\documentclass{beamer}

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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Un}{\left(U_n\right)_{n\in \N}}
 \newcommand{\eu}{\textgreek{\euro} }
\title{Suites arithmétiques}
\author{KBIDA A.}
\date{mardi 14 février 2006}

\begin{document}

\frame{\titlepage}

\section[Plan]{}
\frame{\tableofcontents}

\section{5.4 Suites arithmétiques}
\subsection{5.4.1 Notion de suite arithmétique}
\frame
{
  \frametitle{Définition}

 \begin{description}
   \item[$\bullet$] <1-> Lorsqu'on obtient chaque terme d'une suite en ajoutant au terme précédent  le même réel, appelé raison, 
la suite est dite arithmétique.
     \item[$\bullet$] <2-> la suite $U$ est  arithmétique de raison $r$, signifie que pour tout $n \in \N$, on a :
$U_{n+1}=U_n+r .$
        \end{description}
}





\frame
{
  \frametitle{Exemple}

 \begin{description}
   \item[$\bullet$] <1-> 5 ; 8 ; 11 ; 14; $\ldots$ est une suite arithmétique, de premier terme  5 et de raison 3.
    \end{description}
}

\frame
{
  \frametitle{Méthode : }

 \begin{description}
   \item[] <1-> Pour démontrer qu'une suite $U$ est  arithmétique il faut  : 
     \item[] <2-> montrer que pour tout $n \in \N$ la différence  $U_{n+1}-U_{n}$ est un  réel $r$ constant
        \end{description}
}

\frame
{
  \frametitle{Exercices }

 \begin{description}
   \item[] <1-> Les suites $\Un$ suivantes sont-elles arithmétiques ?
     \item[] <2-> \begin{tabular}{ll}
a) $U_n=3n+1$ & b) $U_n=n^2+1$ \\ 
\end{tabular} 
 \item[] <3->a) Les quatre premiers termes sont $U_0=1$ ; $U_1=4$ ; $U_2=7$ ; $U_3=10$.
 \item[] <4->Pour tout $n \in \N$ on a  $U_n=3n+1$  et $U_{n+1}=3(n+1)+1=3n+3+1=3n+4$ 
d'où
  \item[] <5-> $U_{n+1}- U_n=3n+4-(3n+1)=3$. 
 \item[] <6->La suite $\Un$ est une suite arithmétique de premier terme $U_0=1$ et de raison 3.
        \end{description}
}

\frame
{
  \frametitle{Exercices  }

 \begin{description}
   \item[] <1-> b) Les trois premiers termes sont $U_0=1$ ; $U_1=2$ ; $U_2=5$.
     \item[] <2->  La différence   $U_{n+1}- U_n$ n'est pas constante en effet,   $U_{1}- U_0=1$ et   $U_{2}- U_1=3$.
 \item[] <3-> La suite $\Un$ n'est donc pas une suite arithmétique. 
        \end{description}
}

\subsection{5.4.2 Calcul du terme de rang $n$}
\frame
{
  \frametitle{Introduction}

 \begin{description}
   \item[$\bullet$] <1-> Considérons la suite arithmétique $U$ de premier terme $U_1=5$ et de raison de $-3$.
   \item[$\bullet$] <2->$U_2=U_1+r=5-3=2$
 \item[$\bullet$] <3->  $U_3=U_2+r=(U_1+r)+r=U_1+2r=2-3=-1$
 \item[$\bullet$] <4->  $U_4=U_3+r=(U_1+2r)+r=U_1+3r=-1-3=-4 $
 \item[$\bullet$] <5-> On admet que pour tout entier $n \in \N^*$, on a : $U_n=U_1+(n-1)r$.
   
        \end{description}
}

\frame
{
  \frametitle{Théorème}

 \begin{description}
   \item[] <1-> Le terme de rang $n$ d'une suite arithmétique $U$ de premier terme $U_1$ et de raison $r$ est :
 \item[] <2-> $$U_n=U_1+(n-1)r$$
   \item[] <3->Si le premier terme est $U_0$ alors le terme de rang $n$ est :
 \item[] <4->$$U_n=U_0+nr.$$
   
        \end{description}
}


\frame
{
  \frametitle{Exemple}

 \begin{description}
   \item[] <1->  soit la suite arithmétique de premier terme $U_1=12$ et de raison 3.

   \item[] <2-> Le terme de rang 50 $U_{50}=U_1+(50-1)\times r=12+49\times 3 = 159$.
   
        \end{description}
}



\subsection{5.4.3 Somme des $n$ premiers termes}
\frame
{
  \frametitle{Théorème : }

 \begin{description}
   \item[] <1-> La somme des $n$ premiers  termes d'une suite arithmétique $U$ de premier terme $U_1$ est :
   \item[] <2->$$S_n= \sum_{i=1}^{n}U_i=U_1+U_2 \ldots+U_{n-1}+U_n=\frac{n(U_1+U_n)}{2}$$
   \item[] <3->$$\mbox{Somme}=\frac{\mbox{nb de termes} \times (1^{er}\mbox{terme}+\mbox{dernier terme})}{2}$$
  \end{description}
}


\frame
{
  \frametitle{Exemple}

 \begin{description}
   \item[] <1->  Soit la suite arithmétique de premier terme $U_1=1$ et de raison 2.
 \item[] <2-> $S_n=U_1+U_2 \ldots+U_{n-1}+U_n=1+3+5\ldots+(2n-1)$
 \item[] <3->$S_n=\frac{(1+2n-1)(n)}{2}=n^2$
\item[] <4->La somme des $n$ premiers nombres impairs est égale à $n^2$
  \end{description}
}

\frame
{
  \frametitle{}
\begin{center}
\begin{Large}FIN.\end{Large}
\end{center}

}

\end{document}