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\begin{document}
 


\pagestyle{fancy}
\lhead{722}
\chead{\begin{large}Interrogation N°1\end{large}}
\rhead{pour le 17/09/08}
\lfoot{\begin{small}\LaTeX\end{small}}
\cfoot{}
\begin{exercice}
 Soit la fonction $f$ définie sur $\GR$ par~: $f(x)=e^{-x}(\cos x+\sin x).$
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Exprimer $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ en fonction de $\sin x$ et $\cos x$.\par
En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a~: $f(x)=\sqrt{2}e^{-x}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$.
	\item Résoudre dans $\GR$ l'équation $f(x)=0$.
	\item Justifier que la limite de $f$ en $+\infty$ est $0$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\GR$.
	\begin{enumerate}
	\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=-2e^{-x}\sin x$.
	\item Résoudre dans $\GR$ l'équation $f'(x)=0$.
	\end{enumerate}
\item 
 \'Etudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $I$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur$\Intff{-\dfrac{\pi}{4}}{\dfrac{7\pi}{4}}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}




\begin{exercice}
 \imp{Datation par le carbone 14}\par
L'atmosphère terrestre contient de l'azote qui est transformé sous l'effet du rayonnement cosmique, en carbone 14, radioactif
noté $^{14} \textrm{C}$. Les êtres vivants contiennent donc du $^{14}\textrm{C}$ qui est renouvelé constamment. 
\`A leur mort, il n'y a plus d'emprunt de $^{14}\textrm{C}$ à l'extérieur et le carbone $^{14}\textrm{C}$ qu'ils contiennent se désintègre.
Le temps écoulé depuis la mort d'un être vivant peut donc être évalué en mesurant la proportion de $^{14}\textrm{C}$ qui lui reste.\par
Soit $N(t)$ le nombre d'atomes de $^{14}\textrm{C}$ existant à l'instant $t$, exprimé en années, dans un échantillon de matière organique~:

on montre que $N'(t)=-0,000 1238 N(t)$.
La vitesse de désintégration est donc proportionnelle au nombre d'atomes présents.
\begin{enumerate}
\item En appelant $N_0$ le nombre d'atomes de $^{14}\textrm{C}$ initial, déterminer $N(t)$ en fonction de $t$.
\item Quel est le pourcentage d'atomes de carbone perdus au bout de $20\ 000$ans~?
\item On appelle période (ou demi-vie) du carbone $^{14}\textrm{C}$, le temps au bout duquel la moitié des atomes se sont désintégrés.\par
Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, la période du $^{14}\textrm{C}$.
\item On analyse des fragments d'os trouvés dans une grotte. On constate  qu'ils sont perdu $30\%$ de leur teneur en carbone. Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, l'âge du fragment d'os.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\end{document}
