\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{tarassconf}
\usepackage{ucs}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{color}
\usepackage{colortbl}
\everymath{\displaystyle}
\usepackage{eurosym}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bibliographystyle{unsrt}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Vect}{\overrightarrow}
\newcommand{\RE}{(O ;\Vect{\imath},\Vec{\jmath})}
\newcolumntype{A}{>{\columncolor[gray]{0.75}}X}

 \newcommand{\eu}{\geneuro{} }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
 


\pagestyle{fancy}

\lhead{722}
\chead{\begin{large}Méthode d'Euler et fonction exponentielle\end{large}}
\rhead{2008/2009}
\lfoot{\begin{small} Typesetting with  \LaTeX\end{small}}
\cfoot{}





\newcolumntype{B}{>{\columncolor[gray]{0.2}}X}


\section{Approximation Affine}


Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $a\in I$. La fonction $f$ peut être approchée par une fonction affine au voisinage de $a$. 

Il existe une fonction $\varepsilon$ définie au voisinage de 0 telle que pour tout $h$ tel que $a+h \in I$ on a :
\[ f(a+h)= f'(a)\times h +f(a)+h\times \varepsilon(h) \mbox{ avec }  \lim _{h\to 0 } \varepsilon(h)=0. \]



Graphiquement  le point d'abscisse $a+h$ de la courbe $\C$  est \og proche \fg du point d'abscisse $a+h$ de la tangente $T$.
C'est-à-dire pour $h$ assez \og petit \fg $f(a+h)\approx f'(a)\times h +f(a)$.
La distance les séparant est $\vert h\varepsilon (h) \vert$


\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-3.2,-1)(8,6)
\psaxes[linewidth=.6pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-.5)(7.5,5.5)
\psplot[plotpoints=200]{-.5}{7}{x x mul 12 div 1.25 add} % f:y=x^2/12+1.25
\rput(7.2,5.5){$\C$}
\psplot{-.5}{7.7}{x 2 div .5 add} % T : y=.5x+.5
\rput(7.7,4.5){$T$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(3,0)(3,2)(0,2)
\rput(3,-.2){$a$}

\psline[linestyle=dashed](6,0)(6,4.25)
\psline[linestyle=dashed]{->}(6,4.25)(0,4.25)
\psline[linestyle=dashed]{->}(6,0)(6,3.5)(0,3.5)
\psdots[dotstyle=o](6,4.25)(6,3.5)(3,2)(3,0)(6,0)
\uput{0.1}[135](6,4.25){$M$}
\uput{0.1}[135](3,2){$A$}
\uput{0.1}[135](-0.1,5.5){$y$}
\uput{0.1}[135](8,-0.2){$x$}
\rput(6,-.2){$a+h$}
\rput(-1.2,3.5){$f'(a)\times h +f(a)$}
\rput(-0.75,4.25){$f(a+h)$}
\rput(-0.5,2){$f(a)$}
\psline{<->}(3,-0.4)(6,-0.4)
\rput(4.5,-0.4){\psframebox*[fillcolor=white]{$h$}}
\psline(6,3.5)(6.7,3.5)
\psline(6,4.25)(6.7,4.25)
\psline{<->}(6.5,3.5)(6.5,4.25)
\rput(7.1,3.9){\psframebox*[fillcolor=white]{$\vert h\varepsilon (h) \vert$}}
\end{pspicture}








\begin{enumerate}

\item \begin{enumerate}
       \item Montrer que pour $h$ \og petit \fg tel que $1+h \geq 0$, $\sqrt{1+h}\approx 1+\frac{1}{2}h$.
	\item En déduire une valeur approchée de $\sqrt{1,1}$ et $\sqrt{1,5}$.
      \end{enumerate}
\item Montrer que pour $h$ \og petit \fg tel que $1+h \neq 0$, $\frac{1}{1+h}\approx 1-h$.
  \end{enumerate}


\section{Méthode d'Euler}


\subsection{Principe de la méthode :} 


Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $\C$ sa courbe représentative dans un repère.
Cette fonction n'est pas connue mais on suppose que sa dérivée l'est. 

À partir d'un point $M(x_0,y_0)$ connu de $\C$, on peut, en utilisant des approximations affines successives,  tracer une ligne polygonale proche de la courbe $\C$.



\subsection{Une équation différentielle :} 

On va utiliser la méthode d'Euler pour chercher à obtenir une représentation graphique approchée d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ telle que :

\[\left\lbrace 
 \begin{array}{l}
 f'=f\\
f(0)=1
\end{array}
\right. 
\]

Pour simplifier on va se contenter de travailler dans l'intervalle $I=[0;1]$. 

\begin{encadrer}
 On pose :
\begin{description}
 \item[$\bullet$]pour tout $n\in \N^*$, $h=\frac{1}{n}$, il s'agit du pas ;
 \item[$\bullet$] $x_0=0$, $x_1=x_0+h$, $\ldots$, $x_{n-1}=x_{n-2}+h$, $x_n=1$, il s'agit de la subdivision ;
\item[$\bullet$] $y_0=f(x_0)=1$ et $y_k$ l'approximation de $f(x_k)$ obtenue par la méthode d'Euler.
 \end{description}
\end{encadrer}



On a $x_1=x_0+h$ d'où $f(x_1)=f(x_0+h)\approx f'(x_0)\times h+f(x_0)$ or $f'(x0)=f(x0)=1$
alors $f(x_1)\approx h+1$ on obtient donc $y_1=1+h$ comme approximation de $f(x_1)$


\begin{enumerate}


 \item En utilisant  $f(x_1)\approx y_1$, déterminer $y_2$.
\item Pour tout $2\leq k<n$ exprimer  $y_{k+1}$ en fonction $y_k$ et   $x_{k+1}$ en fonction $x_k$. 
\item En déduire l'expression de $y_k$ uniquement en fonction de $k$ et de $h$.
\item Compléter : pour tout entier $k\leq n$ on a

$\left\lbrace 
 \begin{array}{l}
 x_k=\ldots\\
y_k=\ldots
\end{array}
\right. 
$
\end{enumerate}

\subsection{Mise en \oe uvre avec un tableur :} 

On souhaite à l'aide d'un tableur-grapheur calculer les réels $x_k$ et $y_k$ et représenter graphiquement la ligne polygonale formée des points $M(x_k,y_k)$.

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item 


 Pour commencer on fixe $n=5$, soit un pas de $h=\frac{1}{5}=0,2$.
Compléter la feuille de calcul ci-contre, préciser les formules que l'on peut saisir dans les cellules $B4$ et $C4$ pour calculer les $x_k$. et les $y_k$.
\item Représenter graphiquement les points $M_k$.
\item Faire des essais avec $n=10$, $n=25$ et $n=100$.
 \begin{tabular}{| A c|c|p{1cm}|p{1cm}|l|l|}
\hline
 \rowcolor[gray]{0.8} &  A  & B & C & D \\ 
\hline
1&$n=$&5&h=&\\
\hline
2& Rang $k$  & $x_k$  & $y_k$   & \\ 
\hline
3 & 0  & 0  & 1 & \\ 
\hline
4 & 1  &   &  &\\ 
\hline
5 & 2  &   &  &\\ 
\hline
6 & 3  &   &  &\\ 
\hline
7 & 4  &   &  &\\ 
\hline
8 & 5  &   &  &\\ 
\hline
\end{tabular}

\end{enumerate}
\end{multicols}

 \subsection{Mise en \oe uvre avec GeoGebra :}            


À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on peut aussi représenter graphiquement la ligne polygonale formée des points $M(x_k,y_k)$.


\begin{enumerate}
 \item Créer un curseur $n$ variant de $0$ à $20$ avec un incrément de 1, puis le réel $h=\frac{1}{n}$.
\item Étant donné le caractère récursif de la méthode d'Euler, on va créer une macro qui,  à chaque demande, va répéter la procédure.

\begin{enumerate}
 \item Placer le point $A$  de coordonnées $(0,1)$.
\item Dans la barre de saisie, créer le point M\_1=(x(A)+h,y(A)*(1+h)).
\item Création de la macro, 
\begin{description}
 \item[$\bullet$] aller dans le menu \textit{Outils>Créer un nouvel outil} ;
 \item[$\bullet$] Objets finaux, sélectionner le point $M_1$ ;
 \item[$\bullet$] Objets initiaux, Nombre n et A.
 \end{description}

Nommer et enregistrer la macro, pour l'utiliser  cliquer sur l'icône en haut à droite.

Il suffit alors de préciser comme nombre $h$ et comme point $M_1$ pour créer un nouveau point. 


\end{enumerate}

\item Utiliser la macro pour créer suffisament de points, relier les par des segments.

Faire varier $n$ et observer l'allure de la ligne polygonale.

\item À l'aide de GeoGebra, sur l'intervalle $[0;1]$ , tracer la représentation graphique de la fonction exponentielle notée $\exp$.
Observer et comparer la courbe tracée à la ligne polygonale obtenue par la méthode d'Euler.
\end{enumerate}






\end{document}
