

\documentclass[10pt,a4paper]{report}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\usepackage{preambule}
\newcommand{\RE}{(O ;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})}
%\usepackage[upright]{fourier}

\everymath{\displaystyle}
 \usepackage{lmodern}
\usepackage{array}
\usepackage{fp-snap}
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}




\pagestyle{fancy}

%\fancyhf{}
\fancyhead[LO]{}
\fancyhead[CO]{\leftmark} %RE pour Right Even
\fancyhead[RO]{}

\setcounter{NumLecon}{9}
\setcounter{chapter}{9}

\chapter{Suites adjacentes}








 Dire que deux suites sont adjacentes revient à dire qu'elles
sont respectivement la suite des extrémités gauches et la  suite
des extrémités droites d'une suite de segments emboîtés dont la
suite des longueurs tend vers 0.

Ce que l'on formalise ainsi :

 \begin{Defi}
Dire de deux suites $(a_n)_{n\in\bbn}$ et
$(b_n)_{n\in\bbn}$ qu'elles sont \textbf{adjacentes} signifie que :
\begin{description}
 \item[$\bullet$]$(a_n)_{n\in\bbn}$ est croissante,
 \item[$\bullet$] $(b_n)_{n\in\bbn}$ est décroissante,
 \item[$\bullet$]$\ds\lim_{n\to+\infty}\bigl(b_n-a_n\bigr)=0$. 

 \end{description}  
 \end{Defi}










\vspace{0.2 cm}
%\des{limfonc.71}{1.5}

\begin{center}
\includegraphics{courbes_mp/limfonc.71}\end{center}
% limfonc.71: 7864429x7143536 pixel, 0dpi, infxinf cm, bb=





\textbf{Exemple } montrer que les suites $u$ et $v$ définies sur $\N^*$ par 
$u_n=1-\frac{1}{n} \mbox{ et } v_n=1+\frac{1}{n^2}$ sont adjacentes.







\begin{The}
Deux suites adjacentes
convergent vers une même limite.
\end{The}


\Demo{}
soit $u$ et $v$ deux suites adjacentes telles que  $u$ soit croissante, $v$ décroissante, et $\ds\lim_{n\to+\infty}\bigl(v_n-u_n\bigr)=0$. 


\begin{enumerate}
\item Soit $w$ la suite définie pour tout entier $n$ par $w_n=v_n-u_n$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que la suite $w$ est décroissante.
\item Montrer par l'absurde que pour tout entier $n$ que $w_n\geqslant0$.
\item En déduire que  pour tout entier $n$, $u_n\leqslant v_n$
\end{enumerate}
\item Montrer que la suite $u$ est une suite croissante majorée et que la suite $v$ est une suite décroissante minorée.
\item En déduire que la suite $u$ converge vers un réel $L$ et que la suite $u$ converge vers un réel $L'$
\item Montrer que $L=L'$.
\end{enumerate}
\vspace{0.5 cm}
\hspace{0.5 cm} Certaines propriétés donnent l'existence d'une limite mais sans l'expliciter pour y remédier on a le résultat suivant :

\begin{Pro}
 Si une suite $(u_n)$ converge vers un réel $L$ et si la fonction $f$ est continue en $L$ alors la $\left( f(u_n)\right)$ converge vers $f(L)$.


\end{Pro}

Dans le cas des suites récurrentes de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ une fonction continue et $u$ une suite convergente,
comme  les suites $(u_{n+1})$ et $(u_n)$ ont la même limite, $L$ est donc \textbf{une des solutions} de l'équation  $x=f(x)$.



\end{document}