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\newtheorem{theoreme}{Théorème}
\newtheorem{propriete}{Propriété}
\newtheorem{definition}{Définition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\setcounter{chapter}{5}
\chapter{Equations différentielles linéaires (EDL)}

\section{Equations différentielles linéaires  du premier ordre } 
 Soient $a$, $b$ et $c$ trois  fonctions continues sur un intervalle $I$ sur lequel elles ne s'annulent pas.

 On cherche les fonctions $y$  dérivables sur I, telles que, pour tout $x$  de $I$ on ait : 
$$(E)\; :\;a(x).y'+b(x).y=c(x)$$

 \textbf{Exemple :}

$y'-2y=e^{2x}$

\subsection{Equations différentielles linéaires homogènes}
\begin{theoreme}
Les solutions de l'équation différentielle linéaire homogène  $a(x).y'+b(x).y=0$ sont les fonctions définies sur $I$
  par $y=ke^{-G(x)}$  avec $k \in \R$ et  $G$ est une primitive sur $I$ de la fonction $x \longmapsto \frac{b(x)}{a(x)}$. 
\end{theoreme}

\noi \textbf{Exemple :}

Dans notre exemple $g\;:\;x \longmapsto -2$, les solutions de l' E.D.L.H. $y'-2y=0$ sont donc de la forme $y=k e^{2x}$ avec $k \in \R$. 

\subsection{Cas général}

\begin{theoreme}
Les solutions de l'équation différentielle linéaire $(E) : a(x).y'+b(x).y=c(x)$ s'obtiennent en ajoutant à la solution générale de l'équation homogène une solution particulière de l'équation avec second membre.\\
Les solutions générales de $E$ sont $y=ke^{-G(x)}+y_0$ avec $y_0$ une solution de $(E)$
\end{theoreme}

\noi \textbf{Exemple :}

Dans notre exemple il faut trouver une solution particulière, Vérifier que $y_0=xe^{2x}$ est une solution de l'E.D.L $y'-2y=e^{2x}$.
En déduire toute les solutions de l'EDL.
 \subsection{Méthode de la variation de la constante}
La solution générale de l'équation homogène  est $y=ke^{-G(x)}$. 

On cherche une fonction particulière  $y_0$ telle que $y_0=k(x)e^{-G(x)}$ soit solution de l'équation $(E)$.

 \textbf{Exemple détaillé:}

On considère l'équation différentielle suivante :
$$(E)\;:\;y'+y=2e^{-x}.$$
 \textbf{Première étape :} résoudre l'équation différentielle linéaire homogène (EDLH) $(E_0)\;:\; y'+y=0$ 

On a $g\;:\;x \longmapsto 1$ dont une primitive est $G\;:\;x \longmapsto x$, les solutions de $(E_0)$ sont donc de la forme

$y=ke^{-G(x)}=ke^{-x}$ avec $k$ un réel.

\textbf{Deuxième étape :} variation de la constante

On cherche \textbf{une }solution de l'EDL $(E)$ de la forme $y_0=k(x)e^{-x}$ ou cette fois ci $k\;:\;x \longmapsto k(x)$ est un fonction dérivable.

$\begin{array}{l}
y_0'=k'(x)e^{-x}-k(x)e^{-x}\\
y_0'=(k'(x)-k(x))e^{-x}\\
y_0 \mbox{ est une solution de } (E) \\
y_0'+y_0=2e^{-x}\\
(k'(x)-k(x))e^{-x}+k(x))e^{-x}=2e^{-x}\\
k'(x)e^{-x}=2e^{-x}\\
k'(x)=2\\
y_0=2xe^{-x} \mbox{ est solution de} (E) \\
 \end{array}
$


 \textbf{Trosième étape :} conclusion 

 On applique le théorème 2, les solutions de l'EDL $(E)$ sont $y=ke^{-x}+y_0=ke^{-x}+2xe^{-x}=(2x+k)e^{-x}$ avec $k$ un réel.\\
 Il arrive que des conditions initiales soient précisées dans l'enoncé. Par exemple $y(-1)=e$ on obtient alors $k=3$ et la solution est donc
$y=(2x+3)e^{-x}$ 

\newpage
\textbf{Hors programme du groupement D }

\section{Equations différentielles linéaires  du second ordre } 
Soient $a$, $b$ et $c$ trois  réels avec $a \neq 0$ et $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. 

L'équation $(E)\; :\;a.y''+b.y'+c.y=f(x)$ est une équation différentielle linéaire du second ordre à termes constants.

\subsection{Equation différentielle linéaire  homogène} 
On appelle EDLH l'équation $(E_0)\;:\;a.y''+b.y'+c.y=0$.

\begin{theoreme}
Soient $\varphi_1$ et $\varphi_2$ deux solutions non proportionnelles de l'équation $(E_0)$.

$\varphi_1+\varphi_2$  fait partie de l'ensemble des solutions de $(E_0)$.

Pour tout $\lambda \in \R^*\;\lambda\varphi_1$  fait partie de l'ensemble des solutions de $(E_0)$.

Les solutions de $(E_0)$ sont de la forme $y=\lambda\varphi_1+\mu\varphi_0$ avec $\lambda$ et $\mu$ deux réels non tous nuls.
\end{theoreme}

\noi \textbf{Equation caractéristique :} on cherche si elle existe une solution de l'EDLH sur $\R$  de la forme $\varphi\; :\; x \longmapsto e^{rx}$

On a $\varphi(x)=e^{rx}$,  $\varphi'(x)=re^{rx}$ et $\varphi''(x)=r^2e^{rx}$

La fonction $\varphi$ vérifie l'EDLH si, et seulement si $a\varphi''+b\varphi'+c\varphi=0$ soit $(ar^2+br+c)e^{rx}=0$ pour tout $x\in \R$.

C'est-à-dire $ar^2+br+c=0$, on appelle cette équation du second degré  \textbf{l'équation caratéristique} de l'EDLH.

Différent cas sont à envisager suivant la nature des solutions de cette équation caractéristique :
2 solutions réelles, 1 solution rélle double ou pas de solutions réelles.


\begin{theoreme}Résolution de l'EDLH 
Soient l'equation différentielle $(E_0)\;:\;a.y''+b.y'+c.y=0$, $\mathcal{S}$ l'ensemble de ses solutions sur $\R$ et
$ar^2+br+c=0$ l'équation caractéristique de $(E_0)$, de solutions $r_1$ et $r_2$.
\begin{description}
\item[$\bullet$] Si $r_1$ et $r_2$ sont rélles et dinstinctes, alors : 

$\mathcal{S}=\{x \longmapsto C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_1x},\;  C_1\in \R, \; C_2\in \R, \}$
\item[$\bullet$]Si $r_1$ et $r_2$ sont rélles et confondues, $r_1=r_2=r$ alors : 

$\mathcal{S}=\{x \longmapsto (C_1+C_2x)e^{rx},\;  C_1\in \R, \; C_2\in \R, \}$
\item[$\bullet$] Si $r_1$ et $r_2$ sont   deux racines complexes conjuguées, $r_1=\alpha+i\beta$ et $r_2=\alpha-i\beta$:

$\mathcal{S}=\{(C_1\cos(\beta t)+C_2 \sin(\beta t))e^{\alpha t},\;  C_1\in \R, \; C_2\in \R, \}$.
\end{description} 
\end{theoreme}
\textbf{Exemple :} Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle : $y''-3y'-4y=0$ avec les conditions initiales 
$
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
y(0)=0 \\
y'(0)=1
 \end{array}\right.
$.

L'équation caractéristique est $r^2-3r-4=0$. Cette équation admet deux racines $r_1=-1$ et $r_2=4$.

Les fonctions solutions sont de la forme $ x \longmapsto C_1e^{-x}+C_2e^{4x}$ avec $C_1\in \R, \; C_2\in \R$.
Les conditions initiales sont vérifiées si, et seulement si 
$
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
C_1+C_2=0 \\
-C_1+4C_2=1
 \end{array}\right.
$. On obtient $C_1=-\frac{1}{5}$ et $C_2=\frac{1}{5}$. 

L'équation différentielle admet pour unique solution satisfaisant aux conditions initiales, la fonction $ x \longmapsto \frac{4e^{4x}-e^{-x}}{5} $

\subsection{Cas général} 

\begin{theoreme}
Les solutions de l'équation différentielle linéaire du second ordre $(E)\; :\;a.y''+b.y'+c.y=f(x)$ s'obtiennent en ajoutant à la solution générale de l'équation homogène une solution particulière de l'équation avec second membre.
\end{theoreme}
 \end{document}