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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

% Pour avoir de jolis vecteurs.
\def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}}

% Pour avoir un vecteur
% usage \V{AB}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}

% Ensembles R, C, N et D
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
%\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}

% Rep\`ere (O,i,j)
%usage : \RE
\newcommand{\RE}{(O;\V{i},\V{j})}
% Rep\`ere (O;u,v)
\newcommand{\RC}{(O;\V{u},\V{v})}
% un autre rep\`ere (O;i,j)
\newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}}
% un autre rep\`ere (O;u,v)
\newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}}
\newcommand{\tn}[1]{~~~~\textnormal{#1}~~~~}
\newcommand{\e}{{\rm e}}
%\newcommand{\dd}{~{\rm d}}
\newcommand{\ii}{\rm i}
%*********Fin des macros***********


 \begin{document}

\begin{center} \begin{large}\textbf{Math\'ematiques - brevet de technicien sup\'erieur  Analyses Biologiques\\ session 1998 1 heure }\end{large}

\begin{small}Saisi par Abdellatif KBIDA http://akbida.free.fr/\end{small}
 \end{center}~\\
\noindent{ \large {\textbf{Exercice 1} [8 points] 
\vspace{0.2 cm}

\noindent 
Pour étudier l'érythroblastose, on injecte du fer radioactif par voie veineuse, on constate que sa concentration plasmatique décroît au cours du temps, cette décroissance est caractérisée par une période T (temps en minutes au bout duquel la concentration a diminué de moitié).

\noindent Cet examen effectué sur un échantillon de 400 sujets sains a donné les résultats suivants :
\vspace{0.2 cm}

\begin{tabular}{|c|c||c|c|}
\hline
Période &Nombre de sujets&Période &Nombre de sujets\\
\hline
[60, 65[&5&[95, 100[&54\\
\hline
[65, 70[&11&[100, 105[&48\\
\hline
[70,75[&18&[105, 110[&35\\
\hline
[75,80[&29&[110, 115[&25\\
\hline
[80,85[&40&[115, 120[&15\\
\hline
[85, 90[&51&[120, 125[&8\\
\hline
[90, 95[&57&[125, 130[&4\\
\hline
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée de la moyenne $m_e$  et l'écart type $\sigma_e$ de cette série, arrondis au dixième le plus proche.
\item On admet que $T$, la variable aléatoire exprimant la période, suit la loi normale de paramètres $m$ et $\sigma$ ; donner des estimations ponctuelles pour $m$ et $\sigma$.
\item Donner un intervalle de confiance pour m, au seuil de risque 5 \%.
\end{enumerate}

\noindent{ \large {\textbf{Exercice 2} 12 points] 
\vspace{0.2 cm}

\noindent Une étude sur le comportement d'organismes vivants placés dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence, a conduit à stipuler que l'évolution de la population suit l'équation différentielle suivante :
\[(E_1) \,:\, N'(t)=2N(t)-0,0045{\left(N(t)\right)}^2 \mbox{ avec } t\geq 0 \]
où le temps $t$ est exprimé en heures et $N(t)$ représente le nombre d'individus présents dans l'enceinte à l'instant $t$.

\noindent Le nombre initial d'individus (à l'instant $t \,= \,0$) est $N_0 \,= \,103$.
\begin{enumerate}
\item On pose $Y(t)=\frac{1}{N(t)}$
\begin{enumerate}
\item Caluler la dérivée de la fonction $Y$
\item Montrer que $Y$ vérifie l'équation différentielle :
\[(E_2) \,:\, Y'(t)=2Y(t)+0,0045 \mbox{ avec } t\geq 0 \]
\item Résoudre l'équation $(E_2)$.

\noindent (On cherchera une solution particulière constante).
\item Montrer alors que, compte tenu de la condition initiale, on a :
\[N(t)=\frac{2}{0,0045-0,0025e^{-2t}} \]
\end{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie pour $t \,\in \,[0, +\infty [$ par :
\[f(t)=\frac{2}{-0,0025e^{-2t}+0,0045} \]
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $f$ sur $[0, +\infty [$.
\item Dans le plan rapporté à un repère orthogonal $\RE$
(unités graphiques : 5 cm pour une heure sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 100
individus sur l'axe des ordonnées).
\item En admettant que $N(t) = f(t)$, au bout de combien de temps la population initiale aura-t-elle diminué de moitié ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{document}

