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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{BTS AB}
\chead{\begin{large}TOD (time of death).\end{large}}
\rhead{ 2006/2007}
\lfoot{\begin{small}typeset by \LaTeX\end{small}}
\cfoot{}
\rfoot{}


Vendredi matin un peu avant 9h00, vous vous rendez au  bureau 
de votre professeur de math�atiques pour lui poser des questions concernant votre DM.

Apr� avoir frapp��sa porte sans r�onse vous vous d�idez �la pousser. 
C'est l�que vous d�ouvrez son corps gisant par terre dans la poussi�e de craie.

Rapidement vous prevenez la police et leurs experts rel�ent imm�iatement diff�ents indices dont  :

\begin{description}
\item[$\bullet$] la temp�ature du corps �9h00 est de 26.6 C ;
\item[$\bullet$] la temp�ature du corps �10h00 est de 25.5 C ;
\item[$\bullet$] la temp�ature de la pi�e est de 21.1 C.
 \end{description}




Vous vous rendez vite compte que pour la police vous �es le principal
suspect, vous avez besoin d'un solide alibi. La veille au soir vous avez �udi�jusqu'�minuit mais vous ne savez pas si cela va suffire �vous disculper.

Vous devez absolument conna�re l'heure du d��.

La variation de la diff�ence entre la temp�ature du corps et celle de la pi�e
est proportionnelle �cette diff�ence.


On d�igne par $\theta(t)$ la temp�ature du corps en C �l'instant $t$ en heures.

On obtient l'�uation diff�entielle 

$\frac{d\theta}{dt}=a(\theta-21.1)$  avec $a$ une constante �d�erminer.

On peut noter l'�uation diff�entielle ainsi :

\[(E)\,:\, \theta '-a\theta=-21.1a\]

\begin{enumerate}
\item R�olution de l'�uation diff�entielle.
\begin{enumerate}
\item D�erminer les solutions de l'�uation homog�e $(E_0)\,:\,\theta'-a\theta=0$.
\item D�erminer une solution particuli�e constante de $(E)$.
\item En d�uire les solutions de $(E)$.
\end{enumerate}
\item \`A l'aide des conditions initiales montrer que les r�ls $a$ et $k$ v�ifient le syst�e :

$\left\lbrace 
\begin{array}{l}
 k\mathrm{e}^{9a}=5.5\\ 
 k\mathrm{e}^{10a}=4.4\\ 
\end{array}\right.
$.

D�erminer les r�ls $a$ et $k$.
\item \'Etude d'une fonction.
Soit $f$ la fonction d�inie sur l'intervalle $[3.5;12]$ par
$f(t)=41\mathrm{e}^{-0.223t}+21.1$.
\begin{enumerate}
\item D�erminer $\lim_{t\rightarrow+\infty}f(t)$.
\item Dresser le tableau de varaition de $f$.
\item Dans rep�e orthogonal $\RE$ tracer $\mathscr{C}_f$ la courbe  repr�entative de $f$.
\item D�erminer graphiquement puis par le calcul une  valeur approch� �${10}^{-1}$ pr�  du r�l $t_1$ tel que $f(t_1)=37.2$.
\end{enumerate}
\item  \`A l'aide de ce qui pr��e d�eminer l'heure approximative du d��.

Votre alibi sera-t-il suffisant ?
\end{enumerate}

\newpage\begin{landscape}



\pagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{figure}[!h]
\begin{pspicture}(0,0)(21,15)
\psset{unit=1}
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\rput[0](14,-0.9){Temps en heure}
\pstextpath{\psline[linestyle=none](-1,8)(-1,12)}{Temp�ature en C}
\end{pspicture}
\end{figure}
\end{center}
        \end{landscape}

\newpage 
Suppose that you come into your professor's office to ask some 
questions shortly before 9:00 a.m. on Friday. 

You find him lying on 
the floor of his office in a pool of chalk dust, dead. You quickly 
call the police and their investigators take several measurements over 
the next hour, including:

  1) the body temperature at 9:00 a.m. - 80 degrees
  2) the body temperature at 10:00 a.m. - 78 degrees
  3) room temperature - 70 degrees (constant)

You quickly realize that the police believe you to be a prime suspect, 
so you need an alibi. You know that you were studying until midnight, 
but you aren't sure if that is enough information. You need to know 
the time of death!
 
Determine the time of death by creating an exponential model. Use the 
following statement: the difference between body temperature and room 
temperature changes at a rate proportional to that difference. How 
good is your alibi?

\end{document}