\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{lastpage} 
\everymath{\displaystyle}
% \usepackage{hyperref}

\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

% Pour avoir de jolis vecteurs.
\def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}}

% Pour avoir un vecteur
% usage \V{AB}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}

% Ensembles R, C, N et D
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
%\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}

% Rep\`ere (O,i,j)
%usage : \RE
\newcommand{\RE}{(O;\V{i},\V{j})}
% Rep\`ere (O;u,v)
\newcommand{\RC}{(O;\V{u},\V{v})}
% un autre rep\`ere (O;i,j)
\newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}}
% un autre rep\`ere (O;u,v)
\newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}}
\newcommand{\tn}[1]{~~~~\textnormal{#1}~~~~}
\newcommand{\e}{{\rm e}}
%\newcommand{\dd}{~{\rm d}}
\newcommand{\ii}{\rm i}
%*********Fin des macros***********


 \begin{document}
\noindent{\large{\textbf{Exercice 1} [10 points]
\vspace{0.1 cm}

\noindent  \textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item \begin{center}
% use packages: array
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c| }
\hline
Temps $t_i$ (en mois) &0  & 6 &12  &18  &24  &30  &36  &42   \\ 
\hline
 Effectifs $n_i$&100  &160  &350  &900  &$2\,500$  &$7\,500$  &$22\,000$  &$64\,000$ \\
\hline
$y_i$ &4,605&5,635&6,745&7,824&8,896&10,012&11,094&12,164\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Voir graphique.
\item A l'aide de la calculatrice on obtient $y=0,18 t + 4,58$.
On sait que $y=\ln(3n-200)$ d'où :
$$
\begin{array}{l}
\ln(3n-200)=0,18 t + 4,58\\
3n-200=e^{0,18 t + 4,58}\\
3n=e^{0,18 t}e^{4,58}+200\\
n=\frac{e^{4,58}}{3}e^{0,18 t}+\frac{200}{3}\\
\end{array}
$$
\end{enumerate}
\vspace{0.1 cm}

\noindent  \textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item Les solutions de  l'équation différentielle : $(E_0)\,:\, Y'-0,18Y\,=\,0$ sont de la forme 

\noindent $Y(t)=ke^{-G(t)}$ avec $G$ une primitive de la fonction $g$
qui à tout réel positif $t$ associe $-0,18$ et avec $k$ un réel. 

 On a donc $Y(t)= ke^{0,18t}$  avec $k$ un réel.

\item $Y_0$ est une solution particulière constante de $(E)$ si, et seulement si, $Y_0'-0,18Y_0\,=\,-12 $ et $Y_0'=0$.

\noindent On a  $-0,18Y_0\,=\,-12$  d'où $Y_0(t)=\frac{200}{3}$ pour tout réel $t$ positif.

On sait que l'ensemble des solutions de $(E)$ est constitu\'e d'une solution particuli\`ere plus les solutions de l'\'equation
homog\`ene $(E_0)$ donc $Y$ est d\'efinie sur $[0;+\infty[$  par : 
\[ Y(t)=ke^{0,18t}+\frac{200}{3} \mbox{ avec } k \in \GR\]
\item On a  $Y(0)=100$ d'où $k+\frac{200}{3}=100$. On en déduit $k=\frac{100}{3}$ et que $Y(t)=\frac{100}{3}e^{0,18t}+\frac{200}{3}$.
\end{enumerate}
\vspace{0.1 cm}

\noindent  \textbf{Partie C}
\begin{enumerate}
\item On a pour tout $t \in\,I$  : $N'(t)=6e^{0,18t}$ qui est strictement positive ( l'exponentielle est positive ) donc la fonction $N$ est strictement croissante
sur $I$.
\item Voir figure 2.
\end{enumerate}
\vspace{0.1 cm}

\noindent  \textbf{Partie D}
\begin{enumerate}
\item $F$ est une fonction dérivable. On a donc 

$F'(t)=64\,000\times (-0,043)e^{-0,043(t-42)}=-2752e^{-0,043(t-42)}$.

$F'$ est strictement négative ( l'exponentielle est positive et $-2752$ est un réel négatif ) donc $F$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[42,\, 72]$ et on a 

$F(42)=64\,000$, $F(72)=64\,000e^{-1,29}\approx 17\,617$.
\item Voir figure 2.
\item D'après une lecture graphique la population devient inférieure à $32\,000$ pour $t_0 \approx 58$ mois.
\end{enumerate}



\newpage
\begin{landscape}
\lhead{Nom : \hspace{2.5 cm} Prénom :\hspace{2.5 cm}}
\chead{Annexe 1}
\cfoot{}

\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(21,14)
\psset{unit=1}
\psgrid[griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,0)(21,14)
%\footnotesize
\psaxes[linewidth=.5pt,Dx=6,dx=3, dy=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(21,14)
\psdots(0,4.605)(3,5.635)(6,6.745)(9,7.824)(12,8.896)(15,10.012)(18,11.094)(21,12.164)
\psplot[plotpoints=10,linewidth=1pt]{0}{21}{0.361 x mul 4.577 add}
\end{pspicture}
\caption{Exercice 1}
\label{001}
\end{center}
\end{figure}
\end{landscape}

\newpage
\begin{landscape}
\lhead{Nom : \hspace{2.5 cm} Prénom :\hspace{2.5 cm}}
\chead{Annexe 2}
\cfoot{}

\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(24,17)
\psset{unit=1}
\psgrid[griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,0)(24,17)
%\footnotesize
\psaxes[linewidth=.5pt,Dx=3,dx=1, dy=1,Dy=4000]{->}(0,0)(0,0)(24,17)
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1pt]{0}{14}{/e 2.718282 def
100 3 div e 0.54 x mul exp mul 200 3 div add 4000 div}
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1pt]{14}{24}{/e 2.718282 def
64000 e -0.043 x  3 mul 42  sub mul exp mul 4000 div}
\psset{linestyle=dashed}
\psline(0,8)(24,8)
\psline(19.37,8)(19.37,0)
\end{pspicture}
\caption{Exercice 1}
\label{002}
\end{center}
\end{figure}
\end{landscape}
\newpage
\noindent{\large{\textbf{Exercice 2} [6 points] 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On a une épreuve aléatoire pouvant déboucher sur deux résultats seulement :
il a vendu un appareil de marque A ou non, de probabilités respectives 0,386 et 0,614. 
Les ventes sont indépendantes les unes des autres
donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(40;0,386)$.
\item $P(X=20)=C_{40}^{20}\times0,386^{20}\times0,614^{20} \approx 0,04$.

\noindent La probabilité que, sur 40 appareils vendus par jour, 20 soient de 
 la marque A est d'environ 0,04.
\item On sait que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(40;0,386)$, on a donc 

$E(X)=40 \times 0,386 = 15,44$ et $\sigma = \sqrt{40\times 0,386 \times 0,614} \approx 3$
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $Y$ suit la loi normale $\mathcal{N}(15,44;3)$ donc la variable aléatoire $T=\frac{Y-15,44}{3}$ suit la loi normale 
centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$.

$P(19,5\leq Y\leq 20,5)=P(1,35\leq T\leq 1,69)=\pi(1,69)-\pi(1,35)\approx 0,04$.

La probabilité de l'évènement \og un jour tiré au hasard, il y a exactement 20 appareils de marque A vendus \fg est d'approximativement 
0,04.
\item $P(Y \geq 17,5)=P(T \geq 0,69)=1-\pi(0,69) \approx 0,25$.

La probabilité de l'évènement \og un jour tiré au hasard, 18 au moins des appareils vendus sont de marque A \fg est d'approximativement 
0,25.
\item 
\[\begin{array}{l}
P(12,5 \leq Y \leq 25,5)=P(-0,98\leq T \leq 3,35)\\
P(12,5 \leq Y \leq 25,5)=\pi(3,35)-\pi(-0,98)\\
P(12,5 \leq Y \leq 25,5)=\pi(3,35)+\pi(0,98)-1 \\
P(12,5 \leq Y \leq 25,5)\approx 0,84
\end{array}\]


La probabilité de l'évènement \og un jour tiré au hasard, le nombre d'appareils de marque A vendus est compris entre 13 et 25, bornes incluses \fg 
est d'approximativement 0,84.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\noindent{\large{\textbf{Exercice 3} [4 points]

\noindent\textbf{Partie A}

\noindent Soient les évènements :

\noindent  A : \og la machine M1 tombe en panne pendant la période donnée. \fg

\noindent B :  \og la machine M2 tombe en panne pendant la période donnée . \fg

\noindent On sait que $P(A)=0,010$ \quad $P(B)=0,008$  \quad $P_A(B)=0,4$
\begin{enumerate}
\item On sait que $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ d'où $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B) = 0,004$.

\noindent La probabilité d'avoir les deux machines en panne au même moment est donc 0,004.
\item On sait que $P( \overline{A\cap B})=1-P(A\cap B)=0,996$.

 La probabilité d'avoir au moins une machine qui fonctionne est 0,996.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(250;2)$ donc la variable aléatoire $T=\frac{X-250}{2}$ suit la loi normale 
centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$.

$1-P(246 \leq X \leq 254)=1-P(-2 \leq T \leq 2)=1-(2\pi(2)-1)=2-2\pi(2) \approx 0,045\,6$.

\noindent La probabilité d'avoir une pièce défectueuse est de $0,045\,6$.
\item 
\begin{enumerate}
\item On a une épreuve aléatoire pouvant déboucher sur deux résultats seulement :
la pièce est défectueuse ou non, de probabilités respectives 0,046 et 0,954. 
Un lot de 50 pièces prises au hasard est assimilé à un tirage avec remise donc les expériences aléatoires
sont indépendantes.

$Y$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(50;0,046)$.
\item 
$P(Y\leq2)=C_{50}^{0}\times0,046^{0}\times0,954^{50}+C_{50}^{1}\times0,046^{1}\times0,954^{49}+C_{50}^{2}\times0,046^{2}\times0,954^{48}$

$P(Y\leq2)\approx 0,594$


La probabilité d'avoir au plus 2 pièces défectueuses dans un lot est environ 0,594.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

 \end{document}