\documentclass[a4paper]{article}
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Vect}{\overrightarrow}
\newcommand{\RE}{(O ;\Vect{\imath},\Vec{\jmath})}
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\def\noi{\noindent}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
 




\pagestyle{fancy}
\lhead{MATGRD8}
\rhead{Session 2008}
\cfoot{}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}

\begin{center} \begin{huge}\textbf{BREVET  DE TECHNICIEN SUP\'ERIEUR }
\vspace{1cm}

\textbf{SOUS \'EPREUVE : MATH\'EMATIQUES}
\vspace{1.5cm}

\textbf{GROUPEMENT D}
\vspace{1cm}
\end{huge}




\begin{Large}
\textbf{Durée : 2 heures}
\vspace{0.7cm}

\end{Large}

\begin{tabular}{|p{12cm}|c|}
\hline
  \centering{Spécialité}  & Coefficient \\ 
\hline 
\vrule height 18pt depth 5pt width 0pt Analyses Biologiques & 1\\
\hline
\vrule height 18pt depth 5pt width 0pt Bioanalyses et contrôles & 2\\
\hline
\vrule height 18pt depth 5pt width 0pt Biotechnologie & 1,5\\
\hline
\vrule height 18pt depth 5pt width 0pt Hygiène Propreté Environnement & 2\\
\hline
\vrule height 18pt depth 5pt width 0pt Métiers de l'eau & 1,5\\
\hline
\vrule height 18pt depth 5pt width 0pt Peintures, encre et adhésifs & 2\\
\hline
\vrule height 18pt depth 5pt width 0pt Industries Plastiques à Référentiel Commun & 1,5\\
\hline
\vrule height 18pt depth 5pt width 0pt Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries & 2\\
\hline
\end{tabular}
\vspace{0,5cm}








 \end{center}





\vspace{0.5cm}
\textbf{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans 
l'appréciation des copies.}

\noindent \textbf{L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.}

\noindent \textbf{La calculatrice (conforme à la circulaire n\degre 99-186 du 16-11-99) est autorisée.}

\begin{flushright}
\textbf{Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages (y compris celle-ci)}
\end{flushright}


\newpage
\lhead{}
\chead{\begin{large}BTS  MATHÉMATIQUES\end{large}}
\lfoot{MATGRD8}


\noindent{ \large {\textbf{Exercice 1} [10 points] 

\vspace{0.2 cm}
\textit{Dans cet exercice on s'intéresse à l'évolution de la température d'une tasse de thé.}

Les deux parties A et B  de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

\noindent  \textbf{A.} \textit{Résolution d'une équation différentielle}\medskip

\vspace{0.2 cm}

\noindent On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'+0,05y=1,05$

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $[0,+\infty[$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$.
\vspace{0.2 cm}



\begin{enumerate}
 \item Déterminer les solutions sur $[0,+\infty[$ de l'équation différentielle $(E_0)$ :
 \[ y'+0,05y=0.\]
\item Soit $h$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $h(t)=a$, où $a$ est un nombre réel.
Déterminer le nombre réel $a$ pour que la fonction $h$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui prend la valeur $100$ pour $t=0$.
\end{enumerate}


\noindent  \textbf{B} \textit{Étude d'une fonction et calcul intégral}\medskip


Soit $f$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $f(t)=79\mathrm{e}^{-0,05t}+21$.

On désigne  par $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère $(O ;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})$.

\textbf{La courbe $\mathscr{C}$ est donnée annexe, à rendre avec la copie.}

\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Déterminer $\lim_{t\rightarrow +\infty} f(t)$.
	\item En déduire  du a) que la courbe $\mathscr{C}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation.

Tracer la droite $\Delta$ sur la figure de l'annexe.



       \end{enumerate}
\item Résoudre par le calcul dans $[0,+\infty[$ l'équation $f(t)=21,1$.

Donner la valeur exacte de la solution, puis une valeur approchée arrondie à ${10}^{-1}$.
\item \begin{enumerate}
       \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	
 Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ de $[0,+\infty[$.
\item Établir le tableau de variation de $f$.
      \end{enumerate}
\item Démontrer que la valeur moyenne $V_m$ de la fonction $f$ sur $[0,120]$ est :
 \[V_m=21+\frac{79}{6}(1-\mathrm{e}^{-6}).\]

\end{enumerate}

\noindent  \textbf{C.} \textit{Exploitation des résultats des parties A et B} \medskip

Du thé est mis à infuser dans une tasse placée dans une pièce où la température ambiante, supposée constante, est de 21\degre C.

Dans  ce qui suit, $t$ est le temps exprimé en minutes.

On admet que la température du thé exprimé en degré Celsius est $f(t)$, où $f$ est la fonction définie au début de la partie B.
\vspace{0.2 cm}
\begin{enumerate}
 \item En utilisant le résultat de la question B. 2\degre, donner, à la minute près, l'instant au-delà duquel la température du thé
est inférieure à 21,1\degre C.
\item Déterminer graphiquement, à la minute près, l'instant où la température du thé est de 60\degre C.

On fera apparaître les constructions utiles sur la figure.
\end{enumerate}




\newpage




\noindent{ \large {\textbf{Exercice 2} [10 points] 

\vspace{0.2 cm}
\textbf{les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
\vspace{0.2 cm}

\textit{Un industriel de l'agroalimentaire conditionne du ketchup dans des bouteilles en verre.}
\vspace{0.2 cm}

\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à  ${10}^{-2}$.}

\vspace{0.2 cm}
\noindent  \textbf{A.} \textit{Loi normale}\medskip

\vspace{0.2 cm}

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée associe la masse de sauce, exprimée en grammes, contenue dans cette bouteille.

On suppose que la variable aléatoire $x$ suit la loi normale de moyenne 570 et d'écart type 4.

Une bouteille n'est commercialisée que si la masse de sauce qu'elle contient est comprise entre 560 grammes et 580 grammes.

\begin{enumerate}
 \item Calculer la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard dans la production de la journée soit commercialisée.
\item Calculer la probabilité que la masse de sauce soit supérieure ou égale à 565 grammes.
\end{enumerate}

\vspace{0.2 cm}
\noindent  \textbf{B.} \textit{Loi binomiale et approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson}\medskip

\begin{enumerate}
 \item Dans un stock important de bouteilles destinées aux livraisons en France, 10\% des bouteilles
contiennent une masse de sauce inférieure ou égale à 565 grammes.

Les bouteilles sont livrées en France par cartons de 16.

On prélève au hasard 16 bouteilles de ce stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler
ce prélèvement à un tirage avec remise de 16 bouteilles.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 16 bouteilles, associe le nombre de bouteilles de ce prélèvement qui contiennent une masse de sauce inférieure ou égale à 565 grammes.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item Calculer la probabilité qu'aucune bouteille de ce prélèvement ne contienne une masse de sauce inférieure ou égale à 565 grammes.
\item calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, une bouteille au plus, contienne une masse de sauce inférieure ou égale à 565 grammes.
\end{enumerate}
\item  Les bouteilles destinées à l'exportation sont conditionnées par colis de 100.

On prélève au hasard 100 bouteilles pour vérification dans le stock destiné à l'exportation. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 bouteilles.

On considère la variable aléatoire $Z$ qui, à tout prélèvement de 100 bouteilles, associe le nombre de bouteilles de ce prélèvement
 qui contiennent une masse de sauce inférieure ou égale à 565 grammes.

On admet que la variable aléatoire $Z$ suit une loi binomiale de paramètres 100 et 0,1.
\begin{enumerate}
 \item On considère que la loi $z$ peut être approchée par une loi de Poisson.

Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson.

\item On désigne par $Z_1$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre  $\lambda$, où $\lambda$ est la valeur obtenue en a).

Calculer $P(Z_1\leq 5)$.
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\vspace{0.2 cm}
\noindent  \textbf{C.} \textit{Intervalle de confiance}\medskip

 Dans cette partie, on s'intéresse à la masse de sucre, exprimée en grammes, contenue dans chaque bouteille.

On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 25 bouteilles dans un lot important.

Soit $\overline{S}$  la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 25 bouteilles prélevées au hasard et avec remise dans ce lot, associe la moyenne des masses de sucre contenue dans les bouteilles de cet échantillon.

On suppose que $\overline{S}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\frac{\sigma}{\sqrt{25}}$ avec $\sigma=7$.

Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue, arrondie à $10^{-1}$, est $\overline{s}=137,7$.

Déterminer un intervalle de confiance centré sur $\overline{s}$ de moyenne $\mu$ des masses de sucre contenu dans chacune des bouteilles de ce lot, avec le coefficient de confiance 95 \%.

\newpage
\lhead{}
\chead{}
\rhead{}
\begin{center}
\begin{large}ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE\end{large}\vspace{2.5 cm}

\begin{pspicture}(0,-0.5)(12,12)


\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,gridwidth=0.5pt,griddots=10](0,0)(0,0)(12,12)

{\small \psaxes[linewidth=0.6pt,Dx=10,dx=1,Dy=10,dy=1]{->}(0,0)(12,12)}

%\psdots(0,10.25)(1,9.21)(2,8.22)(3,7.22)(4,6.18)(5,5.28)(6,3.89)

\psplot[plotpoints=200]{0}{12}{2.71828 x -0.5 mul exp 79 mul 21 add 10 div }



\uput{0.1}[45](3,4){$\mathscr{C}$}
\uput{0.1}[0](12,-0.2){$t$}
\uput{0.1}[180](-0.2,12){$y$}
\end{pspicture}\end{center}

\end{document}
