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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bibliographystyle{unsrt}
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%\topmargin     -2cm
%\textwidth     19cm
% utiliser les deux lignes suivantes au lieu des deux précédentes
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\baselineskip=16pt
\def\baselinestretch{1.1}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Vec}{\overrightarrow}
\newcommand{\RE}{(O ;\Vec{i},\Vec{j})}
\newcommand{\Ass}{\longmapsto}
 \newcommand{\eu}{\textgreek{\euro}}
\def\noi{\noindent}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\definecolor{gris}{gray}{0.8}
\noindent
\fcolorbox{black}{gris}{
\makebox[17,6cm][s]{
\textsl{$1^{re}$S 623}\hfill
\textsl{\large{Corrigé du devoir surveillé N°1}}\hfill %(préciser)
\textsl{Mercredi 3  octobre 2005}}}%indiquer l'année scolaire
\pagestyle{empty}
\\

\noi{\bf Exercice 1 :} 

\begin{enumerate}
\item On peut construire $G$ et $H$, en effet dans chaque cas la somme des coefficients est non-nulle.
Pour construire la figure on peut soit utiliser une méthode géométrique à la règle et au compas soit établir les égalités vectorielles suivantes :
\begin{itemize}
\item $G$ barycentre des points $(A;3)$ et $(B;2)$ on a d'après le théorème 2 du cours : $\Vec{AG}=\frac{2}{5}\Vec{AB}$ ou $\Vec{BG}=\frac{3}{5}\Vec{BA}$;
\item $H$ barycentre des points $(A;-3)$ et $(B;8)$ on a d'après le théorème 2 du cours :  $\Vec{AH}=\frac{8}{5}\Vec{AB}$ ou $\Vec{BH}=-\frac{3}{5}\Vec{BA}$.
\end{itemize}
 On obtient la figure suivante :\\
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(13,1)
\psset{unit=1}
%\footnotesize
\psline{-}(0,0)(12.8,0)
\psline{-}(0,0.1)(0,-0.1)
\psline{-}(8,0.1)(8,-0.1)
\psline{-}(3.2,0.1)(3.2,-0.1)
\psline{-}(12.8,0.1)(12.8,-0.1)
\uput{0.1}[270](0,0){$A$}
\uput{0.1}[270](8,0){$B$}
\uput{0.1}[270](3.2,0){$G$}
\uput{0.1}[270](12.8,0){$H$}
\end{pspicture}
\item On a $\Vec{BG}=\frac{3}{5}\Vec{BA}$ et $\Vec{BH}=-\frac{3}{5}\Vec{BA}$ d'où
$\Vec{GB}=\Vec{BH}$ donc $B$ est le milieu du segment $[GH]$.
\end{enumerate}

\noi{\bf Exercice 2 :} \\
\begin{minipage}{8 cm}
Dans le plan muni du repère orthonormal $\RE$, la parabole $\mathscr{P}$ passe par les points :
$A(-1;0)$, $B(0;3)$, $S(1;4)$ et $C(3;0)$. Il y a plusieurs méthodes pour déterminer une équation de
la parabole $\mathscr{P}$.
~\\
~\\
~\\
~\\
~\\
~\\
~\\
~\\
~\\
~\\
~\\
~\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{11 cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2)(4,5)
\psset{unit=1}
\psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(4,5)
%\footnotesize
\psaxes[linewidth=.5pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-2)(4,5)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\uput{.2}[225](0,0){$0$}
\uput{.2}[225](-1,0){$A$}
\psdots(-1,0)(0,3)(1,4)(3,0)
\uput{.2}[135](0,3){$B$}

\uput{.2}[90](1,4){$S$}

\uput{.2}[45](3,0){$C$}

\uput{.2}[180](0,0.5){$\Vec{j}$}
\uput{0.3}[290](0.2,0){$\Vec{i}$}
\uput{0}[0](2.5,2.5){$\mathscr{P}$}
%\uput{.3}[45](7,5.1){$\mathscr{C}_g$}
\psplot[plotpoints=300,linewidth=0.5pt]{-1.3}{3.2}{x 2 exp -1 mul   x 2 mul add  3 add }
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\noi \begin{description}
\item[Méthode 1 :] On sait que l'équation d'une parabole est de la forme $y=ax^2+bx+c$, $\mathscr{P}$ passe par les points $A(-1;0)$, $B(0;3)$, et $C(3;0)$ on a donc :\\

$\left\lbrace  
\begin{array}{l}
0=a-b+c \\
3=c \\
0= 9a+3b+c
\end{array}\right.
$
~$\Leftrightarrow$ ~
$\left\lbrace  
\begin{array}{l}
c=3 \\
a-b=-3\\
9a+3b=-3\\
\end{array}\right.
$
~$\Leftrightarrow$ ~
$\left\lbrace  
\begin{array}{l}
c=3 \\
3a-3b=-9\\
9a+3b=-3\\
\end{array}\right.
$
~$\Leftrightarrow$ ~
$\left\lbrace  
\begin{array}{l}
c=3 \\
a-b=-3\\
12a=-12\\
\end{array}\right.
$
~$\Leftrightarrow$ ~
$\left\lbrace  
\begin{array}{l}
c=3 \\
b=a+3\\
a=-1\\
\end{array}\right.
$
~$\Leftrightarrow$ ~
$\left\lbrace  
\begin{array}{l}
c=3 \\
b=2\\
a=-1\\
\end{array}\right.
$
\\
Une équation de la parabole $\mathscr{P}$ dans le repère orthonormal $\RE$ est $y=-x^2+2x+3$
\textit{(on reconnaît la forme devellopée et réduite du trinôme)}.

\item[Méthode 2 :] La parabole $\mathscr{P}$ coupe l'axe des abscisses en deux points $A(-1;0)$ et $C(3;0)$, ce qui 
signifie que la fonction trinôme associée admet deux racines $x_1=-1$ et $x_2=3$.
Une équation de la parabole $\mathscr{P}$ est de la forme\\ \noi  $y=a(x-x_1)(x-x_2)=a(x+1)(x-3)$. Il ne reste plus qu'à déterminer le réel $a$.\\
\noi  $\mathscr{P}$ passe par le point $B(0;3)$ d'où 

$\begin{array}{l}
3=a(0+1)(0-3)\\
3a=-3 \\
a=-1 
 \end{array}$ \\
Une équation de la parabole $\mathscr{P}$ dans le repère orthonormal $\RE$ est $y=-(x+1)(x-3)$
\textit{(on reconnaît la forme factorisée du trinôme)}.

\item[Méthode 3 :]  $S(1;4)$ est le sommet de la parabole $\mathscr{P}$.
Dans le repère $(S;\Vec{i},\Vec{j})$ l'équation de la parabole $\mathscr{P}$ est $Y=-X^2$, on a 
$\left\lbrace  
\begin{array}{l}
X=x-x_S=x-1 \\
Y=y-y_S=y-4\\
\end{array}\right.
$
d'où 
$
\begin{array}{l}
Y=-X^2\\
y-4=-{(x-1)}^2\\
y=4-{(x-1)}^2
\end{array}$
\\
Une équation de la parabole $\mathscr{P}$ dans le repère orthonormal $\RE$ est $y=4-{(x-1)}^2$ \textit{(on reconnaît la forme cannonique du trinôme)}.

 \end{description}

~\\
\noi{\bf Exercice 3 :} Soit $ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) un trinôme du second degré avec $a$ et $c$
de signes contraires.
\begin{enumerate}
\item Le discriminant du trinôme est $\Delta=b^2-4ac$. \\
$b^2 \geq 0$ est un nombre positif, 
$4ac \leq 0$ car $a$ et $c$ sont de signes contraires alors $-4ac \geq 0$ \\
d'où $\Delta=b^2-4ac\geq 0 $ en tant que somme de nombres positifs. \\
Le discriminant $\Delta$ est positif donc le trinôme admet donc une ou deux racines.
\item Dans le cas où le trinôme admet deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$.\\
On peut remarquer que $a$ et $c$ de signe contraire implique $c\neq 0$ (0 en tant qu'élément neutre n'a pas de signe).
\begin{enumerate}
\item On sait que $\Delta >0$  donc $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$\\
$$\begin{array}{l}
x_1 \times x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\times \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
\\
x_1 \times x_2=\frac{(-b-\sqrt{\Delta})\times (-b+\sqrt{\Delta})}{4a^2}\\
\\
x_1 \times x_2=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}\\
\\
x_1 \times x_2=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}\\
\\
x_1 \times x_2=\frac{4ac}{4a^2}\\
\\
x_1 \times x_2=\frac{c}{a}\\
\end{array}$$

\item Si $a$ et $c$ sont de signes contraires, le rapport $\frac{c}{a}$ est strictement négatif d'où
$x_1 \times x_2<0$ donc une racine est positive et l'autre est négative.

\end{enumerate}
\end{enumerate}
~\\
\noi{\bf Exercice 4 :} 
\begin{enumerate}
\item Pour résoudre dans $\R$ l'équation $x^2-(1+\frac{\sqrt{5}}{2})x+\frac{\sqrt{5}}{2}=0$
on peut dire qu'elle est de la forme $x^2-Sx+P=0$. On a donc :
$$\left\lbrace  
\begin{array}{l}
x_1+x_2=1+\frac{\sqrt{5}}{2}\\
x_1\times x_2=\frac{\sqrt{5}}{2}
\end{array}\right.
$$
Les racines du trinôme sont évidentes $x_1=1$ et $x_2=\frac{\sqrt{5}}{2}$, d'où $S=\{1;\frac{\sqrt{5}}{2}$\}
\item Pour résoudre dans $\R -\{\frac{1}{2};1\}$ l'inéquation suivante 
$\frac{-x^2+x+2}{(x-1)(x-\frac{1}{2})}\geq 0$, on étudie le signe du numérateur et celui du dénominateur.
\begin{itemize}
\item Le trinôme $-x^2+x+2$ admet deux racines $-1$ et $2$, il est négatif à l'extérieur des racines.
\item Le trinôme $(x-1)(x-\frac{1}{2})$ admet deux racines $1$ et $\frac{1}{2}$, il est positif à l'extérieur des racines.
\end{itemize}
\begin{center}
\begin{tabular}
[c]{l}%
\begin{pspicture}(-5.5,-2)(4.5,2)
%cadre
\psframe(-5.5,-2)(4.5,2)
%verticale
\psline{-}(-3,-2)(-3,2) 

\psline{-}(-1.5,-2)(-1.5,1) %-1

\psline{-}(0,-2)(0,1) %1/2
\psline{-}(0.05,-2)(0.05,-1)

\psline{-}(1.5,-2)(1.5,1)%1
\psline{-}(1.55,-2)(1.55,-1)

\psline{-}(3,-2)(3,1) %2

%\footnotesize
\uput{0}[0](-4.5,1.5){$x$}
\uput{0.2}[0](-5.5,0.5){$-x^2+x+2$}
\uput{0.2}[0](-5.5,-0.5){$(x-1)(x-\frac{1}{2})$}
\uput{0.1}[0](-5.5,-1.5){$\frac{-x^2+x+2}{(x-1)(x-\frac{1}{2})}$}

\uput{0}[0](-3,1.5){$-\infty$}
\uput{0}[0](-1.7,1.5){$-1$}
\uput{0}[0](0,1.5){$\frac{1}{2}$}
\uput{0}[0](1.5,1.5){$1$}
\uput{0}[0](3,1.5){$2$}
\uput{0}[0](3.7,1.5){$+\infty$}


\uput{0}[0](-1.6,0.5){0}
\uput{0}[0](2.9,0.5){0}


\uput{0}[0](-2.2,0.5){$-$}
\uput{0}[0](-0.7,0.5){$+$}
\uput{0}[0](0.8,0.5){$+$}
\uput{0}[0](2.3,0.5){$+$}
\uput{0}[0](3.8,0.5){$-$}


\uput{0}[0](-0.1,-0.5){0}
\uput{0}[0](1.4,-0.5){0}
\uput{0}[0](-2.2,-0.5){$+$}
\uput{0}[0](-0.7,-0.5){$+$}
\uput{0}[0](0.8,-0.5){$-$}
\uput{0}[0](2.3,-0.5){$+$}
\uput{0}[0](3.8,-0.5){$+$}


\uput{0}[0](-1.6,-1.5){0}
\uput{0}[0](2.9,-1.5){0}
\uput{0}[0](-2.2,-1.5){$-$}
\uput{0}[0](-0.7,-1.5){$+$}
\uput{0}[0](0.8,-1.5){$-$}
\uput{0}[0](2.3,-1.5){$+$}
\uput{0}[0](3.8,-1.5){$-$}

%\psline{-}(4,-2)(4,2)

%horizontale
\psline{-}(-5.5,1)(4.5,1)
\psline{-}(-5.5,0)(4.5,0)
\psline{-}(-5.5,-1)(4.5,-1)
\psline{-}(-5.5,-2)(4.5,-2)
 \end{pspicture}%
\end{tabular}
\end{center}

On a donc $S=[-1;\frac{1}{2}[\cup]1;2]$
\end{enumerate}




\end{document}

 