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    pdfauthor   = {KBIDA Abdellatif},
    pdftitle    = {repérage dans l'espace},
    pdfsubject = {Vecteurs, géometrie, espace},
    pdfkeywords = {repère cartésien, calcul vectoirel}
    }


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\def\noi{\noindent}

\newtheorem{theoreme}{Théorème}
\newtheorem{definition}{Définition}
\newtheorem{propriete}{Propriété}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\setcounter{chapter}{10}
\chapter{Vecteurs et repérage de l'espace}
\section{Vecteurs de l'espace}
\subsection{Du plan à l'espace :}
On généralise la notion de vecteur vue dans le plan à l'espace. Soient $A$ et $B$ deux points distincts de l'espace.
\begin{definition}
Un vecteur $\Vec{u}$ non nul dont l'un des représentants est le vecteur $\vect{AB}$  se caratérise par :
\begin{description}
\item[$\bullet$] sa direction : la droite $(AB)$ ;
\item[$\bullet$] son sens  : de  $A$ vers $B$ ;
\item[$\bullet$] sa norme : la distance $AB$, $||\vect{u}||=||\vect{AB} ||=AB$
\end{description} 
\end{definition}
\begin{propriete}
Soit $O$ un point  et un vecteur $\vect{u}$ non nul de l'espace, il existe un unique point $M$ tel que $\vect{OM}=\vect{u}$. 
\end{propriete}
\subsection{Vecteurs colinéaires}
\begin{definition}
Dire que deux vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont colinéaires signifie que :
\begin{description}
\item[$\bullet$] les vecteurs ont même direction ;
\item[$\bullet$] par convention le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur  $\vect{u}$. 
\end{description}  
\end{definition}
On admet le résultat suivant :\\
\begin{minipage}{12 cm}
\begin{theoreme}
Soient  $\vect{u}$ et $\vect{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace.\\
\noi Les vecteurs  $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont colinéaires si, et  seulement si, il existe un réel $\lambda$
tel que $\vect{u}=\lambda\vect{v}$.
\end{theoreme}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6 cm}
\begin{flushright}
\mbox{\includegraphics[width=4 cm]{tetra_vect.eps}}
\end{flushright}
\end{minipage}
~\\
Tout comme dans le plan on a :
\begin{theoreme}
Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\vect{AB}$ et  $\vect{AC}$ sont colinéaires.
\end{theoreme}

\begin{propriete}
Soit $A$ un point et $\vect{u}$ un vecteur non nul de l'espace.\\
\noi L'ensemble des points $M$ de l'espace pour lesquels il existe un réel $\lambda$ tel que $\vect{AM}=\lambda\vect{u}$ est la droite 
passant par $A$ et de vecteur directeur $\vect{u}$.
\end{propriete}

\section{Vecteurs coplanaires}
\begin{minipage}{12 cm}
\begin{definition} Soit $O$ un point de l'espace.
Dire que les vecteurs  $\vect{u}$,  $\vect{v}$ et  $\vect{w}$ sont coplanaires signifie  le point $O$ et les points $A$, $B$ et $C$ tels que $\vect{u}=\vect{OA}$, $\vect{v}=\vect{OB}$ et $\vect{w}=\vect{OC}$ sont coplanaires.
\end{definition}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6 cm}
\begin{flushright}
\mbox{\includegraphics[width=6 cm]{vect_coplan.eps}}
\end{flushright}
\end{minipage}
on admet le théorème suivant :
\begin{theoreme}
 Les vecteurs  $\vect{u}$,  $\vect{v}$ et  $\vect{w}$ sont coplanaires si, et seulement si, il 
 existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\vect{w}=\alpha\vect{u}+\beta\vect{v}$.
\end{theoreme}

\begin{definition} Soit $\mathscr{P}$ un plan de l'espace, $\vect{u}$ et $\vect{v}$ deux vecteurs non colinéaires.\\
\noi Dire que les vecteurs  $\vect{u}$ et  $\vect{v}$ forment une base $(\vect{u};\vect{v})$ du plan $\mathscr{P}$ signifie qu'il existe 
trois points $A$, $B$  et $C$ non alignés du plan  $\mathscr{P}$ tels que $\vect{u}=\vect{AB}$ et $\vect{v}=\vect{AC}$.
\end{definition}

\begin{propriete}
Soit $A$ un point, $\vect{u}$ et $\vect{v}$  deux vecteurs non colinéaires de l'espace.\\
\noi L'ensemble des points $M$ de l'espace pour lesquels il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tel que $\vect{AM}=\alpha\vect{u}+\beta\vect{u}$ est le plan
passant par $A$ et de base $(\vect{u};\vect{v})$.
\end{propriete}

\section{Repérage dans l'espace}
\subsection{Repère de l'espace}
\begin{definition}
On appelle repère de l'espace tout quadruplet $(O;\vect{i};\vect{j};\vect{k})$ constitué d'un point $O$ de l'espace et de trois vecteurs
non coplanaires.
\end{definition}
La droite passant par $O$ et de vecteur directeur $\vect{i}$ est l'axe des abscisses $(Ox)$.\\
\noi La droite passant par $O$ et de vecteur directeur $\vect{j}$ est l'axe des ordonnées $(Oy)$.\\
\noi La droite passant par $O$ et de vecteur directeur $\vect{i}$ est l'axe des côtes $(Oz)$.\\
\noi Lorsque les droites $(Ox)$, $(Oy)$ et $(Oz)$ sont perpendiculaires deux à deux, le repère $(O;\vect{i};\vect{j};\vect{k})$ est dit 
orthogonal. Si de plus $||\vect{i}||=||\vect{j}||=||\vect{k}||=1$, le repère $(O;\vect{i};\vect{j};\vect{k})$ est dit orthonormal.~\\
\begin{minipage}{9 cm}
\begin{center}
\mbox{\includegraphics[width=4 cm]{repere_espace.eps}}
\end{center}
$(O;\vect{i};\vect{j};\vect{k})$ est un repère de l'espace.
\end{minipage}
\begin{minipage}{9 cm}
\begin{center}
\mbox{\includegraphics[width=4 cm]{cube_vect.eps}}
\end{center}
$(O;\vect{i};\vect{j};\vect{k})$ est un repère orthonormé de l'espace.
\end{minipage}
\subsection{Coordonnées}
Soit $(O;\vect{i};\vect{j};\vect{k})$ un repère de l'espace.
\begin{theoreme}
Pour tout point $M$ de l'espace il existe un unique triplet $(x ; y ; z)$ de réels tels que $\vect{OM}=x\vect{i}+y\vect{j}+z\vect{k}$.\\
On dit alors que le point $M$ a pour coordonnées $(x ; y ; z)$ et l'on note $M(x ; y ; z)$.
\end{theoreme}
Pour tout vecteur $\vect{u}$ il existe un unique point $M(x ; y ; z)$ tel que $\vect{OM}=\vect{u}$, on définie donc : alors les coordonées du .
Les coordonneés vecteur $\vect{u}$ sont les coordonnées du point $M$.

\begin{theoreme}
Pour tout vecteur $\vect{u}$ de l'espace, il existe un unique triplet $(x ; y ; z)$ de réels tels que $\vect{u}=x\vect{u}+y\vect{u}+z\vect{u}$.
\end{theoreme}

\begin{theoreme}
Soient $A(x_A ; y_A ; z_A)$ et $B(x_B ; y_B ; z_B)$  deux points de l'espace. On a :
\begin{description}
\item[$\bullet$] le vecteur $\vect{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A ; y_B-y_A ; z_B-z_A)$ ;
\item[$\bullet$] le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées $(\frac{x_B+x_A}{2} ; \frac{y_B+y_A}{2} ; \frac{z_B+z_A}{2})$;
\item[$\bullet$] si, de plus, le repère $(O;\vect{i};\vect{j};\vect{k})$ est orthonormal, on a  $||\vect{AB}||=AB=\sqrt{{(x_B-x_A )}^2+ {(y_B-y_A)}^2+{(z_B-z_A)}^2}$.
\end{description} 
\end{theoreme}
\section{Equations cartésiennes de quelques surfaces}

\begin{definition}
On appelle équation cartésienne d'un ensemble $\mathscr{S}$ de points de l'espace une relation
vérifiée par les coordonnées $(x ; y ; z)$ de tous les points de $\mathscr{S}$ et seulement par ceux-cii.\\
$M(x;y;z) \in \mathscr{S}$ si, et seulement si, le triplet $(x ; y ; z)$ vérifie la relation.
\end{definition}
\subsection{Equation cartésienne d'un plan parallèle aux plans de coordonnées}
\begin{minipage}{9 cm}
\begin{propriete}
\begin{description}
\item[$\bullet$] Une équation cartésienne d'un plan parallèle au plan $(OIJ)$ est $z=c$, avec $c$ un réel.
\item[$\bullet$] Une équation cartésienne d'un plan parallèle au plan $(OIK)$ est $y=b$, avec $b$ un réel.
\item[$\bullet$] Une équation cartésienne d'un plan parallèle au plan $(OJK)$ est $x=a$, avec $a$ un réel.
\end{description} 
\end{propriete}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9 cm}
\begin{center}
\mbox{\includegraphics[width=6 cm]{equation_plans.eps}}
\end{center}
\end{minipage}

\subsection{Equation cartésienne d'une sphère}
\begin{minipage}{9 cm}
on considère $\mathscr{E}$ un espace muni d'un repère orthonormé $(O;\vect{i};\vect{j};\vect{k})$. 
\begin{propriete}
Soit $R$ un réel strictement positif et $\Omega(x_\Omega;y_\Omega;z_\Omega)$ un point de l'espace. Une équation de la sphère
de centre $I$ et de rayon $R$ est : $${(x-x_\Omega)}^2+{(y-y_\Omega)}^2+{(z-z_\Omega)}^2=R^2$$.
\end{propriete}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9 cm}
\begin{center}
\mbox{\includegraphics[width=6 cm]{sphere.eps}}~\\
$\mathscr{S} \::\: x^2+y^2+z^2=R^2$
\end{center}

\end{minipage}
\end{document} 


 