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\def\noi{\noindent}
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{ 623}
\chead{\begin{large}Devoir surveillé  N°4\end{large}}
\rhead{17/02/2006}
\lfoot{\begin{small}tysepet by \LaTeX\end{small}}
\cfoot{}

\begin{exercice}
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$ par :
$$ f(x)=3x-5\; \mbox{et}\; g(x)=\frac{2x^2+1}{x^2+1}$$
\begin{enumerate}
\item On veut montrer que, pour tout réel $x$, on a $1\leq g(x) < 2$.
\begin{enumerate}
\item En remarquant que, pour tout réel $x$ on a  $0<x^2+1\leq 2x^2+1$ montrer qu'on a  $1\leq g(x)$.
\item Montrer que pour tout réel $x$, $g(x)=2-\frac{1}{x^2+1}$. En déduire que, pour tout réel $x$, on a $g(x) < 2$.
\item Conclure.
\end{enumerate}

\item La fonction $f$ est-elle bornée sur $\R$ ?
\item Démontrer que la fonction $g\circ f$ est bornée sur $\R$.
\item Démontrer que la fonction $f\circ g$ est bornée sur $\R$ et que, pour tout  réel $x$ :
$$-2 \leq \left( f\circ g \right) (x) <1$$
\end{enumerate}
\begin{scriptsize}Remarque : pour les questions 3 et 4 on ne demande pas d'exprimer explicitement $g\circ f$  et $f\circ g$
en fonction de $x$
  \end{scriptsize}
\end{exercice}


\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item Soit $(U_n)_{n\in \N})$ une suite géométrique telle que $U_2=9$ et $U_5=243$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le premier terme $U_0$ et la raison $q$ de la suite $U$.
\item Exprimer $U_n$ en fonction de $n$
\item A partir de quel rang  la somme $ S_{n}=\overbrace{U_0+U_1+\cdots+U_{n-1}}^{n\:termes}$ 

est elle strictement supérieure à $423\,644\,304\,721$ ?
\end{enumerate}
\item Soit $A$ et $B$ deux points disctincts du plan tels que $AB=8\;cm$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, le système de points pondérés 
$\left\lbrace (A,U_n)\, ; \, (B,U_{n+1}) \right\rbrace $ admet un barycentre que l'on notera $G_n$.
\item Construire $G_0$
\item Montrer que pour tout $n\in \N$, $G_n$ est un seul même point, c'est-à-dire que $G_n$ ne dépend pas de $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}
On considère deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier $n$ par :

$\left\lbrace  \begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=2u_n-5
\end{array}\right.$
et $v_n=5-u_n$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les cinq premiers termes de la suite $u_n$ et de la suite $(v_n)$ .
\item Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ? Justifier.
\item Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
\item Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\end{document}

 