

\documentclass[10pt,a4paper]{report}
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\begin{document}
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\pagestyle{fancy}

%\fancyhf{}
\fancyhead[LO]{}
\fancyhead[CO]{\leftmark} %RE pour Right Even
\fancyhead[RO]{}

\setcounter{NumLecon}{11}
\setcounter{chapter}{11}
\chapter{Droites et plans de l'espace}

L'espace $\mathscr{E}$ est muni d'un repère  $\oijk$.




\section{Droites de l'espace}


 Une droite de l'espace peut être définie :
\begin{multicols}{2}
\begin{description}
 \item[$\bullet$] soit par deux points distincts ;
 \item[$\bullet$] soit par un point $A$  et un vecteur non-nul $\overrightarrow{u}$.
 \end{description}


\end{multicols}



\subsection{Représentation paramétrique}
\begin{Defi}
\begin{multicols}{2}
Soit $A(x_A,y_A,z_A)$ un point et $\overrightarrow{u}(a,b,c)$ un vecteur non nul.
La droite $\mathscr{D}$ passant par $A$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace
tels qu'il existe un réel $\lambda$  tel que $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{u}$.

%\vspace{1cm}

\begin{pspicture}(-4,-1.5)(2,1.5)


\psline(-2,-1.5)(2,1.5)
\psline[linewidth=1.2pt]{|->}(-1,-0.75)(0,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{|->}(-2,0)(0,1.5)
%\psdots(-1,-0.75)(0,0)
\uput{0.1}[135](-1,-0.75){$A$}
\uput{0.1}[135](0,0){$M$}
\uput{0.1}[135](-1,0.75){$\overrightarrow{u}$}
\uput[-45](-0.5,-0.35){$\lambda \overrightarrow{u}$}
\uput{0.1}[-45](2,1.5){$\mathscr{D}$}

\end{pspicture}\end{multicols}
\end{Defi}


Conséquence immédiate :  la droite  $\mathscr{D}$ peut être représentée par un système paramétrique.

\begin{Pro}
 Un point $M(x,y,z)$ appartient à la droite  $\mathscr{D}$ passant par $A$ et de vecteur directeur  $\overrightarrow{u}$ si, et seulement si, il existe un réel $t$ tel que 

\begin{center}
$\left\lbrace 
\begin{array}{lll}
x & = & x_A+at \\ 
y & = & y_A+bt \\ 
z & = & z_A+ct
\end{array}\right. 
$\end{center}

Ce système s'appelle \textbf{représentation paramétrique} de la droite $\mathscr{D}$. Le paramètre est $t$.
\end{Pro}




\subsection{Caractérisation barycentrique}


\begin{Pro}
 Soit $A$ et $B$ deux points distincts de l'espace.

La droite $(AB)$ est l'ensemble de tous les barycentres du système $\{(A,\alpha) \pv (B, \beta)\}$ avec $\alpha$ et  $\beta$ deux réels tels que $ \alpha + \beta \neq 0$.

\end{Pro}

C'est-à-dire  un point $M\in (AB)$ si, et seulement si, il existe un couple de réels avec $ \alpha + \beta \neq 0$ tel que $M$ soit  le barycentre de  $(A,\alpha)$ et $(B, \beta)$.

\Demo{}

Soit $M$ un point de $(AB)$, il existe alors un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}$.

On a $\overrightarrow{AM}=\lambda(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB})$ d'où 
$(1-\lambda)\overrightarrow{AM}+\lambda\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$ de plus $(1-\lambda)+\lambda=1\neq 0$.

Le point $M$ est le barycentre des points  $(A,1-\lambda)$ et $(B, \lambda)$.


\textbf{Réciproquement} soit $M$ le barycentre des points  $(A,\alpha)$ et $(B, \beta)$ avec $ \alpha + \beta \neq 0$ 
on a $\alpha\overrightarrow{AM}+\beta\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$ soit $\overrightarrow{AM}=\frac{\beta}{\alpha + \beta}\overrightarrow{AB}$ donc $M \in (AB)$.

\section{Plans de l'espace}

Un plan de l'espace peut être défini :

\begin{multicols}{2}
 \begin{description}
 \item[$\bullet$] soit par trois points non alignés ;
 \item[$\bullet$] soit par un point  et deux vecteurs  non colinéaires ;
\item[$\bullet$] soit par un point  et un  vecteur normal.
 \end{description}
\end{multicols}




\subsection{Représentation paramétrique}

\begin{Pro}
 Soit $\mathscr{P}$ le plan passant  par $A(x_A,y_A,z_A)$  de vecteurs directeurs  $\overrightarrow{u}(a,b,c)$ et  $\overrightarrow{v}(a',b',c')$ deux vecteurs non colinéaires.

Un point $M$ appartient au plan $\mathscr{P}$ si, et seulement si, il existe $\lambda$ et $\mu$ tels que
$\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{u}+\mu\overrightarrow{v}$.

\end{Pro}


En passant au coordonnées on obtient une representation paramétrique du plan $\mathscr{P}$ :


Un point $M(x,y,z) \in \mathscr{P}$  $\Leftrightarrow$  il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que 
$\left\lbrace 
\begin{array}{lll}
x & = & x_A+\lambda a + \mu a'\\ 
y & = & y_A+\lambda b + \mu b'\\ 
z & = & z_A+\lambda c + \mu c'
\end{array}\right. 
$

\subsection{Rappel : Équation cartésienne d'un plan}

Un plan est entierement déterminer par la donnée d'un point et d'un vecteur normal.

\begin{Pro}
 Soit $\mathscr{P}$ le plan passant  par $A(x_A,y_A,z_A)$  de vecteur normal  $\overrightarrow{n}(a,b,c)$.

Un point $M$ appartient au plan $\mathscr{P}$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{n}$ c'est-à-dire  $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n}=0$.

\end{Pro}

En passant au coordonnées dans un repère orthonormé $\oij$ on obtient une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ :


Un point $M(x,y,z) \in \mathscr{P}$  $\Leftrightarrow$  il existe $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n}=0$  soit $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$



\subsection{Caractérisation barycentrique}
\begin{Pro}
Soit $A$, $B$ et $C$  trois points non alignés de l'espace.

Le plan $(ABC)$ est l'ensemble de tous les barycentres du système $\{(A,\alpha) \pv (B, \beta) \pv (C, \gamma)\}$ avec $\alpha$, $\beta$ et  $\gamma$ trois  réels tels que $ \alpha + \beta +\gamma \neq 0$.
\end{Pro}
C'est-à-dire  un point $M\in (ABC)$ si, et seulement si, il existe un triplet  de réels avec $ \alpha + \beta+\gamma  \neq 0$ tel que $M$ soit  le barycentre de  $(A,\alpha)$, $(B, \beta)$ et $(C, \gamma)$.
\end{document}