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    pdfauthor   = { Kbida Abdellatif  Lycée A. Varoquaux TOMBLAINE},
    pdftitle    = {BTS analyse biologique },
    pdfkeywords = {etude fonction exponentielle }
       }
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\def\noi{\noindent}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{ STS AB1}
\chead{\begin{large}Correction devoir surveillé  N° 1\end{large}}
\rhead{ 20/10/2006}
\lfoot{\begin{small}typeset by \LaTeX\end{small}}
\cfoot{}
\rfoot{}


\begin{exercice}
Un médicament est injecté par voie intramusculaire. Il passe du muscle au sang, puis est éliminé
par les reins.

On désigne par $f(t)$ la quantité de médicament (en millilitres) contenue dans le sang à l'instant
$t$ (en heures).

Un étude à permis de constater que, pour tout $t$ de $[0;+\infty[$, on a :
\[f(t)=q(e^{-0,5t}-e^{-t}) \] 

avec $q>0$ la quantité de médicament injecté à l'instant $t=0$.
\begin{enumerate}
\item Etude des variations de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout  $t$ de $[0;+\infty[$ on a :
\[
\begin{array}{l}
f'(t)=q(-0,5e^{-0,5t}+e^{-t})\\
f'(t)=q(-0,5e^{-0,5t}e^{-t}e^{t}+e^{-t})\\
f'(t)=qe^{-t}(1-0,5e^{-0,5t+t})\\
f'(t)=qe^{-t}(1-0,5e^{0,5t})
\end{array}
\].
\item Résoudre dans l'intervalle $[0;+\infty[$ l'inéquation $f'(t)\geq 0$.

\[
\begin{array}{ll}
&f'(t)\geq 0 \\
\Leftrightarrow&qe^{-t}(1-0,5e^{0,5t})\geq 0\\
\Leftrightarrow&(1-0,5e^{0,5t})\geq 0\\
\Leftrightarrow&1\geq0,5e^{0,5t}\\
\Leftrightarrow&2\geq e^{0,5t}\\
 \Leftrightarrow&\ln 2 \geq 0,5t \\
&2\ln2 \geq t
\end{array}
\].

On a donc $S=[0;2\ln2]$

\item La fonction dérivée $f'$ s'annule en changeant de signe (positive puis négative) en $2\ln2$, la fonction $f$ admet donc un
maximum en $t=2\ln2$ qui vaut $f(2\ln2)=\frac{q}{4}$.
\item On obtient le tableau de variations de $f$ :

\begin{MonTableau}{2}{7}{1}

	\TabNewCol{0}
	\rTabPut{B}{-0.5}{0.25}{$x$}
	\rTabPut{B}{-0.5}{0.25}{{$f'(x)$}}
	\rTabPut{B}{-0.5}{0.25}{{$f$}}

	
	
	\TabNewCol{.05}
	\rTabPut{Bl}{.1}{0.25}{$0$}
	\rTabPut{Bl}{.1}{0.25}{}
	\rTabPut{Bl}{.1}{0.10}{$0$}

	\TabNewCol{0.5}
	\rTabPut{B}{0}{0.25}{$2\ln 2$}
	\rTabPut{B}{0}{.4}{$0$}
	\rTabPut{B}{0}{.5}{$\frac{q}{4}$}

	\TabNewCol{0.95}
	\rTabPut{Br}{-.1}{0.25}{$+\infty$}
	\rTabPut{Br}{-.1}{0.25}{}
	\rTabPut{Br}{-.1}{0.10}{$0$}



	\TabFleche{B2}{C2}\TabFleche{C2}{D2}
	
	\rput(.23,.5){$+$}\rput(.825,.5){$-$}
	
	\end{MonTableau}

\item La limite de $f$ en $+\infty$ est $0$ car on a $\lim _{t\to =+\infty }e^{-0,5t}=0$ et $\lim _{t\to =+\infty }e^{-t}=0$.


\end{enumerate}
\item Contrôle des effets du médicament.

La quantité contenue dans le sang ne doit pas dépasser le seuil de toxicité $S_M=2,6$.

Le médicament est efficace si la  quantité contenue dans le sang est supérieure ou égale à $S_m=1,5$.
\begin{enumerate}
\item On sait que $f$ admet un maximum qui vaut $\frac{q}{4}$ d'où :
\[
\begin{array}{l}
f(t)\leq\frac{q}{4}<2,6\\
q<2,6\times 4\\
q<10,4
\end{array}\]
 On peut donc injecter une quantité $q$ pour $q \in [0;10,4[$.

\item La droite $\Delta$ passe par l'origine $O(0,0)$ et a pour coefficient directeur $f'(0)=5$ on a donc 
$\Delta\, :\, y=5x$.


\item L'intervalle de temps, pendant lequel le médicament est efficace, est d'après le graphique $[0,3;3,9]$..

\end{enumerate}


\end{enumerate}


\end{exercice}

\begin{landscape}
\pagestyle{empty}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(21,15)
\psset{unit=1}
\psgrid[griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,0)(21,15)
%\footnotesize
\psaxes[linewidth=.5pt,Dx=1,dx=2, dy=2,Dy=0.4]{->}(0,0)(0,0)(21,15)
\psplot[plotpoints=200]{0}{21}{2.718  x  -4 div exp 2.718  x -2 div exp sub 50 mul}

\psset{linewidth=1pt}


\psline{<->}(1.88,12.5)(3.68,12.5)
\psdot(2.78,12.5)
\psline(0,0)(1.2,15)
\rput[0](1.5,14.8){\psframebox*[fillcolor=white]{$\Delta$}}

\psset{linewidth=1pt,linestyle=dashed}
\psline(0,6)(21,6)
\psline(0,6)(21,6)
\rput[0](14,6.4){\psframebox*[fillcolor=white]{$S_m=1.2$ ml}}
\psline(0.6,0)(0.6,6)
\psline(0,13)(21,13)
\rput[0](14,13.4){\psframebox*[fillcolor=white]{$S_M=2.6$ ml}}
\psline(7.88,0)(7.88,6)

\rput[0](0.6,-0.7){{$x_1\approx 0.3$ h}}
\rput[0](7.88,-0.7){{$x_2\approx 3.9$ h}}

\rput[0](19,-0.7){Temps en heure}

\rput[0](10,15){\psframebox*[fillcolor=white]{\begin{large}Quantité de médicament contenue dans le sang en fonction du temps\end{large}}}

\pstextpath
{\psline[linestyle=none](-1,12)(-1,16)}{Quantité en ml}



\end{pspicture}


\end{center}
\end{figure}
\end{landscape}

\end{document}

 