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\hypersetup{ 
    pdfauthor   = {Kbida Abdellatif Lycée A. Varoquaux TOMBLAINE },
    pdftitle    = {Programmation linéaire en terminale STG },
    pdfkeywords = {tableur, programmation linéaire , STG }
       }

\everymath{\displaystyle}
\special{papersize=21cm,29.7cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bibliographystyle{unsrt}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\Ass}{\longmapsto}
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 \newcommand{\eu}{\textgreek{\euro} }


\def\noi{\noindent}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{$T^{erm}\;STG$ }
\rhead{ \textbf{2006$\slash$2007 }}
\chead{ \textbf{Programmation linéaire}}
\lfoot{typeset by \LaTeX}
\cfoot{}
\rfoot{}


Tiré de la banque d'exercices \url{http://eduscol.education.fr/D0056/exmathsSTG.htm}

\begin{exercice}
Un menuisier fabrique des armoires et des buffets.

Il dispose pour cela d'au maximum 40 heures par semaine et d'au
maximum 25 lots de planches par semaine.

Pour fabriquer une armoire, il faut 3 heures et 3 lots de planches, pour fabriquer un buffet il faut 5 heures et 2 lots
de planches.  Soit $x$ le nombre d'armoires fabriquées et $y$ celui de buffets fabriqués par semaine.

On admet que les nombres $x$ et $y$ doivent vérifier le système $(S)$ suivant, avec $x$ et $y$ entiers :


\[(S)
\left\lbrace 
\begin{array}{rcl}
3x+5y & \leqslant & 40 \\ 
3x+2y & \leqslant & 25 \\ 
x & \geqslant & 0 \\ 
y & \geqslant & 0
\end{array}\right. 
\]

\begin{enumerate}
\item 

 \begin{enumerate}
\item On a représenté sur le graphique en \textbf{annexe 1} les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D'}$
d'équations respectives : 

$y=-\frac{3}{5}x+8$ et $y=-\frac{3}{2}x+\frac{25}{2}$.

En transformant les deux premières inéquations du système, montrer que ces droites permettent la résolution
graphique du système $(S)$.

Résoudre alors graphiquement le système $(S)$. (On hachurera les zones du plan qui ne conviennent pas).
\item \`A l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes en une semaine :
\begin{description}
\item[$-$] le menuisier peut-il fabriquer 3 armoires et 6 buffets en ?
\item[$-$] Le menuisier fabrique 5 armoires ; combien peut-il fabriquer de buffets au maximum ?
 \end{description}
\end{enumerate}
\item Une armoire est vendue 200 euros, un buffet 280 euros. On suppose que toute la production
est vendue.
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ le chiffre d'affaires $R$ du menuisier.
\item Le menuisier utilise un tableur pour déterminer le couple $(x,y)$ qui lui fournira le chiffre d'affaires
maximum. On suppose que toute sa production sera vendue. On donne en \textbf{annexe 2} la feuille de calcul
du menuisier.
Par exemple, la cellule $E6$ donne le chiffre d'affaires correspondant à la vente de 2 armoires et 3 buffets.

Pour remplir son tableau, le menuisier a rentré les prix de  vente dans les cellules $B1$ et $F1$, puis
a rentré une formule dans la cellule $B4$ et a effectué un \og copier-glisser \fg dans les cellules du tableau.

Donner une formule possible rentrée par le menuisier en $B4$.

\item Dans le tableau, certaines cellules correspondent à des valeurs de $x$ et de $y$ que le menuisier ne peut
pas produire simultanément (par exemple il ne peut pas produire 8 armoires et 7 buffets).

Barrer les cellules correspondant aux valeurs de $x$ et de $y$ que le menuisier ne peut pas produire.

\item En déduire le chiffre d'affaires maximum possible et indiquer les valeurs de $x$ et de $y$ correspondantes.
\end{enumerate}
\item Le menuisier veut savoir s'il peut espérer un meilleur chiffre d'affaires avec un prix de 260 euros
pour l'armoire et 220 euros pour le buffet.

Peut-il modifier rapidement sa feuille de calcul pour obtenir la réponse ? Si oui, donner la ou les modifications.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\newpage


\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\textbf{Annexe 1}

\begin{pspicture}(-0.5,-1.2)(12.5,9)

\psset{xunit=0.5,yunit=0.5}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,griddots=0](0,0)(-1,-2)(24,17)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,dx=5,Dy=5,dy=5]{->}(0,0)(-1,-2)(24,17)
\psplot[plotpoints=50,linewidth=1pt]{-1}{17}{ -0.6  x mul 8 add }
\psplot[plotpoints=50,linewidth=1pt]{-1}{9.75}{ -1.5  x mul 12.5 add }
\uput{0.1}[45](9.8,-2){$ \mathscr{D}'$}
\uput{0.1}[45](17,-2){$ \mathscr{D}$}
%\psline{->}(0,0)(0,1)
%\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
%\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)

\end{pspicture}

Les droites $\mathscr{D} \mbox{ et } \mathscr{D}'.$
\end{center}

\end{figure}


\vspace{2cm}

\newcolumntype{A}{>{\columncolor[gray]{0.6}}X}

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\textbf{Annexe 2}
\vspace{0.5cm}

\begin{tabular}{| A c|c|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|}
\hline
 \rowcolor[gray]{0.6} &  A  & B & C & D & E & F & G & H & I &J&K\\ 
\hline
1&  Prix d'une armoire :  &200  & \multicolumn{3}{|c|}{Prix d'un buffet :} & 280  & &&&&\\ 
\hline
2&&&&&&&&&&&\\
\hline
3&$x\backslash y$ &\cellcolor[gray]{0.8}0&\cellcolor[gray]{0.8}1&\cellcolor[gray]{0.8}2&\cellcolor[gray]{0.8}3&\cellcolor[gray]{0.8}4&\cellcolor[gray]{0.8}5&\cellcolor[gray]{0.8}6&\cellcolor[gray]{0.8}7&\cellcolor[gray]{0.8}8&\\
\hline
4&\cellcolor[gray]{0.8}0&0&280&560&840&1120&1400&1680&1960&2240&\\
\hline
5&\cellcolor[gray]{0.8}1&200&480&760&1040&1320&1600&1880&2160&2440&\\
\hline
6&\cellcolor[gray]{0.8}2&400&680&960&1240&1520&1800&2080&2360&2640&\\
\hline
7&\cellcolor[gray]{0.8}3&600&880&1160&1440&1720&2000&2280&2560&2840&\\
\hline
8&\cellcolor[gray]{0.8}4&800&1080&1360&1640&1920&2200&2480&2760&3040&\\
\hline
9&\cellcolor[gray]{0.8}5&1000&1280&1560&1840&2120&2400&2680&2960&3240&\\
\hline
10&\cellcolor[gray]{0.8}6&1200&1480&1760&2040&2320&2600&2880&3160&3440&\\
\hline
11&\cellcolor[gray]{0.8}7&1400&1680&1960&2240&2520&2800&3080&3360&3640&\\
\hline
12&\cellcolor[gray]{0.8}8&1600&1880&2160&2440&2720&3000&3280&3560&3840&\\
\hline
\end{tabular}
\vspace{0.5cm}

Le nombre d'armoires fabriquées est $x$ et  le nombre de buffets fabriqués est $y$.
\end{center}
\end{figure}

\newpage
\chead{ \textbf{Proposition de corrigé}}
\lfoot{typeset by \LaTeX}
\cfoot{}
\rfoot{}

 \begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  On a  :

\begin{tabular}{ccccc}
$(S)
\left\lbrace 
\begin{array}{rcl}
3x+5y & \leqslant & 40 \\ 
3x+2y & \leqslant & 25 \\ 
x & \geqslant & 0 \\ 
y & \geqslant & 0
\end{array}\right. 
$
&$\Longleftrightarrow$&
 $
\left\lbrace 
\begin{array}{rcl}
5y & \leqslant & -3x+40 \\ 
2y & \leqslant & -3x+25 \\ 
x & \geqslant & 0 \\ 
y & \geqslant & 0
\end{array}\right. 
$
&$\Longleftrightarrow$&
$
\left\lbrace 
\begin{array}{rcl}
y & \leqslant & -\frac{3}{5}x+8 \\ 
y & \leqslant &\rule{0cm}{0.5cm} -\frac{3}{2}x+\frac{25}{2} \\ 
x & \geqslant & 0 \\ 
y & \geqslant & 0
\end{array}\right. 
$
\end{tabular}
\vspace{0.2cm}

Il faut donc hachurer les zones du plan au-dessus de $ \mathscr{D}$ mais aussi celle au-dessus de $ \mathscr{D}'$.

\begin{pspicture}(-0.5,-1.2)(12.5,9)

\psset{xunit=0.5,yunit=0.5}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,griddots=0](0,0)(-1,-2)(24,17)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,dx=5,Dy=5,dy=5]{->}(0,0)(-1,-2)(24,17)
\psplot[plotpoints=50,linewidth=1pt]{-1}{17}{ -0.6  x mul 8 add }
\psplot[plotpoints=50,linewidth=1pt]{-1}{9.75}{ -1.5  x mul 12.5 add }
\uput{0.1}[45](9.8,-2){$ \mathscr{D}'$}
\uput{0.1}[45](17,-2){$ \mathscr{D}$}
%\psline{->}(0,0)(0,1)
%\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
%\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\pspolygon[linestyle=none,style=hachured](-1,8.6)(5,5)(9.67,-2)(24,-2)(24,17)(-1,17)
\pspolygon[linestyle=none,style=hachured](-1,8.6)(0,8)(0,-2)(-1,-2)
\pspolygon[linestyle=none,style=hachured](0,0)(0,-2)(9.67,-2)(8.33,0)
\psdot(3,6)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,6)
\psline[linestyle=dashed](0,6)(3,6)

\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,5)
\psline[linestyle=dashed](0,5)(5,5)
\end{pspicture}
\item 
\begin{description}
\item[$-$] Oui le menuisier peut fabriquer 3 armoires et 6 buffets, car le point de coordonnées (3,6) est dans la zone non-hachurée.
\item[$-$] Si le menuisier fabrique 5 armoires, alors il peut fabriquer 5 buffets au maximum.
 \end{description}
\end{enumerate}


\item 
\begin{enumerate}
\item  Etant donné qu'une armoire est vendue 200 euros et qu'un buffet est vendu 280 euros, $x$ étant le nombre d'armoires vendues
et $y$ le nombre de buffets vendus on a :

\[R=200x+280y.\]
\item Il faut saisir une formule qui puisse après un \og copier-glisser \fg donner le chiffre d'affaires réalisé, on adapte au tableur la formule $R=200x+280y$ .

On remarque que :
\begin{description}
\item[$\bullet$]  les prix de  vente sont respectivement  dans les cellules $B1$ et $F1$, il s'agit de références absolues  on utilisera  $\$B\$1$ et $\$F\$1$ ;
\item[$\bullet$] le nombre d'armoires  est donné dans la colonne A de $A4$ à $A12$, il s'agit d'un référence semi-absolue en colonne
 (c'est-à-dire la colonne doit rester $A$ alors que la  ligne devra varier de 4 à 12) on utilisera $\$A4$
\item[$\bullet$] le nombre de buffets  est donné dans la ligne 3 de $B3$ à $J3$, il s'agit d'un référence semi-absolue en ligne
 (c'est-à-dire la ligne doit rester $3$ alors que la  colonne devra varier de $B$ à $J$) on utilisera $B\$3$.
 \end{description}
Dans la cellule $B4$ on peut donc saisir la formule $=\$B\$1*\$A4+\$F\$1*B\$3$ puis l'étendre au reste du tableau.
\newpage
\item A l'aide d'une lecture sur le graphique de la question 1 on peut déduire que si :
\begin{description}
\item[] $x=0$ alors $y$ est un entier inférieur ou égal à 8  ;
\item[] $x=1$ alors $y$ est un entier inférieur ou égal à 7  ;
\item[] $x=2$ alors $y$ est un entier inférieur ou égal à 6 ;
\item[] $x=3$ alors $y$ est un entier inférieur ou égal à  6  ;
\item[] $x=4$ alors $y$ est un entier inférieur ou égal à  5  ;
\item[] $x=5$ alors $y$ est un entier inférieur ou égal à  5  ;
\item[] $x=6$ alors $y$ est un entier inférieur ou égal à 3  ;
\item[] $x=7$ alors $y$ est un entier inférieur ou égal 2 ;
\item[] $x=8$ alors $y$ est un entier égal à 0.
 \end{description}

On obtient donc :
\vspace{0.2cm}

\begin{tabular}{| A c|c|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|}
\hline
 \rowcolor[gray]{0.6} &  A  & B & C & D & E & F & G & H & I &J\\ 
\hline
1&  Prix d'une armoire :  &200  & \multicolumn{3}{|c|}{Prix d'un buffet :} & 280  & &&&\\ 
\hline
2&&&&&&&&&&\\
\hline
3&$x\backslash y$ &\cellcolor[gray]{0.8}0&\cellcolor[gray]{0.8}1&\cellcolor[gray]{0.8}2&\cellcolor[gray]{0.8}3&\cellcolor[gray]{0.8}4&\cellcolor[gray]{0.8}5&\cellcolor[gray]{0.8}6&\cellcolor[gray]{0.8}7&\cellcolor[gray]{0.8}8\\
\hline
4&\cellcolor[gray]{0.8}0&0&280&560&840&1120&1400&1680&1960&2240\\
\hline
5&\cellcolor[gray]{0.8}1&200&480&760&1040&1320&1600&1880&2160&\sout{2440}\\
\hline
6&\cellcolor[gray]{0.8}2&400&680&960&1240&1520&1800&2080&\sout{2360}&\sout{2640}\\
\hline
7&\cellcolor[gray]{0.8}3&600&880&1160&1440&1720&2000&2280&\sout{2560}&\sout{2840}\\
\hline
8&\cellcolor[gray]{0.8}4&800&1080&1360&1640&1920&2200&\sout{2480}&\sout{2760}&\sout{3040}\\
\hline
9&\cellcolor[gray]{0.8}5&1000&1280&1560&1840&2120&2400&\sout{2680}&\sout{2960}&\sout{3240}\\
\hline
10&\cellcolor[gray]{0.8}6&1200&1480&1760&2040&\sout{2320}&\sout{2600}&\sout{2880}&\sout{3160}&\sout{3440}\\
\hline
11&\cellcolor[gray]{0.8}7&1400&1680&1960&\sout{2240}&\sout{2520}&\sout{2800}&\sout{3080}&\sout{3360}&\sout{3640}\\
\hline
12&\cellcolor[gray]{0.8}8&1600&\sout{1880}&\sout{2160}&\sout{2440}&\sout{2720}&\sout{3000}&\sout{3280}&\sout{3560}&\sout{3840}\\
\hline
\end{tabular}

\vspace{0.2cm}
Avec un tableur, on aurait pu utiliser  l'instruction SI,  il aurait suffit de saisir la formule

=SI((3*\$A4+5*B\$3<=40)   ET   (3*\$A4+2*B\$3<=25);\$B\$1*\$A4+\$F\$1*B\$3;" " ) 
dans la cellule B4 puis de l'étendre au reste du tableau.
\item Le chiffre d'affaires maximum possible est de 2\,400 \eu, pour les valeurs  $x=5$ et $y=5$ 
\vspace{0.2cm}

\begin{tabular}{| A c|c|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|p{0.8cm}|}
\hline

13&Chiffre affaire max :& 2400&&&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}

Avec un tableur, on aurait pu utiliser  l'instruction MAX, il aurait suffit de saisir la formule

=MAX(B4:J12) dans la cellule B13.
\end{enumerate}
\item Oui il le peut, il lui suffit de modifier les valeurs des cellules $B1$ et $F1$. En effet les formules utilisant les
prix d'une armoire et d'un buffet utilisent les références absolues.
\end{enumerate}
\end{document}

