\documentclass[a4paper]{article}
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

% Pour avoir de jolis vecteurs.
\def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}}

% Pour avoir un vecteur
% usage \V{AB}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}

% Ensembles R, C, N et D
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
%\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}

% Rep\`ere (O,i,j)
%usage : \RE
\newcommand{\RE}{(O;\V{i},\V{j})}
% Rep\`ere (O;u,v)
\newcommand{\RC}{(O;\V{u},\V{v})}
% un autre rep\`ere (O;i,j)
\newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}}
% un autre rep\`ere (O;u,v)
\newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}}
\newcommand{\tn}[1]{~~~~\textnormal{#1}~~~~}
\newcommand{\e}{{\rm e}}
%\newcommand{\dd}{~{\rm d}}
\newcommand{\ii}{\rm i}
% D\'ebut du document


%en tête et pied de page:
%  \lhead{                        \hfill
%         04/05                   \hfill
%         01/09/04                \hfill
%         \jobname.tex            \hfill
%         \thepage/ \pageref {LastPage} }
%  \chead{} \rhead{}
%  \lfoot{} \cfoot{} \rfoot{}
%  \renewcommand{\headrulewidth}{0.1pt} % ligne apr\`es l'entete 0pt : ...
%  %\ ...pas de ligne
%  \renewcommand{\footrulewidth}{0pt} % ligne avant le pied de page
%fin de l'en tête et pied de page
%==========================consignes==============================
%\begin{tabbing}
%  \hspace{10cm}\= \kill
%  \>\textit{Dur\'ee : 2 heures  ; calculatrice autoris\'ee         }\\
%  \>\textit{Le formulaire IRIST  est seul autoris\'e}\\
%  \>\textit{Justifier chaque r\'eponse avec pr\'ecision}\\
%  \>\textit{Laisser libre la premi\`ere page         }\\
%  \>\textit{Soigner la pr\'esentation                }\\
%  \>\textit{Bar\`eme :                                }
%\end{tabbing}
%==========================fin des consignes======================
 \begin{document}

\begin{center} \begin{large}\textbf{Math\'ematiques - brevet de technicien sup\'erieur \\ session 2003 - groupement D}\end{large}

\begin{small}Saisi par Abdellatif KBIDA http://akbida.free.fr/\end{small}
 \end{center}~\\
 \noindent{ \large {\textbf{Exercice 1} [11 points] 


\vspace{0.2 cm}

\noindent  \textbf{Partie A}\medskip


\noindent On considère l'équation différentielle $(E)$ : $4y'+y=1200e^{-\frac{1}{4}x}$ où $y$ est une fonction de la 
variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$

\begin{enumerate}
\item Déterminer la constante réelle $a$ telle que la fonction $h_1$ définie par $h_1(x)=axe^{-\frac{1}{4}x}$ soit solution de $(E)$.
\item Résoudre l'équation différentielle $(E_0)$ :  $4y'+y=0$ et en déduire les solutions de $(E)$.
\item Déterminer la fonction $h$ solution de $(E)$ qui vérifie $h(6)=0$.
\end{enumerate}

\vspace{0.2 cm}
\noindent  \textbf{Partie B}\medskip

\noindent  On considère la fonction $f$ définie sur $[6;+\infty[$ par $f(x)=300(x-6)e^{-\frac{1}{4}x}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Montrer que $f'(x)=75(10-x)e^{-\frac{1}{4}x}$.
\item Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[6;+\infty[$ et donner son tableau de variation.
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.
(unités graphiques : 0,5 cm sur l'axe des abscisses ; 1 mm sur l'axe des ordonnées)
\end{enumerate}

\vspace{0.2 cm}
\noindent  \textbf{Partie C}\medskip

\noindent  Une société veut vendre des machines destinées à certaines entreprises. Le prix de vente minimal est fixé à $10\,000$ \euro.
Le nombre prévisible, $y$, de machines vendues, est fonction du prix proposé, en milliers d'euros, $x$. Une enquête auprès de
clients potentiels a donné les résultats suivants :

\begin{center}
% use packages: array
\begin{tabular}{|p{6cm}|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ : prix proposé pour une machine  en milliers d'euros & 10 & 12.5 & 15 & 17.5 & 20 & 25 \\ 
\hline
$y_i$ : nombre prévisible de machine vendues au prix proposé  & 100 & 85 & 62 & 42 & 28 & 11 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Représenter les six points du nuage sur le graphique de la question B4.
\item  On pose $z_i=\ln\left( \frac{y_i}{x_i-6}\right)$, donner les valeurs de $z_i$ arrondies au millième le plus proche.
\item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ ; les coefficients seront arrondis au millième le plus proche.
\item En déduire une expression approchée de $y$ de la forme $y=\alpha(x-6)e^{\beta x}$.
\end{enumerate}
\item  On admet dans cette question que le chiffre d'affaires est $g(x)=xf(x)$ pour $x \geq 10$, où $x$
est le prix proposé en milliers d'euros et $f$ la fonction définie dans la partie B. En étudiant les variations de la fonction $g$ 
déterminer pour quel prix le chiffre d'affaires est maximal et donner la valeur du maximum.
\end{enumerate}
\vspace{0.2 cm}
 \noindent{ \large {\textbf{Exercice 2} [9 points] 

\noindent  Deux machines $M_A$ et $M_B$ produisent, en grande série, des objets de masse théorique 180 grammes. 
\vspace{0.2 cm}
\textbf{Partie 1}\medskip

On note $X_A$ (respectivement $X_B$) la variable aléatoire qui, à un objet pris au hasard dans la production de la machine $M_A$
 (respectivement $M_B$),  associe sa masse en grammes. On sait que $X_A$  (respectivement $X_B$) suit une loi normale
de moyenne $m_a$  (respectivement $m_B$) et d'écart-type $\sigma_A$  (respectivement $\sigma_B$). Un objet est conforme si sa masse
est comprise entre $178\; g$ et  $182\; g$.

\begin{enumerate}
\item On donne $m_A=179,8$ et $\sigma_A=1$. calculer  la probabilité qu'un objet pris au hasard dans la 
production de la machine $M_A$ soit conforme.
\item On donne $m_B=180$ et on sait que $98\%$ des objets fabriqués par la machine $M_B$ sont
conformes. Calculer l'écart-type $\sigma_B$ (résultat arrondi au centième).
\end{enumerate}
\vspace{0.2 cm}
\noindent  \textbf{Partie 2}\medskip

\noindent  Dans la production totale, 40\% des objets proviennent de la machine $M_A$ et $60\%$ de la machine
 $M_B$. La machine $M_A$ produit 5\% d'objets non conforme et la machine $M_B$ en produit 2\%

\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard un objet dans la production. Calculer la probabilité que cet objet soit conforme.
\item On prélève au hasard un objet dans la production et on constate qu'il est conforme.
Quelle est alors la probabilité (arrondie au millième) que cet objet provienne  de la machine $M_A$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0.2 cm}
\noindent  \textbf{Partie 3}\medskip

\noindent  On admet que $96,8\%$ des objets de la production sont conformes. Les objets sont stockés par boîtes de vingt.
On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui associe à une boîte prise au hasard le nombre d'objets conformes de cette boîte.

\begin{enumerate}
\item Donner les paramètres de la loi binomiale suivie par $Y$.
\item On choisit une boîte au hasard dans la production. Calculer la probabilité des événements suivants :
\begin{description}
\item[$\bullet$] tous les objets sont conformes ;
\item[$\bullet$] au moins dix-huit objets sont conformes.
 \end{description}
\end{enumerate}

\vspace{0.2 cm}
\noindent  \textbf{Partie 4}\medskip

\noindent  On admet que la variable aléatoire $\overline{X}$ qui associe à un échantillon de taille 10 sa masse moyenne
en grammes suit un loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type $0,092$.

\noindent La valeur exacte de la masse moyenne $m$ des objets étant inconnue, on prélève au hasard un échantillon de 100 objets dont la masse
moyenne est de $179,93g$. Déterminer un intervalle de confiance, au seuil de risque 10\%, de la valeur de $m$. 

\end{document}