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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bibliographystyle{unsrt}
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% utiliser les deux lignes suivantes au lieu des deux précédentes
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\baselineskip=16pt
\def\baselinestretch{1.1}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Vec}{\overrightarrow}
\newcommand{\RE}{(O ;\Vec{i},\Vec{j})}
\newcommand{\Ass}{\longmapsto}
 \newcommand{\eu}{\textgreek{\euro} }
\def\noi{\noindent}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\definecolor{gris}{gray}{0.8}
\noindent
\fcolorbox{black}{gris}{
\makebox[17,6cm][s]{
\textsl{Première S3}\hfill
\textsl{\large{Correction détaillée DSN°3}}\hfill %(préciser)
\textsl{Mercredi  4 janvier 2006}}}%indiquer l'année scolaire
\pagestyle{empty}
\\


\noi{\bf Exercice 1 :}
\begin{enumerate}
\item \textit{Rappel : mesure principale d'un angle de deux vecteurs non-nuls $(\Vec{u},\Vec{v})$.\\
\noi Soit une $\alpha$ une mesure de l'angle $(\Vec{u},\Vec{v})$, pour tout $k\in \mathbb{Z} \;\; \alpha_k=\alpha+2k\pi$
est aussi une mesure de l'angle $(\Vec{u},\Vec{v})$. La mesure principale de l'angle $(\Vec{u},\Vec{v})$
est parmi les réels $\alpha_k$, l'unique valeur appartennant à l'intervalle $]-\pi,\pi]$.}
On a donc :
\begin{description}
\item[$\bullet$] $\frac{5\pi}{3}=\frac{6\pi-\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2\pi$ la mesure principale de $\frac{5\pi}{3}$ est $-\frac{\pi}{3}$.
\item[$\bullet$]  $\frac{-5\pi}{4}=\frac{-8\pi+3\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}-2\pi$ la mesure principale de $-\frac{5\pi}{4}$ est $\frac{3\pi}{4}$.
\item[$\bullet$] $\frac{31\pi}{6}=\frac{36\pi-5\pi}{6}=12\pi-\frac{5\pi}{6}$ la mesure principale de $\frac{31\pi}{6}$ est $-\frac{5\pi}{6}$
\end{description}
\item On rappelle que pour tout $x\in \R$ on a $sin(-x)=sin(x)$, $cos(\frac{\pi}{2}-x)=sin(x)$ et $sin(\pi+x)=-sin(x)$. \\
\noi
$\begin{array}{l}
A=cos(\frac{5\pi}{14}) +2sin(\frac{\pi}{7})+sin(\frac{8\pi}{7})+sin(-\frac{\pi}{7})\\ 
\\
A=cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7}) +2sin(\frac{\pi}{7})+sin(\pi+\frac{\pi}{7})-sin(\frac{\pi}{7})\\
\\
A=cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7}) +2sin(\frac{\pi}{7})+sin(\pi+\frac{\pi}{7})-sin(\frac{\pi}{7})\\
\\
A=sin(\frac{\pi}{7})+2sin(\frac{\pi}{7})-sin(\frac{\pi}{7})-sin(\frac{\pi}{7}) \\
\\
A=sin(\frac{\pi}{7})
\end{array}$



\end{enumerate}

\noi{\bf Exercice 2 :}\\
Soit $G$ le barycentre de $(A;1)$ et $(B,-2)$ on a pour tout $M$ du plan on a $\Vec{MA}-2\Vec{MB}=-\Vec{MG}=\Vec{GM}$.
\\ \noi 
Un point $M$ appartient à $\mathscr{E}$ si et seulement, si $(\Vec{MA}-2\Vec{MB},\Vec{AB})=\frac{\pi}{4}$ ce qui est équivalent à $(\Vec{GM},\Vec{AB})=\frac{\pi}{4}$.
L'ensemble $\mathscr{E}$ est donc une demi-droite dont l'origine $G$ est exclue.

\begin{pspicture}(-0.5,-5)(13,1)
\psset{unit=1}

\psline{-}(0,0)(8,0)
\psline{-}(8,0)(12,-4)
\psline[linestyle=dashed]{->}(8,0)(12,0)
\uput{0.1}[90](10,0){$\Vec{u}$}

\psdot[dotstyle=+](0,0)
\psdot[dotstyle=+](4,0)
\psdot[dotstyle=+](8,0)
\psdot(11,-3)
\psarc[arcsepB=1pt]{->}(10,-1){2}{50}{80}
\uput{0}[45](10.8,0.8){$+$}
\uput{0.1}[225](0,0){$A$}
\uput{0.1}[225](4,0){$B$}
\uput{0.1}[225](8,0){$G$}

\psarc[arcsepB=1pt,linestyle=dashed]{->}(8,0){0.5}{315}{0}
\uput{0}[0](8.75,-0.4){$+\frac{\pi}{4}$}
\uput{0.1}[180](11,-3){$M_0$}
\uput{0.2}[180](11.5,-3.5){$\mathscr{E}$}
\footnotesize
\uput{0.1}[90](4,-2){On pose $ \Vec{u}=\Vec{AB}.$}
\end{pspicture}
\\ \noi L'ensemble $\mathscr{E}$ est la demi-droite $]GM_0)$ avec $M_0$ un point tel que $(\Vec{GM_0},\Vec{AB})=\frac{\pi}{4}$. 
\newpage

\noi{\bf Exercice 3 :}\\

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On sait que $ABCD$ est un carré et que $AED$ est triangle équilatéral on a donc
$AD=AB=AE$. Le triangle $ADE$ est isocèle de sommet $A$. 
\item On a  $(\Vec{AB},\Vec{AD})=(\Vec{AB},\Vec{AE})+(\Vec{AE},\Vec{AD})$ d'où
$(\Vec{AE},\Vec{AD})=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}$.\\
\noi On sait de plus que triangle $AED$ est isocèle de sommet $A$ on a 
$(\Vec{ED},\Vec{EA})=(\Vec{DA},\Vec{DE})$.
On en conclut que $(\Vec{ED},\Vec{EA})=\frac{1}{2}(\pi-(\Vec{AE},\Vec{AD}))=\frac{1}{2}\times \frac{5\pi}{6}=\frac{5\pi}{12}$
\end{enumerate}
\item $(\Vec{BE},\Vec{BF})=(\Vec{BE},\Vec{BC})+(\Vec{BC},\Vec{BF})=-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}$.\\
\noi On en déduit que le triangle $EBC$ est rectangle en $B$ et comme il est isocèle on a donc $(\Vec{EB},\Vec{EF})=\frac{\pi}{4}$.
\item 
\begin{enumerate}
\item D'après la relation de Chasles et les questions précédentes on a

 $$
\begin{array}{l}
(\Vec{ED},\Vec{EF})=(\Vec{ED},\Vec{EA})+(\Vec{EA},\Vec{EB})+(\Vec{EB},\Vec{EF})\\
(\Vec{ED},\Vec{EF})=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\\
(\Vec{ED},\Vec{EF})=\pi
\end{array}$$
\item Les vecteurs $\Vec{ED}$ et $\Vec{EF}$ ont la même direction mais des sens opposés. On en déduit que les
points $E$, $D$ et $F$ sont alignés.
\end{enumerate}

\end{enumerate}












\noi{\bf Exercice 4 :}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$  par:
	$$f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2+1}.$$
\begin{enumerate}
\item On chercher à déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout $x \in \R$  on ait $f(x)=a+\frac{b}{x^2+1}$.
On peut utiliser deux méthodes :
\begin{description}
\item Première méthode :\\ 
\noi Pour tout $x \in \R$ on a : $a+\frac{b}{x^2+1}=\frac{ax^2+a+b}{x^2+1}$ or $f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2+1}$ pour que ces deux expressions
soient égales il faut et il suffit que :
$$
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
a=2\\
a+b=1
\end{array}\right.
$$
d'où $a=2$ et $b=-1$.
\item Seconde méthode :\\
 Pour tout $x \in \R$ on a :
$$
\begin{array}{l}
f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2+1}\\
\\
f(x)=\frac{2(x^2+1)-2+1}{x^2+1} \\
\\
f(x)=\frac{2(x^2+1)}{x^2+1}+\frac{-1}{x^2+1}
\\
f(x)=2+\frac{-1}{x^2+1}
\end{array}$$
d'où $a=2$ et $b=-1$.

\end{description}
\item Pour tout $x \in \R$,  $\frac{-1}{x^2+1}<0$  de plus :
$$
\begin{array}{l}
x^2\geq 0\\
x^2+1\geq 1\\

\frac{1}{x^2+1}\leq 1 \\
\\
-\frac{1}{x^2+1}\geq -1 \\
\\
-1 \leq -\frac{1}{x^2+1}
\end{array}$$
on obtient $-1 \leq -\frac{1}{x^2+1}<0$, il suffit d'ajouter $2$, $1 \leq 2-\frac{1}{x^2+1}<2$ d'où pour tout $x \in \R$ on a $1\leq f(x) <2$.
\end{enumerate}
\end{document}

 