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\def\noi{\noindent}

\newtheorem{theoreme}{Théorème}
\newtheorem{propriete}{Propriété}
\newtheorem{definition}{Définition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\setcounter{chapter}{3}
\chapter{Statistiques descriptives}
\section{Statistiques à une variable}
\subsection{Vocabulaire}
Effectuer une étude statistique consiste à exploiter des informations sur un ensemble, appelé \textbf{population},
constitué d'\textbf{individus}. L'étude porte sur un \textbf{caractère} (ex. âge, taille, couleur des yeux...). Le caractère peut être \textbf{qualitatif} (ex. couleur des yeux) ou \textbf{quantitatif} (ex. poids).
La variable est dite \textbf{discrète } si elle ne prend que des valeurs isolées. Elle est dite \textbf{continue} si elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle de $\R$.
Le nombre d'individus d'une valeur est \textbf{l'effectif} de cette valeur.
Le nombre d'individus de la population est \textbf{l'effectif total}.

\subsection{Variables discrètes}
\noi\begin{large}\textbf{Représentation}\end{large} 

On représente les variables statistiques discrètres sous forme de diagramme en bâtons, histogramme ou de graphique circulaire à l'aide des fréquences de chaque valeur du caratère. 

\noi\begin{large}
\textbf{Caractéristiques}\end{large} 


\begin{enumerate}
\item La moyenne pondérée 

Soient $n$ valeurs de la variable. Si cette variable prend $p$ valeurs disctinctes ($p\leq n$), 
$x_1,\cdots,x_p$, d'effectifs respectifs $n_1,\cdots,n_p$ alors la moyenne est donnée par :
$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p}{n_ix_i}$$
\begin{propriete}
Si pour tout $i\in {\N}_p$ on  opére un changement de variable affine ${x'}_i=ax_i +b$ avec ($a \in \R^*$ et $b\in \R$) alors on a  $\overline{x'}=a\overline{x}+b$
\end{propriete}
\item La variance

La variance est un indicateur de dispersion de la variable statistique : 
$$V=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p}n_i{\left(x_i -\overline{x}\right)}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p}n_i {x_i}^2-{\overline{x}}^2$$
\item L'ecart-type 

L'ecart-type est égal à la racine carrée de la variance : $$\sigma=\sqrt{V}$$
\begin{propriete}
Si pour tout $i\in {\N}_p$ on  opére un changement de variable affine ${x'}_i=ax_i +b$ avec ($a \in \R^*$ et $b\in \R$) 
alors on a  $V_{x'}=a^2V_x$ et $\sigma_{x'}=|a|\sigma_{x}$.
\end{propriete}
\end{enumerate}

\subsection{Variables continues}
\noi\begin{large}\textbf{Représentation}\end{large} 

Pour leur représentation, on les regroupe en général dans des classes adjacentes d'amplitude pas forcément égale. Ceci est représenté dans le tableau ci-dessous :

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline Classes &$[X_0;X_1[$ &$[X_1;X_2[$&$\cdots\cdots$  &$[X_{p-1};X_p]$  \\ 
\hline Centre des classes &$x_1$ &$x_2$  &  &$x_p$\\ 
\hline Effectifs & $n_1$ &$n_2$  &  &$n_p$\\ 
\hline Fréquences &$\frac{n_1}{n}$  &$\frac{n_2}{n}$ & &$\frac{n_p}{n}$  \\ 
\hline 
\end{tabular} 

\section{Statistiques à deux variables}
\subsection{Tableau de données et nuages de points}
Il existe parfois une relation entre deux caractères d'une population. 
On définit alors une série statistique à deux variables $x$ et $y$, prenant les valeurs $x_1,\cdots,x_n$ et $y_1,\cdots,y_n$.

\textbf{Tableau de données :} 

Exemple : on a mesuré, pour huit coulées d'acier, la teneur en carbone $x$ (unité : 0,01 \%) et la résistance
à la traction $y$ (unité : 1 daN/$mm^2$). 

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline  
x& 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 15 & 20  \\ 
\hline  
y& 0,83  & 1,34  & 1,63  &2,29  &2,44  &2,93  &4,06 &4,48    \\ 
\hline 
\end{tabular} 

\textbf{Nuages de points :} 
Dans le plan muni d'un repère orthogonal $\RE$, on peut associer à chaque couple $(x_i;y_i)$ de la série
statistique, le point $M_i$ de coordonnées $(x_i;y_i)$.\\
L'ensemble des points $M_i$ s'appelle le nuage de points représentant la série statistique.

\mbox{\includegraphics[height= 8 cm]{nuagepoint1.eps}}

On cherche alors à trouver une fonction $f$ telle que la courbe d'équation $y=f(x)$ "passe le plus près possible" des points du nuage.


\textbf{Points moyens} 

On appelle point moyen d'un nuage de $n$ points $M_i(x_i;y_i)$, le point $G$ défini par :

$
\left\{
\begin{array}{c}
 x_G=\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i} \\ 
 y_G=\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{y_i}\\
\end{array}\right.$ 
\section{Ajustement affine}
\subsection{Méthode graphique}

\textbf{a. Ajustement à la règle :} 

Lorsque les points $M_i$ semblent alignés, on recherche une équation du type $y=ax+b$, pour 
cela on trace au jugé une droite $D$ en s'efforcant d'équilibrer le nombre de points situés de part et d'autre.
Ensuite on détermine par lecture graphique les réels $a$ et $b$.

\textbf{b. Ajustement par la méthode de Mayer :} 

On partage le nuage de points en deux nuages, on détermine les coordonnées $G_1$ et $G_2$  des points moyens respectifs du premier nuage et du deuxième nuage.

La droite $(G_1G_2)$, droite de \textbf{Mayer}, constitue une "bonne" droite d'ajustement si le nuage est allongé.    

\subsection{Ajustement affine : Méthode des moindres carrés}
\textbf{a. Droites de régression :}


\begin{center}
\mbox{\includegraphics[width=8 cm]{droite_regr_a.eps}} \hspace{0.5cm}
\mbox{\includegraphics[width=7 cm]{droite_regr_b.eps}}
\end{center}

Soient $D$ une droite d'ajustement d'équation $y=ax+b$, et $M_i(x_i;y_i)$ un nuage de points. On pose $P_i$ le point d'abscisse $x_i$ situé sur la droite $D$. 

On appelle \textbf{droite de régression de $y$ en $x$} la droite $D$ telle que 

la somme  $\sum_{i=1}^{n}M_i{P_i}^2=\sum_{i=1}^{n}{[y_i-(ax_i+b)]^2}$ 
soit minimale.

\medskip
Soient $D'$ une droite d'ajustement d'équation $x=a'y+b'$, et $M_i(x_i;y_i)$ un nuage de points. On pose $Q_i$ le point d'ordonnée $y_i$ situé sur la droite $D'$. 

On appelle \textbf{droite de régression de $x$ en $y$} la droite $D'$ telle que 

la somme  $\sum_{i=1}^{n}M_i{Q_i}^2=\sum_{i=1}^{n}{[x_i-(a'y_i+b')]^2}$ 
soit minimale.
\medskip
\textbf{b. Covariance :}

La covariance de la série statistique double de caractères $x$ et $y$ est le réel :

$\sigma_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-x)(y_i-y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_iy_i -\bar{x}\bar{y}$.

\medskip

  \textbf{c. Equations des droites de regression :}

  On montre que : 
  \begin{description}
\item[$\bullet$]  La droite de régression $D$ de $y$ en $x$ a pour équation $y=ax+b$ avec :
  $a=\frac{\sigma_{xy}}{{[\sigma_{x}]}^2}$ et $b=\bar{y}-a\bar{x}$

  La droite $D$ passe par le point moyen $G(\bar{x};\bar{y})$ du nuage. 
  \item [$\bullet$]   La droite de régression $D'$ de $x$ en $y$ a pour équation $x=a'y+b'$ avec :
  $a'=\frac{\sigma_{xy}}{{[\sigma_{y}]}^2}$ et $b'=\bar{x}-a'\bar{y}$

  La droite $D'$ passe par le point moyen $G(\bar{x};\bar{y})$ du nuage. 
 \end{description}
\section{Coefficient de corrélation linéaire}

Pour apprécier la qualité d'un ajustement affine, on introduit un nouveau paramètre.

\textbf{Définition :}

Le coefficient de corrélation linéaire d'une série statistique double de variables $x$ et $y$ est le nombre défini par : 
$$r=\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \times \sigma_y}$$ 


\end{document}