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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{BTS}
\chead{FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES}

\lfoot{\begin{footnotesize}Formulaire de mathématiques\end{footnotesize}}
\cfoot{}
\rfoot{\begin{footnotesize}BTS groupement D\end{footnotesize}}

\begin{enumerate}
\item \textbf{\underline{RELATIONS FONCTIONNELLES}}
\vspace{0.2cm}


\begin{multicols}{2}
$\ln(ab)= \ln a + \ln b$, où $a>0$ et $b>0$
\vspace{0.2cm}

$\exp \left( a+b\right) =\exp a \times \exp b$
\vspace{0.2cm}

$a^t=e^{t\ln a}$ , o\`u $a>0$ 
\vspace{0.2cm}

$t^\alpha=e^{\alpha \ln t}$ , o\`u $t>0$ 
\vspace{0.2cm}

$\cos \left( a+b\right) =\cos a \cos b-\sin a \sin b$
\vspace{0.2cm}

$\sin \left( a+b\right) =\sin a \cos b+\cos a\sin b$
\vspace{0.2cm}

$\cos \left(2t \right)=2\cos^2 t-1=1-2\sin^2t$
\vspace{0.2cm}

$\sin \left(2t \right)=2\sin t \cos t$
\vspace{0.2cm}

$e^{it}=\cos t +i \sin t$
\vspace{0.2cm}

$\cos t =\frac{1}{2}\left( e^{it}+e^{-it}\right)$
\vspace{0.2cm}

$\sin t =\frac{1}{2i}\left( e^{it}-e^{-it}\right)$
\vspace{0.2cm}

$e^{at}=e^{\alpha t}\left( \cos(\beta t )+i\sin(\beta t) \right)$, o\`u $a=\alpha+\beta i$
\end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\item \textbf{\underline{CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL}}
	\vspace{0.2cm}
	\begin{enumerate}
	\item \noi \textbf{\underline{Limites usuelles}}
	\vspace{0.2cm}

	\begin{tabular}{l l l }
	\underline{Comportement à l'infini} & &\underline{Comportement à l'origine} \\
	&&\\
	 $\lim_{t \rightarrow +\infty } \ln t = +\infty$ ; & & $\lim_{t \rightarrow 0 } \ln t=-\infty$   \\ 
	&&\\
	 $\lim_{t \rightarrow +\infty } e^t = +\infty$ ;& & Si $\alpha>0$, $\lim_{t \rightarrow 0 }  t^{\alpha}=0$ ; si $\alpha<0$, $\lim_{t \rightarrow 0 }  t^{\alpha}=+\infty$    \\ 
	 &&\\
	 $\lim_{t \rightarrow -\infty } e^t = 0$ ;& & Si $\alpha>0$, $\lim_{t \rightarrow 0 }  t^{\alpha}\ln t=0$.   \\
	 &&\\
	 Si $\alpha>0$, $\lim_{t \rightarrow +\infty } t^{\alpha} = +\infty$; si $\alpha<0$, $\lim_{t \rightarrow +\infty } t^{\alpha} = 0$ & &   \\	
	 &&\\
	\underline{Croissances comparées à l'infini }& &\\  
&&\\
	  Si $\alpha>0$, $\lim_{t \rightarrow +\infty } \frac{e^t}{t^\alpha} = +\infty$& &   \\
	   &&\\
	    Si $\alpha>0$, $\lim_{t \rightarrow +\infty } \frac{\ln t}{t^\alpha} = 0$& &   \\
 	\end{tabular} 
 	\newpage
	\item \noi \textbf{\underline{Dérivées et primitives}} 
	\vspace{0.2cm}

	\noi \underline{\textit{Fonctions usuelles}} 
	\vspace{0.2cm}


	\begin{tabular}{| p{3 cm}|  p{3 cm}||p{3 cm}|| p{3 cm}|}
	\hline 
	$f(t)$& $f'(t)$ &$f(t)$&$f'(t)$\\
	\hline
	&&&\\
	$\ln t$ & $\frac{1}{t}$&$\tan t$& $\frac{1}{\cos^2 t}=1+\tan^2 t$\\
	&&&\\
	$e^t$&$e^t$&$\arcsin\, t $ & $\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ \\
	&&&\\
	$t^{\alpha}\;(\alpha \in \R)$&$\alpha t^{\alpha -1}$&&\\
	$\sin t$& $\cos t$&$\arctan \,t$&$\frac{1}{1+t^2}$\\
	&&&\\
	$\cos t$& $-\sin t$ &$e^{at}\;(a \in \GC)$ & $ae^{at}$\\
	\hline 
	\end{tabular}

	\vspace{0.2cm}
	\noi \underline{\textit{Opérations}} 
	\vspace{0.2cm}

	\begin{tabular}{l p{3.5cm}|l}
	${\left(u+v \right) }'=u'+v'$& &\hspace{0.2cm} $\left(v\circ u \right)'=\left(v' \circ u \right)u'  $  \\ 
	&&\\
	$\left(ku \right)'=ku' $&  &\hspace{0.2cm}$\left( e^u\right)'=e^u u'$\\ 
	&&\\
	$\left(uv \right)'=u'v+uv' $&  &\hspace{0.2cm}$\left( \ln u \right)'=\frac{u'}{u}$ , $u$ à valeurs strictement positives \\ 
	&&\\
	$\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2} $&  &\hspace{0.2cm}$\left( u^a \right)'=\alpha u^{a-1} u' $\\ 
	&&\\
	$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{u^2} $&  &\\ 
	\end{tabular}
	\vspace{0.2cm}

	\item \textbf{\underline{ Calcul intégral}} 
	\vspace{0.2cm}

	\begin{tabular}{l p{2 cm}|l}
	\textit{Valeur moyenne }de $f$ sur $[a,b]$ : & &\textit{Intégration par parties }:  \\ 
	$\frac{1}{b-a}\int_a^bf(t)dt$&  &\hspace{0.2cm}$\int_a^bu(t)v'(t)dt=\left[ u(t)v(t)\right]_a^b- \int_a^bu'(t)v(t)dt$\\
	\end{tabular} 
	\vspace{0.2cm}
	\item  \textbf{\underline{Développements limités}} 
	\vspace{0.2cm}
	\setlength{\columnseprule}{0.3pt}
	\begin{multicols}{2}
	$e^t\,=\,1+\frac{t}{1!}+\frac{t^2}{2!}+\cdots+\frac{t^n}{n!}+t^n\varepsilon(t)$
	\vspace{0.2cm}

	$\frac{1}{1+t}\,=\,1-t+t^2+\cdots+(-1)^nt^n+t^n\varepsilon(t)$
	\vspace{0.2cm}

	$\ln(1+t)\,=\,t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}+t^n\varepsilon(t)$
	\vspace{0.2cm}

	$\sin t \,=\,\frac{t}{1!}-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}+\cdots+(-1)^{p}\frac{t^{2p+1}}{(2p+1)!}+t^{2p+1}\varepsilon(t)$
	\vspace{0.2cm}
	
	$\cos t \,=\,1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}+\cdots+(-1)^{p}\frac{t^{2p}}{(2p)!}+t^{2p}\varepsilon(t)$
	\vspace{0.2cm}

	${(1+t)}^{\alpha}=1-\frac{\alpha}{1!}t+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}t^2+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}t^n+t^n\varepsilon(t)$
	\vspace{0.2cm}

	\end{multicols}
	
	\item  \textbf{\underline{Equations différentielles}} 
	\vspace{0.2cm}

\begin{small}
	\begin{tabular}{|l|l|}
	\hline  
	Equations & Solutions sur intervalle $I$  \\ 
	\hline
	$a(t)x'+b(t)x=0$& $f(t)=ke^{-G(t)}$ où $G$ est une primitive de $t \Ass \frac{b(t)}{a(t)}$  \\ 
	\hline 
	$ax''+bx'+cx=0$ &	Si  $\Delta>0$, $f(t)=\lambda e^{r_1t}+\mu e^{r_2t}$  où $r_1$ et $r_2$ sont les racines de l'éq. caractéristique \\
	équation caractéristique :& Si  $\Delta=0$, $f(t)=(\lambda t+\mu) e^{rt}$  où $r$ est la racine double de l'éq. caractéristique \\
	$ar^2+br+c=0$&Si  $\Delta<0$, $f(t)=[\lambda \cos(\beta t)+\mu \sin(\beta t)]e^{\alpha t}$  où $r_1=\alpha+i\beta$ et $r_2=\alpha-i\beta$ sont  \\ 
	 de discriminant $\Delta$&les racines complexes conjuguées de l'éq. caractéristique\\
	\hline
	\end{tabular} 
\end{small}
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}




\end{document}



 