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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bibliographystyle{unsrt}


%\newcommand{\Vec}{\overrightarrow}


\newcommand{\operp}{\bigcirc\kern-10.82pt\raise0.18pt\hbox{\large$\perp$}}
 \newcommand{\Vect}{\overrightarrow}
\newcommand{\RE}{(O ;\Vec{i},\Vec{j})}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} 
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} 
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\noi{\noindent}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead {Premi�res S}
\chead{ \textbf{Correction Devoir Commun N�1}}
\rhead{ \textbf{11/03/2006 }}
\cfoot{}
\rfoot{\thepage / \pageref{LastPage}}


\begin{exercice}

\partie{A}

\begin{enumerate}

\item $f$ est une fonction trin�me $f$, 

On a $a=-1<0$ et $b=6$ on calcule $-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{-2}=3$ et $f(3)=6\times 3-3^2=9$

 \begin{pspicture}(0,-3)(7,0)
\psset{unit=1}
\psframe(0,-3)(7,0)
\psline(0,-1)(7,-1)
\psline(1,0)(1,-3)
\psline{->}(1.2,-2.8)(4,-1.5)
\psline{->}(4.2,-1.5)(6.8,-2.8)



\uput{0}[0](0.5,-0.5){$x$}
\uput{0}[0](1.1,-0.5){$-\infty$}
\uput{0}[0](4,-0.5){3}
\uput{0}[0](4,-1.4){9}

\uput{0}[0](6.2,-0.5){$+\infty$}
\uput{0}[0](0.1,-2){$f(x)$}

 \end{pspicture} 

\item $\mathscr{C}_f$  est une parabole tourn�e vers le bas d'axe de sym�trie la droite d'�quation $x=3$ et de sommet $S(3;9)$. 
La fonction $g$ est affine, $\mathscr{C}_g$ est donc une droite.
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-4)(8,9)
\psset{unit=1}
\psgrid[griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-4)(8,9)
%\footnotesize
\psaxes[linewidth=.5pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-4)(8,9)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psdots(2,8)(3,9)(6,0)
\uput{.2}[225](0,0){$0$}
\uput{.2}[45](2,8){$A$}
\uput{.2}[90](3,9){$S$}
\uput{.2}[45](6,0){$B$}
\uput{.2}[180](0,0.5){$\Vec{j}$}
\uput{0.3}[290](0.2,0){$\Vec{i}$}
\uput{0.1}[45](4.5,7){$\mathscr{C}_f$}
\uput{0.1}[45](7.5,-3.5){$\mathscr{C}_g$}
\uput{0.1}[270](3,0){$3$}

\psline(1.5,9)(8,-4)
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1pt]{-0.5}{6.5}{9 x 3 sub 2 exp sub}
\end{pspicture}
\caption{Exercice 1}
\label{001}
\end{center}
\end{figure}

\item 
$$\begin{array}{l}
f(x)\geq g(x) \\
6x-x^2 \geq 12-2x \\
0 \geq 12-8x+x^2 \\
12-8x+x^2 \leq 0 \\
x^2-8x+12 \leq 0 \\
 \end{array}$$

Les racines du trin�me $x^2-8x+12$ sont $x_1=2$ et $x_2=6$. 

Il est n�gatif ou nul "entre ses racines" donc $S=[2;6].$

On calcule les ordonn�es  $y_1=g(2)=12-2\times 2=8$ et $y_2=g(6)=12 -2\times 6 =0$

Les positions relatives des courbes :
\begin{description}
\item[$\bullet$] $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ pour $x \in ]2;6[$
\item[$\bullet$] $\mathscr{C}_f$ est en-dessous de $\mathscr{C}_g$ pour $x \in ]-\infty;2[ \cup ]6;+\infty[$
\item[$\bullet$] Les  courbes ont deux points d'intersection $A(2;8)$ et $B(6,0)$.
 \end{description}

\end{enumerate}



\partie{B}

\begin{enumerate}

\item $M$ d�crit le segment $[AD]$ et $AD=4$ donc  $x$ d�crit $[0;4]$.

\item Le  triangle $BCH$ est un triangle rectangle isoc�le.

 En effet  $CH=AD=4$ et $BH =AB-CD=6-2=4 $

On a donc $(CH) \perp (BH)$ et $CH=BH$.

\item Les triangles $BHC$ et $BPN$ ont deux angles de m�me mesure. 
Ils sont donc semblables. $BPN$ est un triangle rectangle isoc�le donc $PB=PN=x$.

\item L'aire du  rectangle $\mathscr{A}_{AMNP}=AM \times AP=x(6-x)$ 



\item  L'aire du trap�ze  $\mathscr{A}_{ABCD}=\frac{(2+6)\times 4}{2}=16$.

Pour calculer l'aire du triangle $BCM$ on soustrait l'aire des deux triangles rectangles $MDC$ et $MAB$  � l'aire du trap�ze $ABCD$.

$\mathscr{A}_{BCM}=16 -( \frac{2 \times (4-x) }{2} +\frac{6 \times x}{2})= 16 -4 +x -3x =12-2x$

\end{enumerate}



\partie{C} 
\begin{enumerate}

\item Pour $x \in [0,4]$ on a $\mathscr{A}_{AMNP}=x(6-x)=6x-x^2=f(x)$, l'aire est maximale  lorsque la fonction $f$ atteint son maximum, pour $x=3$,  qui vaut $9$

On a $AM=3$ et $AP=6-3=3$ donc $AM=AP=MN=MP=3$.  Le rectangle $AMNP$ est dans ce cas un carr�.

\item  $\mathscr{A}_{AMNP}=\mathscr{A}_{BCM}$  si et seulement si 

$
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x�\in [0;4]\\
x(6-x)=12-2x
\end{array}\right.$

c'est-�-dire $x=2$ d'apr�s la partie A.

En appliquant le th�or�me de Pythagore dans les triangles $MDC$, $MAB$ et $CHB$ rectangles respectivement en $D$, $A$ et $H$  on a $BC=\sqrt{32}$, $CM=\sqrt{8}$ et $MB=\sqrt{40}$.

On calcule $MB^2=40$ et $BC^2+CM^2=32+8=40$

On a $MB^2=BC^2+CM^2$ d'apr�s la r�ciproque du th�or�me de Pythagore, le triangle $BCM$ est rectangle en $C$.


\item  On exploite la question 3 de la partie A.

 $\mathscr{A}_{AMNP}\geq \mathscr{A}_{BCM}$ est �quivalent � 
$
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x�\in [0;4]\\
x(6-x) \geq 12-2x
\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ 
$
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x�\in [0;4]\\
f(x) \geq g(x)
\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ $x \in [2,6]\cap[0,4]=[2,4]$


\end{enumerate} 
\end{exercice}
\newpage 
\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item $L$ est le barycentre de $(A,1)$ et $(D,3)$  donc $\Vect{AL}=\frac{3}{4}\Vect{AD}$ de m�me on a $\Vect{CK}=\frac{3}{4}\Vect{CD}$.

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(5,4)
\pspolygon(-1,-0.5)(1,4)(5,4)(2,0)
\uput{0.1}[180](-1,-0.5){B}
\uput{0.1}[0](2,0){C}
\uput{0.1}[90](1,4){A}
\uput{0.1}[0](5,4){D}
\uput{0.1}[135](0,1.75){I}
\uput{0.1}[315](0.5,-0.25){J}
\uput{0.1}[225](0.66,1.3){G}
\uput{0.1}[135](2.83,2.58){H}
\uput{0.1}[45](4,4){L}
\uput{0.1}[0](4.25,3){K}
\psdots(4,4)(4.25,3)(2.83,2.58)
\psset{linestyle=dashed}
\psline(0.66,1.16)(5,4)
\psline(0.5,-0.25)(4,4)
\psline(0,1.75)(4.25,3)
\psline(2,0)(0,1.75)
\psline(1,4)(0.5,-0.25)
\psline(1,4)(2,0)
\end{pspicture}
\begin{scriptsize}\caption{Exercice 2}\end{scriptsize}
\label{002}
\end{center}
\end{figure}

\item On sait que  :

 $H$ est le barycentre de $(A,1)$, $(B,1)$, $(C,1)$ et $(D,3)$.

$G$ est  le barycentre de $(A,1)$, $(B,1)$ et $(C,1)$

d'apr�s l'associativit� du barycentre $H$ est le barycentre de $(G,3)$ et $(D,3)$. C'est-�-dire  le milieu de $[GD]$. $H$ appartient donc � $(GD)$

\item On sait que  :

 $H$ est le barycentre de $(A,1)$, $(B,1)$, $(C,1)$ et $(D,3)$.

$J$ est  le barycentre de $(B,1)$ et  $(C,1)$ 

$L$ est  le barycentre et $(A,1)$ et $(D,3)$

d'apr�s l'associativit� du barycentre $H$ est le barycentre de $(J,2)$ et $(L,4)$ par homog�n�it� $(J,1)$ et $(L,2)$ donc  $H$ appartient  � $(JL)$.

\item On sait que

$H$ est le barycentre de $(A,1)$, $(B,1)$, $(C,1)$ et $(D,3)$.

$I$ est  le barycentre de $(A,1)$ et  $(B,1)$ 

$K$ est  le barycentre et $(C,1)$ et $(D,3)$

d'apr�s l'associativit� du barycentre $H$ est le barycentre de $(I,2)$ et $(K,4)$ donc  $H$ appartient donc � $(IK)$.


On peut donc affirmer  que $H \in (GD)$, $H \in (JL)$, et $H \in (IK)$. Les trois droites $(GD)$, $(JL)$, et $(IK)$ sont concourantes en $H$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item 
 $A$ est le barycentre de $(B,1)$, $(C,-1)$ et $(D,1)$  est  �quivalente �  :
$$\begin{array}{l}
 \Vect{AB}-\Vect{AC}+\Vect{AD}=\Vect{0}\\
 \Vect{AB}+\Vect{CA}+\Vect{AD}=\Vect{0}\\
 \Vect{AB}+\Vect{CD}=\Vect{0} \\
 \Vect{AB}=\Vect{DC}
 \end{array}
$$
$A$ est le barycentre de $(B,1)$, $(C,-1)$ et $(D,1)$ \fg est  �quivalente �  $\Vect{AB}=\Vect{DC}$

et $\Vect{AB}=\Vect{DC}$ est �quivalent �  $ABCD$ est un parall�logramme..

La propri�t� \og $A$ est le barycentre de $(B,1)$, $(C,-1)$ et $(D,1)$ \fg est �quivalente � la propri�t� \og $ABCD$ est un parall�logramme \fg.

\item ~

\begin{tabular}{|p{10 cm}|}
\hline
Th�or�me :\\
Si $G$ est le barycentre de $(G_1,\lambda)$ et $(C,\mu)$ avec $\lambda+\mu \neq 0$ \\
et si $G_1$ est le barycentre de $(A,\alpha)$ et $(B,\beta)$ avec $\alpha+\beta \neq 0$\\ 
alors $G$ est le barycentre de  $(A,\frac{\lambda \times \alpha}{\alpha+\beta})$, $(B,\frac{\lambda \times \beta}{\alpha+\beta})$ et $(C,\mu)$.\\
\hline
\end{tabular}
\vspace{0.5 cm}



$ABCD$ et $A'B'C'D'$  sont deux parall�logrammes, on a donc $A$ est le barycentre de $(B,1)$, $(C,-1)$ et $(D,1)$ et $A'$ est le barycentre de $(B',1)$, $(C',-1)$ et $(D',1)$ or $I$ est barycentre de $(A,1)$ et de $(A',1)$. 

En appliquant le th�or�me ci-dessus : $I$ est  le barycentre de  $(B,1)$, $(C,-1)$, $(D,1)$, $(B',1)$, $(C',-1)$ et $(D',1)$ par associativit� du barycentre $I$ est le barycentre de $(J,2)$, $(K,-2)$, $(L,2)$ ce qui est �quivalent � $IJKL$ est un parall�logramme.

\textit{Autre d�monstration possible : }

$I$ est le mileu de $[AA']$ alors
$$\begin{array}{l}
\Vect{IA}+\Vect{IA}=\Vect{0}
\end{array}$$

$ABCD$ est un parall�logramme  donc $A$ est le barycentre de $(B,1)$, $(C,-1)$ et $(D,1)$. 

$A'B'C'D'$ est un parall�logramme donc  $A'$ est le barycentre de $(B',1)$, $(C',-1)$ et $(D',1)$.

Pour tout point $M$ du plan on a :
$$\begin{array}{l}
\Vect{MA}=\Vect{MB}-\Vect{MC}+\Vect{MD} \\
\Vect{MA'}=\Vect{MB'}-\Vect{MC'}+\Vect{MD'} 
\end{array}$$

En particulier pour $I$ 
$$\begin{array}{l}
\Vect{IA}=\Vect{IB}-\Vect{IC}+\Vect{ID} \\
\Vect{IA'}=\Vect{IB'}-\Vect{IC'}+\Vect{ID'} 
\end{array}$$
d'o�
$$\begin{array}{l}
\Vect{IA}+\Vect{IA}=\Vect{0}
\Vect{IB}-\Vect{IC}+\Vect{ID}+\Vect{IA'}+\Vect{IB'}-\Vect{IC'}+\Vect{ID'}=\Vect{0}\\
\Vect{IB}+\Vect{IB'}-\Vect{IC}-\Vect{IC'}+\Vect{ID}+\Vect{ID'}=\Vect{0}
\end{array}$$
 $I$ est donc le barycentre des points $(B,1)$,$(B',1)$, $(C,-1)$,$(C',-1)$, $(D,1)$, et $(D',1)$ par associativit� 
 $I$ est le barycentre des points  $(J,2)$, $(K,-2)$, $(L,2)$ c'est-� -dire par homog�neit� $(J,1)$, $(K,-1)$, $(L,1)$ et d'apr�s la question
\textbf{1.} $IJKL$ est un parall�logramme.


\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}
On a $U_0=0$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $U_1=120$,
 
$U_2=120 -\frac{1}{4}\times 120+120=210$ 

$U_3=210-\frac{1}{4}\times 210+120=277,5$

\item Apr�s la $n$-i�me semaine,  $U_n$ perd un quart de son volume  et on lui ajoute 120  donc pour tout $n\in \GN$  :

 $U_{n+1}=U_n-\frac{1}{4}U_n+120=\frac{3}{4}U_n+120$.
\item $U_2-U_1=90 \neq U_3-U_2=67,5$; la suite $(U_n)$ n'est pas arithm�tique.

$\frac{U_2}{U_1}=\frac{210}{120}=\frac{49}{28}$ et $\frac{U_3}{U_2}=\frac{277,5}{210}=\frac{37}{28}$.

$\frac{U_2}{U_1}\neq \frac{U_3}{U_2}$ la suite  $(U_n)$ n'est pas g�om�trique.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Voir  \textit{figure 3~p.~\pageref{003}}.
\item Voir \textit{figure 3~p.~\pageref{003}}.
\item La suite $(U_n)$ semble �tre croissante et pour un grand nombre de  tontes, $U_n$ semble s'approcher de 480.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n \in  \GN$  on  a : 
$$\begin{array}{l}
V_{n+1}=U_{n+1}-480\\
\\
V_{n+1}=\frac{3}{4}U_{n}+120-480\\
\\
V_{n+1}=\frac{3}{4}U_{n}-360\\
\\
V_{n+1}=\frac{3}{4}(U_{n}-480)\\
\\
V_{n+1}=\frac{3}{4}V_{n}\\
 \end{array}$$
 La suite $(V_n)$ est g�om�trique de raison $\frac{3}{4}$ et de premier terme $V_0=-480$
\item Pour tout $n \in  \GN$,  ~ $V_n=V_0\times q^n=-480\times {\left( \frac{3}{4}\right) }^n$. 

Or $U_n=V_n+480$ d'o� $U_n=480\times(1-{\left( \frac{3}{4}\right) }^n)$

\item  $U_{15}=480\times(1-{\left( \frac{3}{4}\right) }^{15})\approx 473,59$

La semaine suivante les mati�res vont perdre un quart de leur volume,

 il restera environ $500-\frac{3}{4}\times U_{15} \approx 144,81$ litres de libres
dans le bac. Le bac pourra donc contenir les 120 litres de la semaine suivante.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(16,16)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,gridwidth=1pt,griddots=5](0,0)(0,0)(16,16)
\psaxes[linewidth=1pt,linewidth=0.6pt,Ox=100,Oy=100,Dx=100,dx=4, dy=4,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(16,16)
\psline(0,0)(16,16)
\psline(0,3.8)(16,15.8)

\psline( 0.8 , 0.8 )( 0.8 , 4.4 )
\psline( 0.8 , 4.4 ) ( 4.4 , 4.4 )
\psline( 4.4 , 4.4 )( 4.4 , 7.1 )
\psline( 4.4 , 7.1 ) ( 7.1 , 7.1 )
\psline( 7.1 , 7.1 )( 7.1 , 9.125 )
\psline( 7.1 , 9.125 ) ( 9.125 , 9.125 )
\psline( 9.125 , 9.125 )( 9.125 , 10.64375 )
\psline( 9.125 , 10.64375 ) ( 10.64375 , 10.64375 )
\psline( 10.64375 , 10.64375 )( 10.64375 , 11.7828125 )
\psline( 10.64375 , 11.7828125 ) ( 11.7828125 , 11.7828125 )
\psline( 11.7828125 , 11.7828125 )( 11.7828125 , 12.637109375 )
\psline( 11.7828125 , 12.637109375 ) ( 12.637109375 , 12.637109375 )
\psline( 12.637109375 , 12.637109375 )( 12.637109375 , 13.2778320312 )
\psline( 12.637109375 , 13.2778320312 ) ( 13.2778320312 , 13.2778320312 )
\psline( 13.2778320312 , 13.2778320312 )( 13.2778320312 , 13.7583740234 )
\psline( 13.2778320312 , 13.7583740234 ) ( 13.7583740234 , 13.7583740234 )
\psline( 13.7583740234 , 13.7583740234 )( 13.7583740234 , 14.1187805176 )
\psline( 13.7583740234 , 14.1187805176 ) ( 14.1187805176 , 14.1187805176 )

\psset {linestyle=dashed}
\psline( 0.8 ,0)( 0.8 , 0.8 )
\uput{0}[270]( 0.8 ,0){$U_{ 1 }$}
\psline( 4.4 ,0)( 4.4 , 4.4 )
\uput{0}[270]( 4.4 ,0){$U_{ 2 }$}
\psline( 7.1 ,0)( 7.1 , 7.1 )
\uput{0}[270]( 7.1 ,0){$U_{ 3 }$}
\psline( 9.125 ,0)( 9.125 , 9.125 )
\uput{0}[270]( 9.125 ,0){$U_{ 4 }$}
\psline( 10.64375 ,0)( 10.64375 , 10.64375 )
\uput{0}[270]( 10.64375 ,0){$U_{ 5 }$}
\psline( 11.7828125 ,0)( 11.7828125 , 11.7828125 )
\uput{0}[270]( 11.7828125 ,0){$U_{ 6 }$}
\psline( 12.637109375 ,0)( 12.637109375 , 12.637109375 )
\uput{0}[270]( 12.637109375 ,0){$U_{ 7 }$}
\psline( 13.2778320312 ,0)( 13.2778320312 , 13.2778320312 )
\uput{0}[270]( 13.2778320312 ,0){$U_{ 8 }$}
\psline( 13.7583740234 ,0)( 13.7583740234 , 13.7583740234 )
\uput{0}[270]( 13.7583740234 ,0){$U_{ 9 }$}
\psline( 14.1187805176 ,0)( 14.1187805176 , 14.1187805176 )
\uput{0}[270]( 14.2 ,0){$U_{ 10 }$}
\end{pspicture}\label{003}
\begin{scriptsize}\caption{Exercice 4}\end{scriptsize}

\end{center}
\end{figure}







\end{document}