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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\RE}{(O ;\Vec{i},\Vec{j})}
\newcommand{\Ass}{\longmapsto}
 \newcommand{\eu}{\textgreek{\euro}}
\def\noi{\noindent}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\definecolor{gris}{gray}{0.8}
\noindent
\fcolorbox{black}{gris}{
\makebox[17,6cm][s]{
\textsl{$1^{re}$S 623}\hfill
\textsl{\large{Devoir surveillé N°2}}\hfill %(préciser)
\textsl{Lundi 14 novembre 2005}}}%indiquer l'année scolaire
\pagestyle{empty}
\\


\noi{\bf Exercice 1 :} 

Soient les fonctions définies respectivement sur $\R$ et
	$\R-\{-1\}$ par:
	$$f(x)=2x+1\mbox{ et } g(x)=\frac{1}{x+1}$$.
 On considère les courbes représentatives $\mathscr{C}_f$ et
	$\mathscr{C}_g$ des fonctions $f$ et $g$ dans le repère.
	$\RE$ 
\begin{enumerate}
\item Déterminer algébriquement les coordonnées des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ et de$\mathscr{C}_g$
\end{enumerate}

 

~\\
\noi{\bf Exercice 2 :} Soit $ABCD$ un carré de centre $O$ et de côté $a$. On note $I$ 
le milieu de $[AB]$.
Soit $\mathscr{E}$ l'ensemble des points $M$ tels que : $$||\Vec{MO}+\Vec{MB}-\Vec{MC}||=\frac{a}{2}.$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point $I$ appartient à $\mathscr{E}$.
\item Déterminer et tracer l'ensemble $\mathscr{E}$.
\end{enumerate}

~\\
\noi{\bf Exercice 3 :} Répondre par vrai ou faux aux assertions suivantes.
On demande une démonstration si l'assertion est vraie et un contre-exemple si l'assertion est fausse.\\
~\\
\noi Soit $I$ un intervalle symétrique de $\R$, toutes les fonctions de cet exercice sont définies sur l'intervalle $I$.
\begin{enumerate}
\item Si $f$ est une fonction paire et $g$ une fonction impaire alors la fonction $h$ : 
$     \left\lbrace      \begin{array}{lll}
	I&\rightarrow&\R \\
	x&\longmapsto &f(x)\times g(x)
	\end{array} \right. $ est une fonction impaire.
\item Si une fonction est croissante alors elle ne peut pas être impaire.
\item Il n'existe pas de fontion à la fois paire et impaire.
\item Si $f$ est une fonction impaire alors la fonction $k$ :
$        \left\lbrace  \begin{array}{lll}
	I&\rightarrow&\R \\
	x&\longmapsto &|f(x)|
	\end{array} \right. $ est une fonction paire.
\end{enumerate}

~\\


\noi{\bf Exercice 4 :} On considère un quadrilatère $ABCD$ convexe. 
Soit $F$ le milieu de $[AD]$, $G$  le centre de gravité du triangle $ABC$ et 
$E$ le point tel que : $\Vec{BE}=\Vec{DC}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer trois réels $x$, $y$ et $z$ tels que $D$ soit le barycentre
de $(E,x)$, $(B,y)$ et $(C,z)$.
\item Exprimer $F$ comme un barycentre de $A$ et de $D$.
\item En déduire que $F$ est le barycente $(A,1)$,$(B,1)$,$(C,1)$ et $(E,-1)$
puis que les points $F$,$G$ et $E$  sont alignés.
\end{enumerate}

\end{document}

 