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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bibliographystyle{unsrt}

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\newtheorem{theoreme}{Th\'eorème}
\newtheorem{definition}{D\'efinition}
\newtheorem{propriete}{Propri\'et\'e}
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead {}
\chead{D\'eriv\'ees et fonctions de r\'ef\'erence}
\rhead{}
\setcounter{chapter}{3}

\chapter{D\'eriv\'ees et fonctions de r\'ef\'erence}
\section{Fonction d\'eriv\'ee}

Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$.

\begin{definition}
 On dit que $f$ est d\'erivable sur $I$ lorsque $f$ admet pout tout $x$ de  $I$ un nombre d\'eriv\'e, $f'(x)$.

On appelle fonction d\'eriv\'ee de $f$ la fonction, not\'ee $f'$, qui \`a tout $x$ de $I$, associe le nombre d\'eriv\'e $f'(x)$ de $f$ en $x$.
\end{definition}

\section{D\'eriv\'ees des fonctions de référence}

On admet les résultats suivants :
\vspace{0.2cm}

\begin{center}
\newcolumntype{B}{>{\centering} p{3cm}}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\rowcolor[rgb]{0.54,0.79,0.98} $f$ définie et dérivable sur : & \hspace{0.5cm} $f(x)=$ \hspace{0.5cm} &\hspace{0.5cm} $f'(x)=$ \hspace{0.5cm}\\
\hline
\multirow{5}*{$\R$}&$k$&0\\
\cline{2-3}
&$x$&1\\
\cline{2-3}
&$x^2$&$2x$\\
\cline{2-3}
&$x^3$&$3x^2$\\
\cline{2-3}
&$x^n$&$nx^{n-1}$\\
\hline
\multirow{2}*{$\R^*$}&$\frac{1}{x}$&$-\frac{1}{x^2}$\\
\cline{2-3}
&$\frac{1}{x^n}$&$-\frac{n}{x^{n+1}}$\\
\hline
$]0,+\infty[$&$\sqrt{x}$&$\frac{1}{2\sqrt{x}}$\\
\hline
\end{tabular}
 
\end{center}

\begin{large}\textbf{Exemples :}\end{large}

Soit $f$ la fonction  définie sur $\R$ par $f(x)=x^4$, est dérivable sur $\R$ et on a $f'(x)=4x^{4-1}=4x^3$.


Soit $g$ la fonction  définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=\frac{1}{x^2}=x^{-2}$, est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on a \mbox{$f'(x)=-2x^{-2-1}=-\frac{2}{x^3}$}.
\newpage
\section{Opérations sur les fonction d\'erivables}
Soit $u$ et $v$  deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$.
\subsection{Addition et multiplication}
Les fonctions $u+v$, $ku$ ($k \in \R$) et $u\times v$ sont dérivables sur $I$ et on a :
\begin{description}
\item[$\bullet$] $(u+v)'=u'+v'$ ;
\item[$\bullet$] $(ku)'=ku'$ ;
\item[$\bullet$] $(uv)'=u'v+uv'$.
\end{description} 

\begin{large}\textbf{Exemples :}\end{large}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+5x^2$ alors on a $f'(x)=3x^2+10x$.

Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^2\sqrt{x}$, $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et on a 
$g'(x)=2x\sqrt{x}+x^2\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
\subsection{Division et inverse :} 
 Si $u$  est une  fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$,  et si $v$ est une  fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ telle que pour tout $a\; \in \; I\; ,\; v(a) \not = 0$,
 alors les fonctions $\frac{1}{v}$ et $\frac{u}{v}$ sont des fonctions dérivables sur $I$ et on a :
\begin{description}
\item[$\bullet$] $\left( \frac{1}{v}\right) '=-\frac{v'}{v^2}$ ;
\item[$\bullet$]  $\left( \frac{u}{v}\right) '=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
\end{description} 


\section{Applications :} 
\subsection{Dérivée et sens de variation :} 
Soit $f$ une fonction d\'efinie et dérivable sur un intervalle ouvert $I$.
On admet les résultats suivants.

\begin{theoreme}~

Si $f'$ est strictement positive sur $I$ (sauf peut-être en un nombre fini de réels de $I$) , alors $f$ est 
strictement croissante sur $I$.

Si $f'$ est strictement négative sur $I$ (sauf peut-être en un nombre fini de réels de $I$), alors $f$ est 
scritement décroissante sur $I$.

\end{theoreme}

\begin{large}\textbf{Exemple :}\end{large}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R\backslash\{-2\}$ par $f(x)=\frac{2x-1}{x+2}$. Étudier les variations de $f$.

La fonction $f$ est un quotient,  on a :

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
u(x)=2x-1 & v(x)=x+2 \\ 
u'(x)=2 & v'(x)=1
\end{array}
\end{displaymath}

d'où $f'(x)=\frac{2(x+2)-(2x-1)}{{(x+2)}^2}=\frac{5}{{(x+2)}^2}$.
\vspace{0.2cm}

Comme $5$ et ${(x+2)}^2$ sont positifs, on en déduit que $f'(x)>0$.


\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(7,4.5)
\psframe(0,0)(7,4)
\psline(0,1.5)(7,1.5)
\psline(0,3)(7,3)
\psline(1.5,0)(1.5,4)

\psline(1.5,0)(1.5,4)

\psline(4.3,0)(4.3,3)
\psline(4.2,0)(4.2,3)

\psline{->}(1.8,0.25)(4,1.25)

 \psline{->}(4.6,0.25)(6.8,1.25)

\uput{0}[180](0.75,3.5){$x$}
\uput{0}[0](1.7,3.5){$-\infty$}
\uput{0}[0](3.9,3.5){$-2$}
\uput{0}[180](6.8,3.5){$+\infty$}

\uput{0}[0](0.5,2.25){$f'(x)$}
\uput{0}[180](3,2.25){$+$}
\uput{0}[180](5.7,2.25){$+$}

\uput{0}[0](0.5,0.75){$f$}
\end{pspicture}\end{center}

\subsection{Extremum local d'une fonction :}

\begin{theoreme} Soit $x_0$ un réel de l'intervalle  $I$.
\begin{description}
 \item[$\bullet$]Si $f'(x_0)=0$  et si $f'$  change de signe en $x_0$, alors $f$ admet un extremum local  en $x_0$.
 \item[$\bullet$]Si $f'$ est négative \og avant \fg $x_0$ et positive \og après \fg, il s'agit d'un minimun local.
 \item[$\bullet$]Si $f'$ est positive \og avant \fg $x_0$ et négative \og après \fg, il s'agit d'un maximum local.
 \end{description}
\end{theoreme}

\begin{large}\textbf{Exemple :}\end{large}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2+6x$. 

Déterminer le maximum de  $f$ sur $\R$.

La fonction $f$ est une somme   on a  $f'(x)=-2x+6$.

La fonction $f'$ s'annule, en changeant de signe, en $x_0=3$  elle est d'abord positive puis négative.

La fonction $f$ admet donc un maximum pour $x_0=3$ qui vaut $f(3)=9$.




\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(4,4.5)
\psset{unit=0.5cm}
\psgrid[griddots=0,subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](0,0)(-2,-4)(8,9)
%\footnotesize
\psaxes[linewidth=.5pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-4)(8,9)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psdot(3,9)
\uput{.2}[225](0,0){$O$}
\uput{.2}[90](3,9){$S$}
\uput{.2}[180](0,0.5){$\Vect{\jmath}$}
\uput{0.3}[290](0.2,0){$\Vect{\imath}$}
\uput{0.1}[45](4.5,7){$\mathscr{C}_f$}
\uput{0.1}[270](3,0){$3$}
\psline{<->}(2,9)(4,9)

\psplot[plotpoints=300,linewidth=1pt]{-0.5}{6.5}{9 x 3 sub 2 exp sub}
\end{pspicture}\end{center}













\end{document}
