\documentclass{beamer}

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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
 \newcommand{\eu}{\textgreek{\euro} }
\title{Suites géométriques}
\author{KBIDA A.}
\date{Lundi 6 février 2006}

\begin{document}

\frame{\titlepage}

\section[Plan]{}
\frame{\tableofcontents}

\section{5.3 Suites géométriques}
\subsection{5.3.1 Notion de suite géométrique}
\frame
{
  \frametitle{Définition}

 \begin{description}
   \item[$\bullet$] <1->  Lorsque chaque terme d'une suite s'obtient en multipliant le terme précédent par un 
même réel, appelé raison, la suite est dite géométrique.
     \item[$\bullet$] <2-> La suite $U$ est  géométrique de raison $q$ si, et seulement si,  pour tout
$n\in \N$ on a : $U_{n+1}=qU_n$
        \end{description}
}





\frame
{
  \frametitle{Exemples}

 \begin{description}
   \item[$\bullet$] <1-> 1; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; $\ldots$ est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.
     \item[$\bullet$] <2-> Les intérêts composés : un capital de $5\,000$ \eu est placé au taux annuel de 4,5 \%.

\item[] <3->  $C_0=5\,000$
\item[] <4->  $C_1=5000+5000\times 0,045=5000\times1,045=5\,225$
\item[] <5->  $C_2=C_1\times1,045=5\,355,625$
\item[] <6-> Chaque année le capital est multiplié par $1,045$. Il s'agit donc d'une suite géométrique.
        \end{description}
}

\frame
{
  \frametitle{Méthode : }

 \begin{description}
   \item[$\bullet$] <1-> Pour démontrer qu'une suite $U$ est géométrique il faut  : 
     \item[$\bullet$] <2-> s'assurer que pour tout $n\in \N$ $U_n \neq 0$
 \item[$\bullet$]<3-> montrer que pour tout $n \in \N$ le rapport  $\frac{U_{n+1}}{U_{n}}$ est un  réel $q$ constant.
        \end{description}
}

\subsection{5.3.2 Calcul du terme de rang $n$}
\frame
{
  \frametitle{Introduction}

 \begin{description}
   \item[$\bullet$] <1-> Soit $U$ une suite géométrique de premier terme $U_1$ et de raison $q$. On a : 
   \item[$\bullet$] <2->$U_2=q\times U_1$
 \item[$\bullet$] <3-> $U_3=q\times U_2=q\times q \times U_1=q^2U_1$ 
 \item[$\bullet$] <4->$U_4=q\times U_3= q\times q^2U_1=q^3U_1$.
 \item[$\bullet$] <5-> On admet que pour tout entier $n$ non nul, on a :  $U_n=q^{n-1}U_1$.
   
        \end{description}
}

\frame
{
  \frametitle{Théorème}

 \begin{description}
   \item[] <1->  Le terme de rang $n$ d'une suite géométrique  $U$ de premier terme $U_1$ et de raison $q$ est :
   \item[] <2->$$U_n=q^{n-1}U_1$$  

 \item[] <3-> Si le premier terme est $U_0$ alors le terme de rang $n$ est $U_n=q^{n}U_0$.
   
        \end{description}
}


\frame
{
  \frametitle{Exemple}

 \begin{description}
   \item[] <1->  Soit $U$  une suite géométrique de premier terme 100 et de raison 3.
   \item[] <2-> Calculer $U_{10}$.

 \item[] <3-> $U_{10}=3^9\times 100= 1968300$
   
        \end{description}
}



\subsection{5.3.3 Somme des $n$ premiers termes}
\frame
{
  \frametitle{Théorème : cas particulier}

 \begin{description}
   \item[] <1->  La somme des $n$ premiers  termes d'une suite géométrique $U$ de premier terme $1$ et de raison $q \neq 1$ est :
   \item[] <2-> $S_n=1+q+q^2 \ldots+q^{n-1}=\frac{1-q^{n}}{1-q}$
  \end{description}
}


\frame
{
  \frametitle{Autres cas }

 \begin{description}
   \item[$\bullet$] <1->  Dans le cas général $U_1$ n'est pas forcément égal à 1.
La somme des $n$ premiers  termes d'une suite géométrique $U$ de premier terme $U_1$ et de raison $q \neq 1$ est :
 \item[$\bullet$] <2->  $S_n=U_1+U_2+\ldots +U_n$ 
\item[$\bullet$] <3->$S_n=U_1+qU_1+q^2U_1 \ldots+q^{n-1}U_1$
\item[$\bullet$] <4->$S_n=U_1(1+q+q^2 \ldots+q^{n-1})$ d'où 




  \end{description}
}






\frame
{
  \frametitle{Théorème: cas général}

 \begin{description}
   \item[] <1->  La somme des $n$ premiers  termes d'une suite géométrique $U$ de premier terme $U_1$ et de raison $q \neq 1$ est :
   \item[] <2-> $S_n=U_1+U_2+\ldots +U_n=U_1\times\frac{1-q^{n}}{1-q}$   
        \end{description}
}
\end{document}