\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\newcolumntype{A}{>{\columncolor[gray]{0.75}}X}
\def\noi{\noindent}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

\setcounter{page}{2}
\pagestyle{fancy}
\lhead {STG CGRH }
\chead{BAC BLANC }
\rhead{Avril 2007}
\cfoot{\thepage}



\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

Au 1\upshape{er} janvier 2007, la population d'une ville est de 8\,000 habitants.
Les derniers recensements et études statistiques indiquent que la population baisse de 5\%
chaque année. 

On se place dans l'hypothèse où chaque année la population baisserait de  5\%.

On désigne par $P_0$ la population de la ville au 1\upshape{er} janvier 2007  

et par $P_n$ la population de la ville au 1\upshape{er} janvier $2007+n$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $P_1$, $P_2$ et $P_3$.
\item Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$ et en d\'eduire la nature de la suite $(P_n)$.

\begin{minipage}{8cm}
\item On désire à l'aide d'un tableur calculer rapidement les termes de la suite $(P_n)$, pour cela on réalise la feuille
de calculs ci-contre.
\vspace{0.5cm}
\begin{enumerate}
 \item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule \textbf{C3} pour calculer $P_1$

\item À l'aide d'un copier-glisser, on étend cette formule jusqu'à la cellule \textbf{C12} pour calculer $P_{10}$.
Quelle formule obtient-on alors ?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{flushright}
\begin{tabular}{|A c|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|}
\hline
 \rowcolor[gray]{0.75} &  A  & B & C \\
\hline
1&Année &$n$ &$P_n$ \\
\hline
2&2007 &0&8\,000 \\
\hline
3&2008 &1& \\
\hline
4&2009 &2& \\
\hline
$\vdots$ &$\vdots$&$\vdots$& \\
\hline
12&2017 &10& \\
\hline
\end{tabular}\end{flushright}
\end{minipage}

\item En utilisant la calculatrice, déterminer le rang $n$ et l'année à partir desquels le nombre d'habitants aurait diminué de moitié par rapport  à la situation de départ.




\end{enumerate}


\vspace{2cm}



\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

Soit $f$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle [1 ; 10] par

\[f(x)  = 2x + \dfrac{18}{x}.\]
On a tracé la courbe repr\'esentative de la 
fonction $f$ en annexe. L'unit\'e graphique est 1 cm en abscisse et 0,5 cm en ordonn\'ee.

\begin{enumerate}\item Calculer $f(1)$ et $f(9)$.

\noindent Les r\'esultats trouv\'es sont-ils coh\'erents avec le graphique ? On justifiera la r\'eponse en
 fournissant les trac\'es n\'ecessaires.

\item On note $f'$ la d\'eriv\'ee de $f$.

Prouver que $f'(x) = \dfrac{2(x- 3)(x+3)}{x^2}$	avec $x$ r\'eel de l'intervalle
 [1 ; 10].

\item \'Etudier le signe de $f'$ et donner le tableau de variations complet de
 
$f$ sur l'intervalle [1 ; 10]. Est-il coh\'erent avec la courbe fournie en 
annexe ? Justifier.

\item\begin{enumerate}\item Sachant que $f$ repr\'esente le co\^ut total, en milliers d'euros, de la
 fabrication de $x$ tonnes d'un certain produit, d\'eterminer, par lecture graphique, 
le nombre de tonnes de produit \`a fabriquer pour que ce co\^ut soit \'egal \`a 
$20\,000$ \Euro.

\item Combien faut-il fabriquer de tonnes de produit pour avoir un co\^ut total 
minimum ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}




\vspace{5cm}



\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

Un jour donn\'e, le g\'erant d'un restaurant d'entreprise s'int\'eresse aux pr\'ef\'erences
 culinaires des 500 employ\'es qui viennent d\'ejeuner dans son restaurant. 

Ce jour-l\`a, ils ont le choix entre du poulet, du poisson ou un steak, accompagn\'e de 
frites ou de haricots verts. Chaque employ\'e prend une viande et un l\'egume. Il remarque
 que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 40\: \% des employ\'es choisissent le poulet ; parmi ceux-ci, il y en a 150 
qui choisissent des frites ;

\item[$\bullet~$] $\dfrac{1}{5}$ des employ\'es choisit le poisson ;

\item[$\bullet~$]  le quart des employ\'es choisit le steak-frites ;

\item[$\bullet~$]  toutes les personnes qui prennent du poisson l'accompagnent de haricots verts.
\end{itemize}

\begin{enumerate}\item Apr\`es l'avoir reproduit, compl\'eter le tableau suivant :

\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{| *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	& Frites 	& Haricots verts 	& Total\\ \hline
Poulet 					& 150		&				& \\ \hline
Poisson 					& 			& 				& \\ \hline
Steak 					& 			& 				&  \\ \hline
Total 					& 			& 				& \\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

\noindent Les r\'esultats du \textbf{2 a} seront donn\'es sous forme de fraction irr\'eductible puis de pourcentage arrondi au dixième.

\item \begin{enumerate}\item On choisit un employ\'e au hasard parmi les 500 convives. On note $A$  l'\'ev\`enement \og l'employ\'e choisit un steak \fg{} et $B$ l'\'ev\`enement \og l'employ\'e choisit
 des haricots verts \fg{}.

$\bullet~$ D\'eterminer $P(A)$, $P(B)$ et $P(A~\cap~B)$.

$\bullet~$ En d\'eduire la probabilit\'e pour cet employ\'e de choisir le steak ou les haricots verts.

\item Calculer $P_{A}(B)$, la probabilité de l'\'ev\`enement $B$ sachant que l'\'ev\`enement $A$ est réalisé .

Expliciter le résultat obtenu à l'aide d'une phrase.

\end{enumerate}

\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}




\newpage

\lhead{Nom : \hspace{5cm}}
\chead{Prénom : \hspace{5cm}}



\begin{center} 

\textbf{\gray ANNEXE}

\vspace{2cm}


\begin{pspicture}(-1,-1)(12,12)

\psgrid[griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,0)(12,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,dx=1, dy=1,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(12,12)

\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}

\psplot[plotpoints=200]{1}{10}{x 2 mul 18 x div add}

\end{pspicture}\end{center}
\vspace{1.5cm}

\begin{center}
\textbf{Cette feuille est à rendre dûment complétée.}\end{center}
\end{document}
