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\def\noi{\noindent}

\newtheorem{theoreme}{Th�r�e}
\newtheorem{definition}{D�inition}
\newtheorem{propriete}{Propri��
\def\noi{\noindent}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{fancy}

\lhead {}
\chead{Suites arithm�iques et g�m�riques }
\rhead{ }
\setcounter{chapter}{2}
\chapter{Suites arithm�iques et g�m�riques}

\section{Notion de suite}
une suite num�ique est une succession de nombres r�ls, chacun �ant un terme 
de la suite. On num�ote les termes, ce qui revient �faire correspondre 
�des entiers naturels des nombres r�ls.

\begin{tabular}{lllllll}
 Rang du terme & 1 & 2 & 3 & 4 &$\ldots$& $n$\\ 
 &  $\downarrow$& $\downarrow$ & $\downarrow$ &  $\downarrow$&  $\downarrow$&$\downarrow$\\ 
 Terme & 3 & 9 & 27 & 81&$\ldots$& $u_n=3^n$ \\ 

\end{tabular}

L'image de l'entier $n$ par la suite $u$ se note $u_n$ et se lit \og $u$ indice $n$ \fg.
On dit que $u_n$ est le terme de rang $n$. La suite $u$ se note aussi $\left(u_n\right)_{n\in \N}$.

\section{Suites arithm�iques}


\begin{definition}
 Lorsqu'on obtient chaque terme d'une suite en ajoutant au terme pr��ent toujours le m�e r�l, appel�raison,
la suite est dite arithm�ique.

$\bullet$ Dire que $u$ est une suite arithm�ique de raison $r$, signifie que pour tout $n \in \N$ (ou une partie de $\N$), on a :
$$u_{n+1}=u_n+r .$$
\end{definition}


\vspace{0.2cm}

\begin{large}\textbf{Exemples :}\end{large}
\begin{description}
\item[$\bullet$] 5 ; 8 ; 11 ; 14 est une suite arithm�ique de quatre termes, de premier terme  5 et de raison 3.
\item[$\bullet$]  12; 10,5 ; 9 ; 7,5 ; 6 est une suite arithm�ique de cinq termes, de premier terme  12 et de raison -1,5.
\end{description}  


\begin{theoreme}
Le terme de rang $n$ d'une suite arithm�ique $u$ de premier terme $u_1$ et de raison $r$ est :
$$u_n=u_1+(n-1)r$$
Si le premier terme est $u_0$ alors le terme de rang $n$ est : $u_n=u_0+nr$.
\end{theoreme}

\begin{large}\textbf{Exemple :}\end{large}

Soit la suite arithm�ique de premier terme $u_1=12$ et de raison 3.

Le terme de rang 50 $u_{50}=u_1+(50-1)\times r=12+49\times 3 = 159$.


\begin{theoreme}\textbf{Somme des n premiers termes}

La somme des n premiers  termes d'une suite arithm�ique $u$ de premier terme $u_1$ est :
\[ S_n=u_1+u_2 \ldots+u_{n-1}+u_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}\]

On retient que la somme  $S$ de termes cons�utifs d'une suite arithm�ique est �ale �
\[S=\mbox{nombre de termes}\times \frac{\mbox{ premier terme}+\mbox{dernier terme}}{2} \]
\end{theoreme}

\begin{large}\textbf{Exemple :}\end{large}

Soit la suite arithm�ique de premier terme $u_1=1$ et de raison 2.
$$S_n=u_1+u_2 \ldots+u_{n-1}+u_n=1+3+5\ldots+(2n-1)=\frac{(1+2n-1)(n)}{2}=n^2$$

$S_1=1$ ; $S_2=1+3=4$ ; $S_3=1+3+5=9$; $S_4=1+3+5+7=16$;

\newpage
\section{Suites g�m�riques}


\begin{definition}~

$\bullet$ Lorsqu'on obtient chaque terme d'une suite en multipliant le terme pr��ent par le 
m�e r�l, appel�raison, la suite est une  suite g�m�rique.

$\bullet$  Si $u$ est une  suite g�m�rique de raison $q$, pour tout $n \in \N$ (ou d'une partie de $\N$).
on a : $u_{n+1}=q\times u_n$
\end{definition}

\textbf{Exemples :}


1; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; est une suite g�m�rique de cinq  termes de premier terme 1 et de raison 2.

Les int��s compos� : un capital de 5000 euros est plac�au taux annuel de 4,5 \%.
On a donc :
$$\begin{array}{l}
 C_0=5000\\
 C_1=5000+5000\times 0,045=5000\times1,045=5225\\
 C_2=C_1\times1,045=5355,625
 \end{array}$$
 
\textbf{M�hode :} Pour d�ontrer qu'une suite est g�m�rique il faut : 

$\bullet$ s'assurer que pour tout $n\in \N$ $u_n \neq 0$

$\bullet$ montrer que pour tout $n \in \N$ le rapport  $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ est un  r�l $q$ constant.
 
 \textbf{Calcul du terme de rang $n$}
 
 Soit $u$ une suite g�m�rique de premier terme $u_1$ et de raison $q$. 
 On a : $u_2=q\times u_1$; $u_3=q\times u_2=q\times q \times u_1=q^2u_1$ ; 
 $u_4=q\times u_3= q\times q^2u_1=q^3u_1$.
 On admet que pour tout entier $n$ non nul, on a :  $u_n=q^{n-1}u_1$.

\begin{theoreme}
Le terme de rang $n$ d'une suite g�m�rique  $u$ de premier terme $u_1$ et de raison $q$ est :
$u_n=q^{n-1}u_1$.
si le premier terme est $u_0$ alors le terme de rang $n$ est $u_n=q^{n}u_0$.
\end{theoreme}
 
\textbf{ Exemple :} soit $u$  une suite g�m�rique de premier terme 100 et de raison 3.
$u_{10}=3^9\times 100= 1968300$




 \begin{theoreme} \textbf{Somme des n premiers termes}

La somme des $n$ premiers  termes d'une suite g�m�rique $u$ de premier terme $u_1$ et de raison $q \neq 1$ est :
\[S_n=u_1+u_2+\ldots +u_n=u_1\times\frac{1-q^{n}}{1-q}\]

On retient que la somme  $S$ de termes cons�utifs d'une suite g�m�rique est �ale �
\[S=\mbox{premier terme}\times\frac{1-q^{\mbox{nb de termes}}}{1-q}\]
 
\end{theoreme}

\textbf{ Exemple :} sur la premi�e case d'un �hiquier on place 1 grain de riz,  2 sur la suite puis 4. Ainsi de suite jusqu'�la derni�e case.

Combien de grains de riz faut-il pour compl�er l'�hiquier de cette fa�n ?

Il s'agit d'une suite g�m�rique de premier terme $u_1=1$ et de raison $q=2$.

Le nombre de grains riz total est $u_1+u_2+\ldots+u_{64}=\frac{1-2^n}{1-2}=2^{64}-1\approx1,84\times 10^{19}$

soit environ $1\,844$ milliards de milliards.


\end{document}

