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\def\noi{\noindent}

\newtheorem{theoreme}{Théorème}
\newtheorem{propriete}{Propriété}
\newtheorem{definition}{Définition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\setcounter{chapter}{2}
\chapter{Limites de fonctions}
\section{Généralités :}
\subsection{Limite finie}

$f$ est une fonction définie sur un intervalle I sur lequel la variable $x$ peut
être rendue infiniment proche du réel $a$.

\begin{definition}
Dire que $f$ admet pour limite le réel $l$ quand $x$ tend vers $a$ signifie que l'écart $f(x)-l$ peut être rendu
infiniment proche de 0 (c'est-à-dire $f(x)$ infiniment proche du réel $l$) pour des valeurs de $x$ proches de $a$.
\end{definition}

\begin{theoreme} d'unicité 

Si $f$ admet pour limite le réel $l$ quand $x$ tend vers $a$, alors cette limite est \textbf{unique}. On note
$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = l$
\end{theoreme}

\subsection{Limite infinie}

\begin{definition}
Dire que f admet pour limite $+\infty $ quand $x$ tend vers $a$ signifie que le réel $f(x$) peut être rendu supérieur à
tout nombre réel $M$, (c'est-à-dire $f(x)$ peut être rendu infiniment grand pour des valeurs de $x$ proches de $a$).

On note $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = +\infty $
\end{definition}

\begin{definition}
Dire que f admet pour limite $-\infty $ quand $x$ tend vers $a$ signifie que $-f$ admet pour limite $+\infty $ quand $x$ tend vers $a$. 
On note $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = -\infty $
\end{definition}
\newpage
\section{Opérations sur les limites} 
\subsection{ Tableau récapitulatif :}
Lorsque l'on calcule une limite, il convient d'étudier la forme de l'expression de $f$ : produit, sommme, quotient.
\medskip
\begin{center}
\begin {tabular}{|p{1.2cm}|p{1.2cm}|p{1.2cm}|p{1.2cm}|p{1.2cm}|p{1.2cm}|p{1.2cm}|p{1.2cm}|}
\hline
 & & & & & & & \\
$f$ & $l\not= 0$ & $l$ &  $l\not= 0$ &$\pm \infty $ &$+\infty $ &$\pm \infty$ &0 \\
 & & & & & & & \\
\hline
 & & & & & & & \\
$g$ & $l'\not= 0$ & 0 $\:\:$ &  $\pm \infty $ &0 &$+\infty $ &$l'\not= 0$ &$\pm \infty $ \\
 & & & & & & & \\
\hline
 & & & & & & & \\
$f-g$ & $l-l'$ & $l$  $\:\:$&  $\mp \infty $ &$\pm \infty$  &ind &$\pm \infty$ &$\mp \infty $ \\
 & & & & & & & \\
\hline
 & & & & & & & \\
$f\times g$ & $l\times l'$ & 0 $\:\:$ &  $\infty^{*}$ &ind &$+\infty $ & $\infty^* $ & ind \\
 & & & & & & & \\
\hline
& & & & & & & \\
$\frac{f}{g}$ & $\frac{l}{l'}$ &$\infty^{*}$  &  0 $\:\:$ &$\infty^{*}$ &Ind  &$\infty^{*}$ &0 \\
\hline
\end{tabular}

$^*$ : $+$ ou $-$  appliquer la règle des signes.
\end{center}
\subsection{Comparaison}

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] \textbf{Fonctions puissances :}  

$\lim_{x \rightarrow +\infty } {\left(x\right)}^{\alpha } = 0 $ si $\alpha <0$

$\lim_{x \rightarrow +\infty } {\left(x\right)}^{\alpha } = +\infty 0 $ si $\alpha >0$
\item[$\bullet$] \textbf{Fonctions quotients de polynômes (fractions rationnelles) :} 

La limite en $\pm \infty$ d'une fraction rationelle est égale à la limite en $\pm \infty$ du quotient du monône de plus haut degré du numérateur  par le monône de plus haut degré du dénominateur

\item[$\bullet$] \textbf{Fonction  exponentielle :} 

pour tout $\alpha \in \R$ on a $\lim_{x \rightarrow +\infty } \left({\left(x\right)}^{\alpha}e^x\right) = +\infty  $

pour tout $\alpha \in \R$ on a $\lim_{x \rightarrow +\infty } \left({\left(x\right)}^{\alpha}e^{-x}\right) = 0  $

\item[$\bullet$] \textbf{Fonction logarithme :}

pour tout $\alpha >0$ on a  $\lim_{x \rightarrow 0} {\left(x\right)}^{\alpha}\ln(x) =0  $

pour tout $\alpha >0$ on a  $\lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{\ln(x)}{{\left(x\right)}^{\alpha}} =0  $
\end{itemize}

\section{Asymptotes}
\subsection{Asymptotes verticales}
\begin{definition}
Si une fonction $f$ admet une limite infinie en $a$, $a \in \R$ (ou en $a^+$, ou en $a^-$) la droite d'équation $x=a$
est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$.
\end{definition}
\noi
\textbf{Exemple :}

Soit $f : x  \longmapsto \frac{1}{x-2}$ définie sur $]2;+\infty[$. On a $\lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)=+\infty$ donc la droite d'équation $x=2$ est asymptote à la
courbe représentative de $f$.

\subsection{Asymptotes "Obliques"}

\begin{definition}
Une droite d'équation $y=ax+b$ est asymptote à la représentation graphique d'une fonction $f$ si $\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(f(x)-ax-b\right)=0$ ou
 $\lim_{x \rightarrow -\infty}\left(f(x)-ax-b\right)=0$
\end{definition}

\textbf{Exemple :}
Soit $f : x  \longmapsto x-2 +\frac{1}{x+1}$ définie sur $\R-\{-1\}$.

La droite d'équation $y=x-2$ est asymptote à $C_f$ car $\lim_{x \rightarrow \infty}\left(f(x)-x+2\right)=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x+1}=0$.

La droite d'équation $x=1$ est un asymptote verticale de $C_f$ car\\ $\lim_{x \rightarrow -1^-}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x \rightarrow -1^+}f(x)=+\infty$
\begin{center}
\mbox{\includegraphics[width = 7 cm]{hyperbole.eps}}
\end{center}
\end{document}