%\documentclass[10pt,twocolumn]{article}
\documentclass[10pt]{report}
\usepackage[dvips]{color}
%\usepackage{latexsym}
\usepackage[dvips]{graphicx}
%\usepackage{makeidx}
\usepackage{geometry}
\usepackage{amsfonts}
%\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[LGR,T1]{fontenc}
\usepackage[greek,frenchb]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{pstcol,pst-char,pst-text,pst-plot}
\usepackage{amsmath,theorem,fancybox,fancyhdr,ifthen,lastpage,calc,color}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{aeguill}
 \usepackage{hyperref}
 \usepackage{mathrsfs}
\usepackage{multicol}
\hypersetup{ 
    pdfauthor   = {KBIDA Abdellatif},
    pdftitle    = {homothetite},
    pdfsubject = {Vecteurs, géometrie, espace},
    pdfkeywords = {homothetie, centre, rapport}
    }


\everymath{\displaystyle}
\usepackage{pstcol,pst-char,pst-text,pst-plot,pst-tree}

%\documentstyle[12pt,epsf]{article}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bibliographystyle{unsrt}
%\textheight     27cm
%\topmargin     -2cm
%\textwidth     19cm
% utiliser les deux lignes suivantes au lieu des deux précédentes
\addtolength\marginparwidth{-1.5cm}
\addtolength\oddsidemargin{-1.8cm}
\addtolength\evensidemargin{-1.2cm}
\addtolength\headheight{-2cm}
\addtolength\textwidth{3.6cm}
\addtolength\textheight{3cm}


\baselineskip=16pt
\def\baselinestretch{1.1}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\vect}{\overrightarrow}
%\newcommand{\RE}{(O;\vect{i},\vect{j})}
\newcommand{\Un}{{\left(U_n\right)}_{n\in\N}}
\def\baselinestretch{1.1} 
\newcommand{\Ass}{\longmapsto}
\newcommand{\my}{\overline}
\def\noi{\noindent}

\newtheorem{theoreme}{Théorème}
\newtheorem{definition}{Définition}
\newtheorem{propriete}{Propriété}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\setcounter{chapter}{12}
\chapter{Homothéties dans le plan}
\section{Généralités}
\subsection{Définition, exemple }


\begin{definition}
Soit $\Omega$ un point du plan et $k$ un réel non nul.\\
\noi On appelle homothétie de centre $\Omega$  et de rapport $k$ l'application $h$ du plan
dans le plan qui, à tout point $M$ du plan associe le point $M'$ tel que
$\vect{\Omega M}=k\vect{\Omega M'}.$
\end{definition}
\textbf{Exemples :}\\
\begin{tabular}{p{9cm}p{9cm}}
\mbox{\includegraphics[width=6 cm]{homothetie1.eps}}& \mbox{\includegraphics[width=6 cm]{homothetie2.eps}} \\ 
  \footnotesize{Une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $2$.}&  \footnotesize{Une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $-\frac{1}{3}$.} \\ 
 \end{tabular}
 \begin{theoreme}
 Soit $h$ une homothétie de rapport $k \neq 0$ et de centre $\Omega$.
 Si $M'$ est l'image de $M$ par l'homothétie $h$ alors les $M'$,$M$ et $\Omega$ sont alignés.
  \end{theoreme}
  \textbf{Justification et remarque :} d'après la définition, les vecteurs $\vect{\Omega M}$ et $\vect{\Omega M'}$ sont colinéaires, les points  $M'$, $M$ et $\Omega$ sont alignés. Ce théorème permet de "localiser" le centre de l'homothétie connaissant deux points distincts et leurs images.
 \subsection*{Cas particuliers :}
 \begin{description}
\item[$\bullet$] $k=1$ : pour tout point $M$ du plan, $\vect{\Omega M'}=\vect{\Omega M}$ d'où les points $M'$ et $M$ sont confondus.\\
\noi \textbf{Une homothétie de rapport $1$ est l'application identité.}
\item[$\bullet$] $k=-1$ : pour tout point $M$ du plan, $\vect{\Omega M'}=-\vect{\Omega M}$ d'où $\Omega$ est le milieu de $[M'M]$.\\
\noi  \textbf{Une homothétie de rapport $-1$ est la symétrie centrale de centre $\Omega$.}
\end{description}
\subsection*{Point(s) invariant(s) :}
 Soit $h$ une homothétie de rapport $k \neq 0$ et de centre $\Omega$. Si $A$ est
 un point invariant par $h$, alors $h(A)=A$, d'où   $\vect{\Omega A}=k\vect{\Omega A}$
 soit $(1-k)\vect{\Omega A}=\vect{0}$ donc si $k\neq1$ alors $A$ et $\Omega$ sont confondus.\\
 \noi \textbf{Une homothétie différente de l'identité admet un unique point invariant : son centre}\\
 \noi Remarque : une homothétie qui admet deux points distincts invariants est l'identité.
\subsection{Propriété fondamentale }
\begin{theoreme}
L'image d'un bipoint $(M,N)$ par une homothétie de rapport $k$ est un bipoint $(M',N')$ tel que $\vect{M'N'}=k\vect{MN}$.
\end{theoreme}
\textbf{Conséquences :} Une  homothétie  :
\begin{description}
\item[$\bullet$]  transforme une droite en une droite ;
\item[$\bullet$] multiplie les distances par $|k|$ ;
\item[$\bullet$] transforme un triangle en un triangle semblable.
\end{description}
\begin{propriete} de conservation.
Une homothétie $h$ de rapport $k\neq0$ conserve
\begin{description}
\item[$\bullet$]  l'alignement ;
\item[$\bullet$] les angles ;
\item[$\bullet$] le barycentre (en particulier le milieu).
\end{description}
\end{propriete}

\begin{propriete} images de figures usuelles.
Une homothétie $h$ de rapport $k\neq0$ transforme
\begin{description}
\item[$\bullet$]  une droite en une droite parallèle ;
\item[$\bullet$] un segment $[MN]$ en un segment $[M'N']$ parallèle tel que $M'N'=|k|MN$ ;
\item[$\bullet$] un cercle $\mathscr{C}$ de centre $O$ et de rayon $R$ est un cercle de centre $O'=h(O)$ et de rayon $|k|\times R$ ; 
\item[$\bullet$] un triangle en un triangle de même nature.
\end{description}
\end{propriete}

\end{document} 


 