\documentclass[10pt]{report}
\usepackage{tarassconf}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fancyhdr}
\everymath{\displaystyle}
\special{papersize=21cm,29.7cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bibliographystyle{unsrt}


\baselineskip=16pt
\def\baselinestretch{1.1}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\RE}{(O ;\Vec{i},\Vec{j})}
 \newcommand{\eu}{\textgreek{\euro} }
\def\noi{\noindent}

\newtheorem{theoreme}{Théorème}
\newtheorem{propriete}{Propriété}
\newtheorem{definition}{Définition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\setcounter{chapter}{1}
\chapter{Fonction d'une variable réelle}
\section{Définitions et rappels}

\begin{definition}  
On appelle fonction numérique d'une variable réelle toute application d'une partie de $\R$ dans $\R$, tel que chaque élément $x$ de l'ensemble de 
départ est une et une seule, image notée $f(x)$, dans l'ensemble d'arrivé. 
\end{definition}
On note :
\[\left\{
\begin{array}{l}
f :  \R \rightarrow \R \\
x  \longmapsto f(x)
\end{array}
\right.\] 
Le domaine de définition est un sous ensemble de $\R$ sur lequel $f$ est définition.

Dans le plan muni d'un repère $\RE$, la courbe représentative de $f$, notée $C_f$, est l'ensemble des points $M$ de coordonées $(x;f(x))$

\begin{definition}  
Soit  $f$ une fonction numérique définie sur intervalle $I$ symétrique par rapport à 0.

$f$ est \emph{\textbf{paire }} (respectivement \emph{\textbf{impaire}}) signifie  que pout tout $x \in I$ on a $f(-x)=f(x)$ (respectivement  $f(-x)=-f(x)$). 
\end{definition}

\noi \textbf{Exemple :}

Montrer que la fonction $g$, définie sur $\R$  qui à $x$ associe $x^2+1$ est paire.

Montre que la fonction $h$, définie sur $\R^*$ qui à $x$ associe $\frac{1}{x}$ est impaire

\noi
\textbf{Remarque :} il existe des fonctions qui ne soient ni paire, ni impaire. 

Si une fonction est à la fois paire et impaire alors elle est nulle.

\begin {propriete}
Dans le plan muni d'un repère $\RE$, si une fonction $f$ est impaire alors sa courbe représenative $C_f$ admet le point $O$ comme centre de symétrie.

Dans le plan muni d'un repère orthogonal $\RE$, si une fonction $f$ est paire alors sa courbe représenative $C_f$ admet l'axe des ordonnées $(Oy)$
comme axe de symétrie.
\end {propriete}

\begin{definition}  
Soient $f$ une fonction dont l'ensemble de définition est $D_f$ et $g$ une fonction dont l'ensemble de définition est $D_g$.

On note $g \circ f \;x  \longmapsto g(f(x))$.
\end{definition}

\section{Comparaison de fonctions}

Soient f et g deux fonctions définies sur un même domaine $D$. On rappelle que :

$f=g$ si, et seulement si pour tout  $x\in D$ on a $f(x)=g(x)$

$f\leq g$ si, et seulement si pour tout  $x\in D$ on a $f(x) \leq g(x)$

$f\geq g$ si, et seulement si pour tout  $x\in D$ on a $f(x) \geq g(x)$
\medskip

 \textbf{Interprétation graphique : } $f\leq g$ signifie $C_f$ est "en dessous" de $C_g$ 

$f\geq g$ signifie $C_f$ est "en dessus" de $C_g$ 

\section{Fonctions usuelles}
\subsection{Fonctions en escalier}
On appelle fonction en escalier toute fonction constante sur chaque intervalle.

\textbf{Exemple : }  soit f définie sur $[-5;5]$ par
$\left\{ 
\begin{array}{l}
f(x)=-1 \: \mbox{ pour } x \in [-5;-1[ \\
f(x)=1 \:  \mbox{ pour } x \in [-1;1[ \\
f(x)=2 \: \mbox{ pour } x \in [1;5] 
\end{array}
\right.
$

\end{document}