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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bibliographystyle{unsrt}

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\def\noi{\noindent}

\newtheorem{theoreme}{Théorème}
\newtheorem{definition}{Définition}
\newtheorem{propriete}{Propriété}
\def\noi{\noindent}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{fancy}

\lhead {}
\chead{Probabilités }
\rhead{ }
\setcounter{chapter}{1}
\chapter{Probabilités}
 Dans tout ce chapitre, 
on considère une expérience aléatoire, $\Omega$ son univers,  $A$  et $B$ deux événements avec $P(B)\neq 0$.

\section{Probabilités conditionnelles}


\begin{definition}
On appelle probabilité de $A$ sachant $B$ et on note $P_B(A)$ ou $P(A|B)$ le nombre

$P_B(A)=\frac{P(A\cap B}{P(B)}$.
\end{definition}

\vspace{0.2cm}

\begin{large}\textbf{Exemple :}\end{large}

Le tableau ci-dessous donne la répartition d'une classe de terminale.
\vspace{0.2cm}

\begin{center}
% use packages: array
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
 & Int & Ext & DP & Total \\ 
\hline
Fille & 2 & 3 & 11 & 16 \\ 
\hline
Garçon & 1 & 2 & 15 & 18 \\ 
\hline
Total & 3 & 5 & 26 & 34\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Parmi les élèves de cette classe, on en choisit un au  hasard.

On considère les événements suivants :
\begin{description}
\item[] $A$ : \og l'élève choisi est une fille \fg ;
\item[] $B$ : \og l'élève choisi est demi-pensionnaire \fg.
 \end{description}

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(A)$, $P(B)$. Définir l'événement $A\cap B$ puis calculer $P(A\cap B)$.
\item On choisit une élève parmi les filles.

Quelle est la probabilité d'obtenir une demi-pensionnaire.
\end{enumerate}


\begin{enumerate}
\item On a :
$P(A)=\frac{Card(A)}{Card(\Omega)}=\frac{16}{34}=\frac{8}{17}\approx 47 \%$

et $P(B)=\frac{Card(B)}{Card(\Omega)}=\frac{26}{34}=\frac{13}{17}\approx 76,5 \%$. 

 $A\cap B$ : \og l'élève choisi est une fille et elle est demi-pensionnaire \fg  

on a donc  $P(A\cap B)=\frac{Card(A\cap B)}{Card(\Omega)}=\frac{11}{34}\approx 32\%$.

\item Il s'agit d'une probabilité conditionnelle : la probabilité de $B$ sachant $A$ d'où :

$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{11}{34}}{\frac{16}{34}}=\frac{11}{16}\approx  68\%$.

Autre méthode, on a $P_A(B)=\frac{Card(A\cap B)}{Card(A)}=\frac{11}{16}\approx  68\%$.
\end{enumerate}
\newpage
\section{Arbre probabiliste}
Soit  $B$  un événement de probabilité différente de $1$ et de $0$.

On peut représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilité.

\begin{minipage}[]{8 cm}
Pour construire un arbre, on utilise les trois propriétés suivantes :
\begin{description}
\item[$\bullet$] la probabilité d'un chemin est égale au produit des
probabilités de ses branches ;
\item[$\bullet$] la somme des probabilités issues d'un même n\oe ud est égale à 1 ;
\item[$\bullet$] la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent.
\end{description}
Dans le cas particulier d'un arbre à deux branches on  a :
\begin{description}
\item[$\bullet$] $P(A\cap B)=P_B(A)\times P(B)$ ;
\item[$\bullet$] $P_B(A)+P_B(\overline{A})=1$ ;
\item[$\bullet$] $P(A)=P(B)\times P_B(A)+P(\overline{B})\times P_{\overline{B}}(A)$.
\end{description}
\end{minipage} 
\begin{minipage}[]{8 cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-3)(0,3)
\psset{nodesep=3mm,levelsep=30mm,treesep=15mm}

\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
 \pstree{\TR{$B$}\taput{$P(B)$}}
    {
    \TR{$A$} \taput{$P_B(A)$}
    \TR{$\overline{A}$} \tbput{$P_B(\overline{A})$}
    }
 \pstree{\TR{$\overline{B}$}\tbput{$P(\overline{B})$}}
    {
    \TR{$A$} \taput{$P_{\overline{B}}(A)$}
    \TR{$\overline{A}$} \tbput{$P_{\overline{B}}(\overline{A})$}
    }
 
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage} 
\vspace{0.2cm}

\begin{large}\textbf{Exemple :}\end{large}
Dans une partie du monde, on estime que 15 \% de la population est contaminée par un virus $X$.
La stratégie de dépistage met en place un test.
On a observé les résultats suivants :
\begin{description}
\item[$\bullet$] quand la personne est contaminée par le virus $X$, le test est positif dans 99,6 \%
des cas ;
\item[$\bullet$] quand la personne n'est pas contaminée par ce virus,  le test est négatif dans 97,8 \% des cas.

\end{description} 
 On considère les événements suivants :
\begin{description}
\item[] $A$ :\og La personne est contaminée par le virus $X$ \fg;
\item[] $B$ :\og La personne a un test positif \fg.
\end{description}
\begin{enumerate}
\item Réaliser un arbre représentant la situation.
\item Calculer $P(B)$.
\item Calculer la probabilité que le résultat du test soit exact.
\end{enumerate}
\newpage
\begin{enumerate}
\item 
\begin{minipage}[]{8 cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-3)(0,3)
\psset{nodesep=3mm,levelsep=30mm,treesep=15mm}

\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
 \pstree{\TR{$A$}\taput{$15\%$}}
    {
    \TR{$B$} \taput{$99,6\%$}
    \TR{$\overline{B}$} \tbput{$0,4\%$}
    }
 \pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{$85\%$}}
    {
    \TR{$B$} \taput{$2,2\%$}
    \TR{$\overline{B}$} \tbput{$97,7\%$}
    }
 
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}[]{8 cm}
\item On sait que $P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)=15\%\times99,6\%+85\%\times2,2\%=16,81\%$.
\item On pose $C$ :\og le résultat du test est exact \fg. On a $C =(A\cap B) \cup (\overline{A}\cap\overline{B})$, il s'agit de deux événements incompatibles d'où :

$P(C)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap\overline{B})=15\%\times99,6\%+85\%\times97,8\%=97,9\%$.

La probabilité que le résultat soit exact  est de 97,9\%.
\end{minipage}
\end{enumerate}
\section{Indépendance de deux événements}

\begin{definition}
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants signifie que 

\[P(A\cap B)=P(A)\times P(B). \]
\end{definition}

\textbf{Conséquence : }

si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, la probabilité de $A$ sachant $B$ ne dépend pas de la probabilité de $B$.
En effet $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\times P(B)}{P(B)}=P(A)$.

\begin{propriete}
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants  si, et seulement, si $P_B(A)=P(A)$.

\end{propriete}





\end{document}

