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\def\noi{\noindent}

\newtheorem{theoreme}{Théorème}
\newtheorem{definition}{Définition}
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead {}
\chead{Limite d'une suite}
\rhead{}
\setcounter{chapter}{12}



Soit un réel $l$ et une suite numérique $\Un$, on s'interéresse au comportement  de la suite en $+\infty$.

\begin{definition}
Dire que la suite numérique $\Un$ \textbf{converge vers le réel } $l$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On dit alors que $l$ est la limite de la suite $\Un$ et on note $\lim _{n\to +\infty }U_n=l$. 
\end{definition}

 \noi \textbf{Remarques : }

\begin{description}
 \item[] La limite d'une suite numérique convergente est unique.
\item[] Si une suite ne converge pas elle est dite divergente.
\item[] Si la suite $\Un$ de la forme $U_n=f(n)$ avec $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[a;+\infty[$, les théorèmes sur les  limites des fonctions en $+\infty$ s'appliquent.
\item[]
 \end{description}

 
 \noi \textbf{Exemple : } La suite $\Un$ définie par $U_n=\frac{(-1)^n}{n}$, $n \in \N^*$, converge vers 0.

  Tout intervalle ouvert $]a;b[ \;a \mbox{ et } b \in \R^* \mbox{ avec } a<b$ ,  contenant $0$ contient tous les termes de la suite $\Un$  à partir du rang $n_0 = E(max(\frac{1}{|a|},\frac{1}{|b|}))+1$ ou $E$ désigne la fonction partie entière.

\begin{theoreme} Opérations et limites ~\\
$\Un$ est une suite convergente vers le réel $a$ et $(V_n)$ est une suite convergente vers le réel $b$.
\begin{description}
 \item[$\bullet$]La suite $(W_n)$, définie par $W_n=U_n+V_n$, converge vers le réel $a+b$.
 \item[$\bullet$]La suite $(T_n)$, définie par $T_n=U_n\times V_n$, converge vers le réel $a\times b$.
 \item[$\bullet$]Si de plus  $(V_n)$ est une suite qui converge vers le réel  $b\neq 0$ telle que pour tout $n \in \N ,\; V_n \neq 0$ ,
alors la suite $(Q_n)$ définie par $Q_n=\frac{U_n}{V_n}$ converge vers le réel  $\frac{a}{b}$.

 \end{description}

\end{theoreme}

 \noi \textbf{Exemple : } La suite $\Un$ définie pour  tout  $n \in \N^*$ par $U_n=2+\frac{4}{\sqrt{n}}$, converge vers 2.
  En effet $\lim _{n\to +\infty }\frac{4}{\sqrt{n}}=0$ donc d'après le théorème sur la limite d'une somme, $\lim _{n\to +\infty }U_n=2$.

\begin{theoreme} d'encadremment dit \og des gendarmes\fg 

Soit trois suites $\Un$, $(V_n)$ et $(W_n)$ telles qu'il existe d'un certain rang $p \in \N $ tel que pour tout entier naturel $n \geq p$ on ait  $ W_n \leq  U_n \leq V_n$.

Si  $(V_n)$ et $(W_n)$  convergent vers le même réel $l$, alors $\Un$ converge vers $l$. 
\end{theoreme}

 \noi \textbf{ Justification: } 
	Soit $I$  un intervalle ouvert contenant $l$. La suite $(W_n)$  converge vers $l$.

Il existe donc un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes $W_n \in I$. 

De même pour la suite $(V_n)$ il existe un rang $n_1$ à partir duquel tous les termes $V_n \in I$.

\noi On a donc pour $n$ tel que $N \geq max(n_0,n_1,p)$ tous les $V_n$ et tous les  termes $W_n$ sont dans l'intervalle $I$ , or 
pour tout $n \geq N \geq p$ on a $W_n \leq  U_n \leq V_n$ d'où à partir du rang $N$ tous les termes $U_n \in I$. 

D'après la définition de la convergence d'une suite on peut dire que $\Un$ converge vers $l$.


  \begin{theoreme} Limite d'une suite géométrique 

Soit $\Un$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme  1, pour tout $n \in N \; U_n=q^n$.

\begin{description}
 \item[$\bullet$]si $-1<q<1$ alors $\lim _{n\to +\infty }q^n=0$ ;
  \item[$\bullet$]si $q=1$ alors $\lim _{n\to +\infty }q^n=1$ ;
 \item[$\bullet$]si $q >1$ alors $\lim _{n\to +\infty }q^n=+\infty$ on dit alors que la suite diverge vers $+\infty$.
\end{description}

\end{theoreme}






\end{document}
