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    pdfauthor   = {KBIDA,  Lyc\'ee A. Varoquaux TOMBLAINE },
    pdftitle    = {Ds Terminale S},
    pdfkeywords = {Fonction Exponentielle, \'etude de fonction, ROC}
       }

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\def\noi{\noindent}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE VERTE : Intervention obligatoire
%%% ADAPTER SUIVANT LA NATURE DE L'EPREUVE
\def\Exam{DEVOIR SURVEILLÉ N°1}
\def\Serie{S}
\def\Session{Année  2008/2009}
\def\Discipline{MATH\'EMATIQUES}
\def\Option{ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE}
\def\Duree{Dur\'ee de l'épreuve : 2 heures}
\def\Coef{Coefficient : 5}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\pagestyle{fancy}




\lhead{722}
\chead{\begin{large}DEVOIR SURVEILLÉ N°1\end{large}}
\rhead{04/10/2008}
\cfoot{\textbf{Cet énoncé est à rendre avec la copie.}}
\lfoot{\LaTeX}

Durée 2 heures.\hspace{3cm} L'usage de la calculatrice est autorisé.

\vspace{0.5cm}

\noindent \textbf{\begin{Large}\textsc{Exercice 1}                \end{Large} \hspace{1.5 cm } 13 points}
\vspace{0.2cm}

On considère  les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :
\[f(x)=\frac{1}{2}x^2-x+x\mathrm{e}^{-x} \quad \mbox{et} \quad g(x)=\frac{1}{2}x^2-x.\]

On désigne par $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ les courbes repr\'esentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un rep\`ere orthonormal $\RE$ (unités graphiques : 2~cm).

\noindent \textbf{Partie A}\vspace{0.2cm}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
 \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$

\item Montrer que pour tout  réel $x$,  $f(x)=x\mathrm{e}^{-x}\left( \frac{1}{2}x\mathrm{e}^{x} -\mathrm{e}^{x} +1\right) $, 

en déduire la limite de $f$ en $-\infty$.
\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=f(x)-g(x)$. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la limite de $h$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat pour les courbes  $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$.
\item Étudier le signe de $h(x)$ pour tout $x\in \R$, en déduire les positions relatives de $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Partie B}\vspace{0.2cm}

\begin{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}
 \item Après avoir justifié la dérivabilité de la fonction $f$, déterminer $f'(x)$.
\item Montrer que pour tout réel $x$,  $f'(x)=(x-1)(1-\mathrm{e}^{-x})$. 

Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x\in \R$.
\item Dresser le tableau de variation complet de $f$.
\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation complet de $g$.
\item Tracer les courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ dans le repère orthonormal $\RE$ (unités graphiques : 2~cm).
   

\end{enumerate}


\vspace{0.5 cm}

\noindent \textbf{\begin{Large}\textsc{Exercice 2}  \end{Large} \hspace{1.5 cm } 7 points}
\vspace{0.2cm}

Le but de cet exercice est  de d\'emontrer l'existence d'une unique fonction $f$ d\'erivable sur $\R$ v\'erifiant la condition :
\[	(\text{C})\quad \left\{\begin{array}{ l l}
 f(- x)f'(x)~=~1& ~\text{ pour tout nombre r\'eel}~ x,\\
 f(0)~=~-4& \\
 \end{array}\right.\]
(o\`u $f'$ d\'esigne la fonction d\'eriv\'ee de la fonction $f$) et de déterminer cette fonction.
 


\begin{enumerate}
 \item On suppose qu'il existe une fonction $f$ satisfaisant la condition (C) et
 on consid\`ere alors la fonction $g$ d\'efinie sur $\R$ par $g(x)= f(- x)f(x)$.


	\begin{enumerate}
		\item D\'emontrer que la fonction $f$ ne s'annule pas sur $\R$. 
		\item Déterminer $g'$ la fonction d\'eriv\'ee de la fonction $g$.  En déduire que $g$ est constante.

		\item Montrer que pour tout nombre réel $x$,  $f(-x)f(x)=16$.	

		\item Soit l'\'equation diff\'erentielle (E) $y' = \dfrac{1}{16}y$. Montrer que la fonction $f$ est 
une solution de cette \'equation et qu'elle v\'erifie $f(0) = - 4$.
	\end{enumerate}

  \item\textbf{Question de cours}

	\begin{enumerate}
		\item On sait que la fonction $x \longmapsto \text{e}^{\frac{x}{16}}$ est solution de l'\'equation diff\'erentielle (E). D\'emontrer alors que l'ensemble des solutions de l'\'equation (E) est l'ensemble des fonctions, d\'efinies sur $\R$, de la forme $x \longmapsto  K\text{e}^{\frac{x}{16}}$, o\`u $K$ est un nombre r\'eel quelconque.
		\item D\'emontrer qu'il existe une unique solution de l'\'equation diff\'erentielle (E) prenant la valeur $-4$ en 0.
	\end{enumerate}

 \item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes qu'il existe une seule fonction d\'erivable sur $\R$ satisfaisant la condition (C) et pr\'eciser quelle est cette fonction.
\end{enumerate}

\end{document}
