ex : \textit{Card}$(A)=3$.}

\item[$\bullet$]  \textbf{Union :} l'événement $A$ ou $B$ se note $A\cup B$, est l'ensemble des événements de $\Omega$ appartenant à $A$ ou $B$.\\
\textit{Ex : $A\cup B=\{1,3,5,6\}$.}

\item[$\bullet$] \textbf{Intersection :}l'événement $A$ et $C$ se note $A\cap C$, est l'ensemble des événements de $\Omega$ appartenant à $A$ et $C$.\\
\textit{Ex : $C=\{$ obtenir un chiffre inférieur à 3 $\}$ \\
$A\cap C=\{1,3\}$.}

\item[$\bullet$]   \textbf{Evénements incompatibles :}
Des événements $A$,$B$ sont \textbf{disjoints}, ou \textbf{incompatibles}, signifie que $A \cap B=\emptyset$.\\
\textit{Dans notre exemple : $A\cap B=\emptyset$.}\\
\textit{Ex :} 
\noi $A=\{$ obtenir un chiffre impair $\}$ et $D=\{$ obtenir un 2 ou un 4 $\}$\\
\noi Les événements $A$ et $D$ n'ont aucune éventualité commune.

\item[$\bullet$]  \textbf{Evénements contraires :}
L'événement \textbf{contraire} d'un événement $A$ est l'ensemble $\my{A}$ des événements de $\Omega$ n'appartenant
pas à $A$\\
\textit{Ex :} 
\noi $E=\{$ obtenir un chiffre un nombre inférieur ou égale à 4 $\}$ et $\my{E}=\{$ 5obtenir un 5 ou un 6 $\}$\\
\noi remarque : les événements $E$ et $\my{E}$ sont toujours incompatibles.

\end{description} 

\subsection*{Représentation des évenements}
\noi \textbf{Diagrammes ou patates}\\
\begin{minipage}{9 cm}
On considère les événements :\\
$A=\{$ obtenir un chiffre impair $\}$\\
$B=\{$ obtenir un chiffre inférieur ou égal à 3 $\}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{9 cm}
\mbox{\includegraphics[width=6 cm]{ensemble.eps}}
\end{minipage}
~\\
\noi \textbf{Tableaux}\\
On tire dans un sac des jetons numérotés sur une face de 1 à 3 et sur l'autre $a$ ou $b$.
les différentes éventualités sont représentés dans le tableau suivant : \\
\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline  $E\times F$& 1 & 2 & 3 \\ 
\hline$a$ & $(a;1)$ & $(a;2)$  &$(a;3)$   \\ 
\hline $b$ & $(b;1)$& $(b;2)$ & $(b;3)$  \\ 
\hline 
\end{tabular} 
~\\
~\\
\noi \textbf{Arbres}\\
Au restaurant scolaire, on compose un menu par le choix d'une entrée $e$ parmi l'ensemble $E$ des 3 entrées, puis d'un plat $p$ parmi l'ensemble $P$
des 2 plats et enfin d'un dessert $d$ parmi l'ensemble $D$ des 3 desserts.\\
 Un menu entrée+plat+dessert est un triplet (ou 3-uplet) du produit cartésien $E\times P \times D $, on peut composer\\
$\mbox{Card }( E\times P \times D)=\mbox{Card }(E) \times \mbox{Card }(P)  \times  \mbox{Card }(D)=2\times 3 \times 3 =18$ menus différents.
\begin{flushleft}
\begin{pspicture}(0,0)(0,0)
%\renewcommnd{\psedge}
%{\nodiag[armA=0,angleB=180,armB=0.2cm]}
\pstree{\TR{}}
{
\pstree{\TR{e1}}
		{\pstree{\TR{p1}}{\TR{d1}\TR{d2}\TR{d3}} 
		\pstree{\TR{p2}}{\TR{d1}\TR{d2}\TR{d3}}  }
		
\pstree{\TR{e2}}
		{\pstree{\TR{p1}}{\TR{d1}\TR{d2}\TR{d3}} 
		\pstree{\TR{p2}}{\TR{d1}\TR{d2}\TR{d3}}  }
\pstree{\TR{e3}}
		{\pstree{\TR{p1}}{\TR{d1}\TR{d2}\TR{d3}} 
		\pstree{\TR{p2}}{\TR{d1}\TR{d2}\TR{d3}}  }
}
\end{pspicture}
\end{flushleft}
\newpage



\section{Loi de probabilités}
Soit $\Omega=\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$ un univers fini.
\begin{definition}
On appelle probalité toute application $P$ de  $\mathscr{P}(\Omega)$ dans $[0;1]$ vérifiant les axiomes suivants :
\begin{description}
\item[\textbf{Axiome 1 :}] $P(\Omega)=1$ 
\item[\textbf{Axiome 2 :}] Pour tous événements $A$ et $B$, si $A\cap B=\emptyset$ alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
\end{description} 
\end{definition}
\subsection{Propriétés des probabilités}
Des axiomes, on déduit les propriétés suivantes :
\begin{propriete}
Pour tout événement $A$ de $\mathcal{P}(\Omega)$ on a $P(A)=1-P(\my{A})$.
\end{propriete}
\noi En effet $P(\Omega)=P(A\cup \my{A})=1$ les événements $A$ et $\my{A}$ sont incompatibles, on a d'après l'Axiome 2 :\\
$\begin{array}{l}
P(A\cup \my{A})=1 \\
P(A)+ P(\my{A})=1 \\
P(\my{A})=1-P(A)
 \end{array}$\\
Dans le partculier où $A=\Omega$ on obtient $P(\emptyset)=1-P(\Omega)=0$
\begin{propriete}
Pour tous événements $A$ et $B$ de  $\mathcal{P}(\Omega)$ on a :
\begin{description}
\item[] $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \my{B})$
 \item[] $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
\end{description} 
\end{propriete}
\begin{definition}
L'équiprobalité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
\end{definition}
\noi Dans le cas d'un lancé de dé équilibré, les événements élémentaires sont {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, et {6}.
\begin{propriete}
Dans le cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement $A$, est :
$$ 
P(A)=\frac{\mbox{Card }A}{\mbox{Card }\Omega}=\frac{\mbox{nombre de cas favorables}}{\mbox{nombre de cas possibles}}.
$$
\end{propriete}
Pour utiliser cette formule, il faut déterminer le nombre de cas favorables. C'est ce qu l'on appelle dénombrer.\\

\noi \textbf{Exercice :} On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.\\
Calculer la probabilité des événements suivants :
\begin{description}
\item[$\bullet$] $A=\{ \mbox{tirer un as} \}$. $P(A)=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$
\item[$\bullet$] $B=\{ \mbox{tirer une carte rouge} \}$. $P(B)=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}$
\item[$\bullet$] $C=\{ \mbox{tirer un as ou une carte rouge} \}$.\\
$P(C)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, l'événement $A\cap B$ est "tirer un as rouge" on a $P(A\cap B)=\frac{2}{32}=\frac{1}{16}$.\\
d'où $P(C)=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}-\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$

\item[$\bullet$] $D=\{ \mbox{ne tirer ni un as  ni une carte rouge} \}$. $P(D)=P(\my{C})=1-P(C)=\frac{7}{16}$
\end{description} 


\section{Variables aléatoires}
On considère une expérience aléatoire et on  note $\Omega$ l'univers de cette expérience.
\begin{definition}
On appelle \textit{variable aléatoire} toute fonction $X$ de $\Omega$ vers $\R$.\\
\noi $\bullet $ Si l'image de $\Omega$  par $X$ est ensemble de valeurs isolées de $\R$ on dit que la variable $X$ est discrète.\\
\noi $\bullet $ Si l'image de $\Omega$  par $X$ est un intervalle de  $\R$ on dit que la variable est continue.
\end{definition}
\textbf{Exemple :} On lance deux dés l'univers de cette expérience aléatoire peut-être représentée par le \textit{tableau 1}. ~\\ 
\noi Soit $X$ la variable aléatoire qui à tout lancer associe la somme des deux dés, compléter le \textit{tableau 2}.
\begin{multicols}{2}
\begin{description}
\item[]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline  \quad  \quad & 1 & 2 & 3 &4  &5  &6  \\ 
\hline  1&(1;1)  &(1;2)   &(1;3)   &(1;4)   &(1;5)   &(1;6)   \\ 
\hline 2 &(2;1)  &(2;2)   &(2;3)   &(2;4)   &(2;5)   &(2;6)  \\ 
\hline  3&(3;1)  &(3;2)   &(3;3)   &(3;4)   &(3;5)   &(3;6) \\ 
\hline   4 &(4;1)  &(4;2)   &(4;3)   &(4;4)   &(4;5)   &(4;6)  \\ 
\hline  5 &(5;1)  &(5;2)   &(5;3)   &(5;4)   &(5;5)   &(5;6) \\ 
\hline   6&(6;1)  &(6;2)   &(6;3)   &(6;4)   &(6;5)   &(6;6) \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\\ \textit{tableau 1}
\item[]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline  \quad$X$&\quad1  & \quad2 & \quad3 &\quad 4 &\quad5  &\quad6  \\ 
\hline  1&  &  &  &  &  &  \\ 
\hline  2&  &  &  &  &  &  \\ 
\hline  3&  &  &  &  &  &  \\ 
\hline  4&  &  &  &  &  &  \\ 
\hline  5&  &  &  &  &  &  \\ 
\hline  6&  &  &  &  &  &  \\ 
\hline 
\end{tabular}  
\\ \textit{tableau 2}
\end{description} 
\end{multicols}



\subsection{Probabilité image définie par une variable aléatoire }
On définie une nouvelle probabilité définie sur $X(\Omega)$.~\\
\noi Pour tout $x_i$ de $X(\Omega)$, on note $P(X=x_i)= P(\{\omega \in \Omega ; X(\Omega)=x_i\})=p_i$ \\
\noi \textit{Exemples :} $P(X=2)=\frac{1}{36}$ et $P(X=7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$


\subsection{Espérance, variance et écart-type}
\begin{description}
\item[$\bullet$] \textbf{L'espérance} de la variable aléatoire $X$ est :$$E(X)=\sum_{i=1}^{n}p_ix_i.$$
\item[$\bullet$] \textbf{La variance } de la variable aléatoire $X$est :$$V(x)=\sum_{i=1}^{n}p_i{(x_i-E(X))}^2.$$ ~\\
On démontre que : $$V(X)=\sum_{i=1}^{n}x_i^2p_i-{E(X)}^2.$$
\item[$\bullet$]\textbf{L'écart-type} de la variable aléatoire $X$ est :$$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}.$$
\end{description}
\textit{Exemple :}
 
\end{document} 


 