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\def\noi{\noindent}

\newtheorem{theoreme}{Théorème}
\newtheorem{propriete}{Propriété}
\newtheorem{definition}{Définition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\setcounter{chapter}{4}
\chapter{Calcul intégral}
\section{Intégrale d'une fonction continue}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ ; on sait que $f$ possède des primitives sur cet intervalle.

Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$, alors on a, pour tout $x$ de $I$ :
$$\begin{array}{l}
F(x)=G(x)+c \mbox{ où c est une constante} \\
F(x)-G(x)=c
\end{array}
$$
On en déduit que, quels que soient les réels $a$ et $b$ de $I$, 

$F(b)-G(b)=F(a)-G(a)=c$ d'où 

$F(b)-F(a)=G(b)-G(a)$, le réel $F(b)-F(a)$ est donc indépendant du choix de la primitive de $f$ sur l'intervalle $I$.

\begin{definition}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle I, et F une primitive de $f$ sur I.

Etant donnés deux éléments $a$ et $b$ de I, on pose :
$\int_a^b{f(x)dx}=F(b)-F(a)$
\end{definition}
Ce nombre est appelé \textbf{integrale de $f$ entre $a$ et $b$}. On note
$\int_a^b{f(x)dx}={\left[F(x)\right]}_a^b=F(b)-F(a)$

\begin{large}\textbf{Remarque :}\end{large}

Dans l'écriture  $\int_a^b{f(x)dx}$, $dx$ est une notation. Ainsi  $\int_a^b{f(x)dx}= \int_a^b{f(y)dy}=\int_a^b{f(z)dz}$.

\begin{large}\textbf{Exemples :}\end{large}

$\int_1^3{x^2dx}={\left[\frac{1}{3}x^3\right]}_1^3=\frac{1}{3}\left((3)^3-(1)^3\right)=\frac{26}{3}$

\section{Propriétés}
\noi $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$, $a$, $b$ et $c$ sont trois réels de $I$ et de $F$ et $G$  sont les  primitives respectives de $f$ et $g$ sur $I$.



\begin{propriete} 
\begin{description}
\item[$\bullet$] $\int_a^a{f(x)dx}=0$
\item[$\bullet$] $\int_a^b{f(x)dx}=-\int_b^a{f(x)dx}$
\end{description} 
\end{propriete}

\begin{propriete}  Linéarité
\begin{description}
\item[$\bullet$] $\int_a^b{\lambda f(x)dx}=\lambda \int_a^b{f(x)dx}$
\item[$\bullet$] $\int_a^b{f(x)+g(x)dx}=\int_a^b{f(x)dx}+\int_a^b{g(x)dx}$
\item[$\bullet$] $\int_a^b{f(x)dx}=\int_a^c{f(x)dx}+\int_c^b{f(x)dx}$
\end{description} 
\end{propriete}

\begin{propriete}  Relation de Chasles
\begin{description}
\item[$\bullet$] $\int_a^b{f(x)dx}=\int_a^c{f(x)dx}+\int_c^b{f(x)dx}$
\end{description} 
\end{propriete}

\begin{propriete}  Positivité

Si $a \leq b$ et $f \geq 0$, alors
$\int_a^b{f(x)dx} \geq 0$

\end{propriete}

\section{Interprétation de l'intégrale : Aire}
\begin{minipage}{12 cm}
\begin{theoreme} Calcul d'aire 

Si $f$ est une fonction continue et positive sur l'intervalle $[a;b]$.

Dans un repère orthogonal $\RE$, l'aire du domaine défini par : 

$\left\{\begin{array}{l}
a \leq x \leq b \\
0 \leq y \leq f(x)
\end{array}\right.
$ est $\int_a^b{f(x)dx}$
\end{theoreme}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(4,4)%axes
\psline{->}(0,0)(0,4) 
\psline{->}(0,0)(4,0)
\psline[linestyle=dashed](1,3)(1,0)
\psline[linestyle=dashed](3,1)(3,0)
\psbezier(1,3)(2,3)(2,-1)(3,1)
\psline{->}(0,0)(0,0.5) 
\psline{->}(0,0)(0.5,0)
\uput{0.1}[200](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\uput{0.1}[270](0.25,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput{0.1}[270](1,0){$a$}
\uput{0.1}[270](3,0){$b$}
\end{pspicture} % C'est fini !
\end{center}
\end{minipage}

 Dans le cas ou $f$ est une fonction négative, on considère $-f$. 

\begin{theoreme}
Si $f$ est une fonction continue et négative sur l'intervalle $[a;b]$.

Dans un repère orthogonal $\RE$, l'aire de la surface délimité par la représentation graphique de $f$ et les deux droites
$x=a$ et $x=b$ est : $ \mathcal{A}=\int_a^b{-f(x)dx}$
\end{theoreme}

\section{Calculs d'intégrales}
\subsection{Utilisation de primitives}
\noi Le cas le plus simple est celui où $f$ est la dérivée d'une fonction connue.

Il faut également savoir reconnaître les cas où $f$ est la dérivée d'une fonction composée. 

Si $F$ est une primitive de $f$ on a $\int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$

Rappels :

\begin{tabular}{lcl}

$\frac{u'}{u}$& est la dérivée de  & $\ln |u|$  \\ 
 \\
$u'e^u$& est la dérivée de & $e^u$  \\ 
  \\
$u'u^\alpha$&  est la dérivée de& $\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}$, avec $\alpha \not = 1$  \\ 

\end{tabular} 

i \begin{large}\textbf{Exemple :}\end{large}

Calculer $A=\int_0^1\frac{t}{t^2+4}dt$ 

Posons $u(t)=t^2+4$ alors $u'(t)=2t$ et $\frac{t}{t^2+4}=\frac{1}{2}\times\frac{u'(t)}{u(t)}$

$A=\int_0^1\frac{t}{t^2+4}dt=\frac{1}{2}\left[\ln(t^2+4)\right]_0^1=\frac{1}{2}\ln\left( \frac{5}{4}\right) $ 

\subsection{Integration par parties}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. La dérivée du produit $uv$ est :

$(uv)'=u'v+uv'$ d'où $u'v=(uv)'-uv'$

Si les fonctions $u'$ et $v'$ sont continues alors 

$\int_a^b u'(t)v(t)dt=\int_a^b (uv)'(t)dt-\int_a^bu(t)v'(t)dt$ soit 

$\int_a^b u'(t)v(t)dt=\left[ u(t)v(t)\right] _a^b-\int_a^bu(t)v'(t)dt$

\begin{theoreme} 
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et dont les fonctions dérivées sont continues sur $I$. 

Si $a$ et $b$ sont deux éléments de $I$, alors :
$$\int_a^b u'(t)v(t)dt=\left[ u(t)v(t)\right] _a^b-\int_a^bu(t)v'(t)dt$$
\end{theoreme}
Remarque  : cette méthode n'a d'intérêt que si $\int_a^bu(t)v'(t)dt$ est plus facile à calculer que $\int_a^bu'(t)v(t)dt$
\noi \begin{large}\textbf{Exemple :}\end{large}

$B=\int_a^b xe^xdx$  Posons $u(x)=e^x$ et $v(x)=x$ alors $u'(x)=e^x$ et $v'(x)=1$.

On a donc  $B=\int_0^1 xe^xdx=\left[ xe^x\right] _0^1-\int_0^1 e^xdx=e-\left[ e^x\right] _0^1=e-(e-1)=1$

\section{Valeur moyenne et inégalité de la moyenne}
Soit $f$ une fonction continue et bornée sur un intervalle $[a;b]$. 

Quel que soit le réel $x$ de $[a;b]$, avec $a<b$, on a $m\leq f(x) \leq M$ (avec $m$ minorant de $f$ et $M$ le majorant de $f$ sur l'intervalle $[a;b]$) d'où : 

$\int_a^b mdx \leq \int_a^bf(x)dx \leq \int_a^b Mdx$

d'où 
$\left[ mx\right]_a^b  \leq \int_a^bf(x)dx \leq \left[ Mx\right]_a^b $

et 
$m\left(b-a \right)  \leq \int_a^bf(x)dx \leq M\left( b-a\right)$

On a donc : 

$m  \leq \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx \leq M$

\begin{definition} 
Soit $f$ une fonction continue et bornée sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux réels de $I$ ($a<b$).
On appelle valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ le nombre réel : 
$$ \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx. $$
\end{definition}

\begin{theoreme}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ appartenant à $I$ ($a<b$).

Si sur un intervalle $[a;b]$, $m\leq f \leq M$, alors :
$$m  \leq \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx \leq M$$
\end{theoreme}
La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est comprise entre $m$ et $M$.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,0)(4,4)%axes
\psline{->}(0,0)(0,4) 
\psline{->}(-4,0)(4,0)
%\psline[linestyle=dashed](1,3)(1,0)
%\psline[linestyle=dashed](3,1)(3,0)
\psbezier(-2,3)(-1.5,2.5)(-1.25,1)(-1,1)
\psbezier(-1,1)(-0.75,1)(-0.25,1)(0,2.5)
\psbezier(0,2.5)(0.25,3.5)(1.5,1.5)(3,3)
\psline(-2,1)(3,1) 
\psline(-2,3)(3,3) 
\psline(-2,0)(-2,3) 
\psline(3,0)(3,3) 
\psset{linewidth=0.5pt}
\uput{0.1}[45](0,1){$m$}
\uput{0.1}[45](0,3){$M$}
\uput{0.1}[45](3,1){$y=m$}
\uput{0.1}[45](3,3){$y=M$}
\end{pspicture} % C'est fini !
\end{center}
 \end{document}