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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\RE}{(O ;\Vec{i},\Vec{j})}
\newcommand{\Ass}{\longmapsto}
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\def\noi{\noindent}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\definecolor{gris}{gray}{0.8}
\noindent
\fcolorbox{black}{gris}{
\makebox[17,6cm][s]{
\textsl{$1^{re}$S 623}\hfill
\textsl{\large{Corrigé du devoir surveillé N°2}}\hfill %(préciser)
\textsl{Lundi 14  novembre 2005}}}%indiquer l'année scolaire
\pagestyle{empty}
\\

\noi{\bf Exercice 1 :} 
Un point $M(x;y)$ appartient à $\mathscr{C}_f \cap \mathscr{C}_g$ si et seulement, si 
$     \left\lbrace      \begin{array}{l}
	y=2x+1\\
	y=\frac{1}{x+1}
	\end{array}\right.$
\\ \noi On résout donc l'équation $2x+1 =\frac{1}{x+1}$ sur $\R-\{-1\}$ qui est équivalente à :

$$\begin{array}{l}
\frac{2x^2+3x}{x+1}=0 \\
\\
\frac{2x(x+\frac{3}{2})}{x+1}=0
  \end{array}$$

\noi On obtient deux solutions:
\begin{description}

\item[]$x_1=0$ et $y_1=2\times 0+1=1$ soit le point $M_1(0;1)$ ;
\item[] $x_2=-\frac{3}{2}$ et $y_2=2\times \left( -\frac{3}{2}\right)+1=-2$ soit le point $M_2(-\frac{3}{2};-2)$. 
 \end{description}
\noi{\bf Exercice 2 :} 
\begin{enumerate}
\item $I$ appartient à $\mathscr{E}$ si et seulement, si $||\Vec{IO}+\Vec{IB}-\Vec{IC}||=\frac{a}{2}$.\\
\noi On pose $\Vec{V}_I= \Vec{IO}+\Vec{IB}-\Vec{IC}$, on cherche à déterminer $||\Vec{V}_I||$.
$$\begin{array}{ll}
&\Vec{V}_I=\Vec{IO}+\Vec{IB}-\Vec{IC}\\
&\Vec{V}_I=\Vec{IO}+\Vec{IB}+\Vec{CI}\\
&\Vec{V}_I=\Vec{IO}+\Vec{CB}\\
&\\
\mbox{ or } &\Vec{IO}= -\frac{1}{2}\Vec{CB}\\
&\\
\mbox{ d'o\`u }&\Vec{V}_I=-\frac{1}{2}\Vec{CB}+\Vec{CB}\\
&\Vec{V}_I=\frac{1}{2}\Vec{CB}\\
&||\Vec{V}_I||=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}a
  \end{array}$$
 $I$ appartient donc à $\mathscr{E}$.

\item Soit $G$ le barycentre de $(O,1)$,  $(B,1)$ et  $(C,-1)$, on a pour tout point $M$
du plan $\Vec{MO}+\Vec{MB}-\Vec{MC}=\Vec{MG}$\\
\noi 
or un point $M$ appartient à $\mathscr{E}$ si et seulement, si $||\Vec{MO}+\Vec{MB}-\Vec{MC}||=\frac{a}{2}$
ce qui est équivalent à $||\Vec{MG}||=\frac{a}{2}$ c'est-à-dire $MG=\frac{a}{2}$.
On peut en déduire que $\mathscr{E}$ est un cercle de centre $G$ et de rayon $\frac{a}{2}$.
\end{enumerate}
\noi{\bf Exercice 3 :} 
Soit $I$ un intervalle symétrique de $\R$. Toutes les fonctions de cet exercice sont définies sur l'intervalle $I$.
\begin{enumerate}
\item L'assertion  1 est vraie.\\
\noi $f$ est une fonction paire, pour tout $x$ de $I$ on a $f(-x)=f(x)$.\\
\noi $g$ est une fonction impaire, pour tout $x$ de $I$ on a $g(-x)=g(x)$.\\
\noi Soit $x$ un réel quelconque de $I$ on a 
$$\begin{array}{l}
h(-x)=f(-x)\times g(-x) \\
h(-x)=f(x)\times( -g(x))\\
h(-x)=-f(x)\times g(x)\\
h(-x)=-h(x)
\end{array}$$
donc pour tout $x$ de $I$, $h(-x)=-h(x)$ la fonction $h$ est une fonction impaire.
\item L'assertion 2 est fausse.\\
\noi Il suffit de considérer la fonction identité $x \longmapsto x$, cette fonction est croissante et impaire.
\item L'assertion 3 est fausse. \\
\noi Il existe une et une seule fonction paire et impaire sur $\R$ c'est la fonction nulle $x \longmapsto 0$.
\item Question facultative hors barême : l'assertion 4 est vraie.\\
\noi $f$ est une fonction impaire, pour tout $x$ de $I$, on a : $f(-x)=-f(x)$.\\
\noi Soit $x$ un réel quelconque de $I$ on a 
$$\begin{array}{l}
k(-x)=|f(-x)| \\
k(-x)=|-f(x)|\\
k(-x)=|f(x)|\\
k(-x)=k(x)
\end{array}$$
donc pour tout $x$ de $I$, $k(-x)=k(x)$ la fonction $k$ est une fonction paire.

\end{enumerate}
\noi{\bf Exercice 4 :} 
\begin{enumerate}
\item On a :
$$\begin{array}{r}
\Vec{BE}=\Vec{DC} \\
\Vec{BE}-\Vec{DC}=\Vec{0}\\
\Vec{BD}+\Vec{DE}-\Vec{DC}=\Vec{0}\\
\Vec{DE}-\Vec{DB}-\Vec{DC}=\Vec{0}\\
-\Vec{DE}+\Vec{DB}+\Vec{DC}=\Vec{0}\\
\end{array}$$
par définition du barycentre, $D$ est le barycentre de $(E,-1)$, $(B,1)$ et $(C,1)$ 
\item $F$ est le milieu de $[AD]$ on a $\Vec{FA}+\Vec{FD}=\Vec{0}$ donc par définition du barycentre
$F$ est le barycentre de $(A,1)$ et $(D,1)$.
\item On sait que $D$ est le barycentre de $(E,-1)$, $(B,1)$ et $(C,1)$ donc pour tout point $M$ du plan on a\\
 \noi $-\Vec{ME}+\Vec{MB}+\Vec{MC}=\Vec{MD}$ \\
\noi ce qui donne en particulier pour le point $F$ \\ \noi $-\Vec{FE}+\Vec{FB}+\Vec{FC}=\Vec{FD}$ soit
$$\begin{array}{ll}
&-\Vec{FE}+\Vec{FB}+\Vec{FC}=\Vec{FD}\\
&-\Vec{FE}+\Vec{FB}+\Vec{FC}-\Vec{FD}=\Vec{0}\\
\mbox{ or }& \Vec{FA}=-\Vec{FD} \\
\mbox{ d'o\`u }&  -\Vec{FE}+\Vec{FB}+\Vec{FC}+\Vec{FA}=\Vec{0}
\end{array}$$
donc par définition du barycentre, $F$ est le barycentre de $(A,1)$, $(B,1)$, $(C,1)$ et $(E,-1)$ .\\
\noi On sait que $G$ est le barycentre de $(A,1)$, $(B,1)$, $(C,1)$ par associativité du barycentre
$F$ est le barycentre $(G,3)$ et $(E,-1)$, on en déduit que $F$ appartient à la droite $(EG)$.
Les trois points $E$, $F$ et $G$ sont donc alignés 



\end{enumerate}

\end{document}

 