\documentclass[a4paper]{article}
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\def\noi{\noindent}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{ 623}
\chead{\begin{large}Corrigé DS  N°4\end{large}}
\rhead{17/02/2006}
\lfoot{\begin{small}tysepet by \LaTeX\end{small}}
\cfoot{}

\begin{exercice}
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$ par :
$$ f(x)=3x-5\; \mbox{et}\; g(x)=\frac{2x^2+1}{x^2+1}$$
\begin{enumerate}
\item On veut montrer que, pour tout réel $x$, on a $1\leq g(x) < 2$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ on a : 
$$\begin{array}{ll}
&0<x^2+1\leq 2x^2+1 \\
&\\
\Leftrightarrow &0<\frac{x^2+1}{x^2+1}\leq \frac{2x^2+1}{x^2+1} \\
&\\
\mbox{ d'où }&1\leq g(x)\\

 \end{array}$$

\item Pour tout réel $x$ on a, 
$$\begin{array}{l}
g(x)=\frac{2x^2+1}{x^2+1} \\
\\
g(x)=\frac{2x^2+2-1}{x^2+1}\\
\\
g(x)=\frac{2(x^2+1)-1}{x^2+1}\\
\\
g(x)=\frac{2(x^2+1)}{x^2+1}+\frac{-1}{x^2+1}\\
\\
g(x)=2-\frac{1}{x^2+1}
 \end{array}$$


Pour  tout réel $x$, on a $-\frac{1}{x^2+1} < 0$ d'où $2-\frac{1}{x^2+1} < 2$ donc  $g(x)< 2$.
\item D'après 1 (a) et (b) pour tout réel $x$ on a $$1\leq g(x) < 2.$$
\end{enumerate}

\item La fonction $f$ est une fonction affine non constante, elle n'est donc ni minorée, ni majorée sur $\GR$.
La fonction $f$ n'est donc pas bornée sur $\GR$.


\item On a vu que pour  tout réel $x$ on a $1\leq g(x) < 2$. Comme cette relation est vraie pour tout $x$
elle est donc vérifiés par tous les réels $f(x)$. On a donc : 
$$\begin{array}{l}
1\leq g(f(x)) < 2\\
1\leq (g \circ f )(x) < 2
\end{array}
$$
La fonction $g \circ f $ est donc bornée sur $\GR$.


\item $1^{re}$ méthode : on peut dresser le tableau de variation de la fonction affine $f$ et remarquer que pour  tout réel $x$ on a $1\leq g(x) < 2$.
\vspace{0.2cm}


 \begin{pspicture}(0,-3)(7,0)
\psset{unit=1}
\psframe(0,-3)(7,0)
\psline(0,-1)(7,-1)
\psline(1,0)(1,-3)
\psline{->}(1.2,-2.8)(6.8,-1.2)
\psset{linestyle=dashed}

\psline(3,-1)(3,-3)
\psline(5,-1)(5,-3)

\uput{0}[0](0.5,-0.5){$x$}
\uput{0}[0](1.1,-0.5){$-\infty$}
\uput{0}[0](2.95,-0.5){1}
\uput{0}[0](2.5,-2.15){$-2$}

\uput{0}[0](4.95,-0.5){2}
\uput{0}[0](4.8,-1.55){$1$}

\uput{0}[0](6.2,-0.5){$+\infty$}
\uput{0}[0](0.1,-2){$f(x)$}

 \end{pspicture}

\vspace{0.2cm}

On en déduit donc que pour tout réel $x$ on a  $-2 \leq \left( f\circ g \right) (x) <1$.

~

$2^{me}$ méthode : la fonction affine $f$ est croissante et une fonction croissante conserve l'ordre. On a pour tout réel $x$  :


$$\begin{array}{l}
1\leq g(x) < 2 \\
f(1) \leq f(g(x)) <f(2) \\
-2 \leq \left( f\circ g \right) (x) <1
\end{array}
$$

\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item Soit $((U_n)_{n\in \N})$ une suite géométrique telle que $U_2=9$ et $U_5=243$.
\begin{enumerate}
\item La suite est  géométrique, on a donc $U_5=q\times U_4=q\times q\times U_3= q\times q\times q\times U_2$
d'où 
$$\begin{array}{ll}
&U_5=q^3U_2 \\
\Leftrightarrow &q^3=27\\
\Leftrightarrow& q= \sqrt[3]{27}=3\\
  \end{array}$$
On a aussi $U_2=3^2\times U_0$ d'où $U_0=1$
\item On en déduit que pour tout $n \in \GN$ on a  $U_n=3^n$.
\item Pour tout $n \in \GN^*$ on a  $ S_{n}=\frac{3^n-1}{2}$ 

Le calcul à la main de $2 \times 423\,644\,304\,721 +1$ donne $ 847\,288\,609\,443$

 $$\begin{array}{ll}
&S_n>423\,644\,304\,721 \\
\Leftrightarrow& 3^n> 847\,288\,609\,443 \\
\Leftrightarrow& n>25
  \end{array}$$
A partir du rang $n_0=26$, la somme $S_n$ est strictement supérieure à $423\,644\,304\,721$.
\end{enumerate}
\item Soit $A$ et $B$ deux points disctincts du plan tels que $AB=8\;cm$.
\begin{enumerate}
\item Rappelons qu'un système de points pondérés admet un barycentre si, et seulement si, la somme des coefficients 
du système est non nulle. Pour tout $n \in \GN$ on a  :
$$\begin{array}{l}
U_{n+1}+U_n=3^{n+1}+3^n\\
U_{n+1}+U_n= 3^n(3+1) \\
U_{n+1}+U_n=3^n\times 4 \neq 0
  \end{array}
$$
donc le système $\left\lbrace (A,U_n)\, ; \, (B,U_{n+1}) \right\rbrace $ admet un barycentre $G_n$.
\item $G_0$ est le barycentre $\left\lbrace (A,U_0)\, ; \, (B,U_{1}) \right\rbrace $, c'est-à-dire $\left\lbrace (A,1)\, ; \, (B,3) \right\rbrace $ on a donc

$$\begin{array}{l}
\Vect{G_0A}+3 \Vect{G_0B}=\Vect{0}\\
4\Vect{G_0A}+3 \Vect{AB}=\Vect{0}\\

\Vect{AG_0}=\frac{3}{4} \Vect{AB}\\
  \end{array}.
$$
Ce qui permet de placer le point $G_0$. On peut aussi utiliser une méthode géométrique.


 \begin{pspicture}(0,-1)(8,3)

\psline(0,0)(8,0)
\psline(0,0)(0,3)
\psline(8,0)(8,-1)
\psset{linestyle=dashed, dotstyle=+}
\psline(0,3)(8,-1)

\psdots(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(6,0)(8,0)(8,-1)


\uput{0}[240](0,-0.1){$A$}
\uput{0}[320](8,-0.1){$B$}
\uput{0}[240](6,-0.1){$G_0$}

 \end{pspicture}

\item Pour tout $n\in \N$, $U_n\neq 0$.

 $1^{re}$ méthode :  $G_n$ est le barycentre de  $\left\lbrace (A,U_n)\, ; \, (B,U_{n+1}) \right\rbrace $ c'est-à-dire de 
$\left\lbrace (A,U_n)\, ; \, (B,3\times U_{n}) \right\rbrace $ et  d'après la propriété d'homogéneité du barycentre ( on ne change pas le barycentre en 
en multipliant les coefficents par un même réel non nul) on a $G_n$  barycentre de $\left\lbrace (A,1)\, ; \, (B,3) \right\rbrace $.

$2^{me}$ méthode : $$\begin{array}{l}
3^n\Vect{G_nA}+3^{n+1} \Vect{G_nB}=\Vect{0}\\
3^n\Vect{G_nA}+3^{n+1} \Vect{G_nA}+3^{n+1} \Vect{AB}=\Vect{0}\\
(3^n+3^{n+1})\Vect{G_nA}+3^{n+1} \Vect{AB}=\Vect{0}\\
3^n\times(1+3)\times \Vect{G_nA}+3^{n+1} \Vect{AB}=\Vect{0}\\

3^n\times 4 \times \Vect{G_nA}+3^{n+1} \Vect{AB}=\Vect{0}\\
\\
\Vect{AG_n}=\frac{3^{n+1}}{3^n\times 4 } \Vect{AB}\\
\\
\Vect{AG_n}=\frac{3^{n}\times 3}{3^n\times 4 } \Vect{AB}=\frac{3}{4} \Vect{AB}\\
  \end{array}.
$$
On reconnait l'égalité vectorielle vérifiéé par $G_0$, on en déduit que  pour tout $n\in \GN$, on a $G_n=G_0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}
On considère deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier $n$ par :

$\left\lbrace  \begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=2u_n-5
\end{array}\right.$
et $v_n=5-u_n$.
\begin{enumerate}
\item Calcul des cinq premiers termes :
$$\begin{array}{lcl}
u_0=1 & \mbox{ et} & v_0=4 \\
u_1=-3 & \mbox{ et} &v_1=8 \\
u_2=-11 &  \mbox{ et}&v_2=16 \\
u_3=-27 & \mbox{ et} &v_3=32 \\
u_4=-59 &  \mbox{ et}&v_4=64 \\
  \end{array}.
$$

\item Pour tout $n \in \GN$, $v_{n+1}=5-u_{n+1}=5-2u_n+5= 2\times (5-u_n)=2\times v_n$. La suite $(v_n)$ est donc
géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0=4$ 
\item On a donc  pour tout $n \in \GN$, $v_n=4\times2^n$ d'où $u_n=5-4\times2^n=5-2^{n+2}$.
\item Pout tout  $n \in \GN$, on étudie le signe de la diférence $u_{n+1}-u_n$.
$$\begin{array}{l}
u_{n+1}-u_n=5-2^{n+3}--5+2^{n+2}\\
u_{n+1}-u_n=-2^{n+3}+2^{n+2}\\
u_{n+1}-u_n=2^{n+2}(1-2) \\
u_{n+1}-u_n=-2^{n+2}<0
  \end{array}.
$$
La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\end{document}

 