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\everymath{\displaystyle}

\title[] {Chap 13  : Primitives et calcul intégral}

\subtitle{}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Abdellatif Kbida }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute{Lycée A. Varoquaux}% (optional, but mostly needed)


\date[]{}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{}




\everymath{\displaystyle}

\begin{document}



\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}




\section{Chapitre 13 :  Primitives et calcul intégral}




\subsection{13.1 Notion de primitive}





\begin{frame}
  \frametitle{13.1 Notion de primitive}


\pause \begin{definition}
\pause Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

\pause On appelle primitive de $f$ sur $I$ une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout
$x$ de $I$, $F'(x)=f(x)$.
\end{definition}

\pause \begin{example}
\pause  Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-2x+3$.

\pause La fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+3x$ est \textbf{une} primitive de $f$.

\pause En effet $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$  et pour tout $x$, $F'(x)=f(x)$.
\end{example}





\end{frame}
\begin{frame}
  \frametitle{13.1 Notion de primitive}

\pause \begin{theoreme}[Admis]
  \pause      Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$, alors $f$ admet des primitives sur $I$.
       \end{theoreme}

\pause \begin{theoreme}
  \pause      Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$  et $F$ une primitive de $f$ sur $I$. 

\begin{description}
\pause \item[$\bullet$]Pour tout réel $k$, la fonction  $x\mapsto F(x)+k$ est aussi une primitive de $f$sur $I$.
\pause \item[$\bullet$]Si $G$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors il existe un réel $k$ tel que :
 \pause pour tout $x$ de $I$, $G(x)=F(x)+k$.

 \end{description}
 

 \end{theoreme}

\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{13.1 Notion de primitive}
 \textbf{Remarque :} \pause si $f$ admet une primitive sur $I$, alors elle admet une infinité de primitives. \pause On dit que deux primitives de $f$ sur $I$ différent d'une constante.

\pause \begin{theoreme}
      \pause   Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur $I$.

\pause Étant donné deux réels $x_0$ et $y_0$, avec $x_0$ appartenant à $I$, \pause il existe une unique primitive $G$ de $f$ sur $I$ telle que $G(x_0)=y_0$.
       \end{theoreme}

\end{frame} 
\subsection{13.2 Primitive de fonctions de référence}
\begin{frame}
  \frametitle{13.2 Primitive de fonctions de référence}

\pause $k$ désigne un réel quelconque.\vspace{0.2 cm}

\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
 \pause$f$ définie par & $F$ primitive de $f$ & $I$\\
\hline
\pause $f(x)=a$&$F(x)=ax+k$& $\bbr$\\
\hline
\pause $f(x)=x^n$ avec $n \in \mathbb{N}$&$F(x)=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+k$& $\bbr$\\
 \hline
\pause $f(x)=\frac{1}{x^n}$ avec $n \in \mathbb{N} \, n >1$ &$F(x)=-\frac{1}{(n-1)x^{n-1}}+k$& $\bbr^*$\\
 \hline
\pause $f(x)=\frac{1}{x}$  &$F(x)=\ln x+k$& $]0;+\infty[$\\
 \hline
\pause $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$&$F(x)=2\sqrt{x}+k$&$]0;+\infty[$\\
 \hline
\pause $f(x)=\cos x$&$F(x)=\sin x +k$&$\bbr$\\
 \hline
\pause $f(x)=\sin x$&$F(x)=-\cos x +k$&$\bbr$\\
 \hline
\pause $f(x)=1+\tan^2 x= \frac{1}{\cos ^2 x}$&$F(x)=\tan x +k$&$\bbr\setminus\{\frac{\pi}{2}+n\pi\}$\\
\hline
\end{tabular} \end{center}

\end{frame}
 \subsection{13.3 Primitives et opérations}

\begin{frame}
  \frametitle{13.3 Primitives et opérations}

\begin{theoreme}
  \pause       Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ de $\bbr$  admettant les fonctions $U$ et $V$ comme primitives sur $I$.
\begin{description}
  \pause \item[$\bullet$] La fonction $U+V$ est une primitive de la fonction $u+v$ sur $I$.
  \pause \item[$\bullet$] Pour tout réel $\lambda$, la fonction $\lambda U$ est une primitive de la fonction $\lambda u$ sur $I$.
 \end{description}
       \end{theoreme}
\end{frame}
\begin{frame}
  \frametitle{13.3 Primitives et opérations}
\pause \textbf{Formes de référence}

\pause $k$ désigne  un réel quelconque.

\begin{enumerate}
  \pause \item La fonction $u'u^n \;(n\in \mathbb{N}^*)$ a pour primitives sur $I$ les fonctions $\frac{1}{n+1}u^{n+1}+k$
 \pause \item Si $u$ ne s'annule pas sur $I$, la fonction $\frac{u'}{u^n}$ avec $n>1$ a pour primitives sur $I$ les fonctions $-\frac{1}{n-1}\times\frac{1}{u^{n-1}}+k$.
 \pause \item Si la fonction $u$ est strictement positive sur $I$, alors la fonction $\frac{u'}{\sqrt{u}}$  a pour primitives sur $I$ les fonctions $2\sqrt{u}+k$.
\end{enumerate}
\end{frame}
\begin{frame}
  \frametitle{13.3 Primitives et opérations}
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3}
 \item Les fonctions $u'\cos u$ et $u'\sin u$ ont respectivement pour primitives sur $I$ les fonctions $\sin u+k$ et $-\cos u +k$.
 \pause \item La fonction $u'e^{u} $ a pour primitives sur $I$ les fonctions $e^u+k$.
 \pause \item Si la fonction $u$ est strictement positive sur $I$, alors la fonction $\frac{u'}{u}$  a pour primitives sur $I$ les fonctions $\ln u +k$.
\end{enumerate}

\end{frame}
\subsection{13.4 Lien primitive et intégrale}

\begin{frame}
  \frametitle{13.4 Lien primitive et intégrale}
\textbf{a. Formule de la moyenne}

\pause On a vu dans le chapitre calcul intégral qu'étant donnée une fonction $f$ continue sur $[a;b]$  la valeur moyenne 
de $f$ sur $[a;b]$ est : \pause \[\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(t) \, d t\]

\pause la fonction $f$ est continue sur $[a;b]$, elle est bornée, donc il existe deux réels $m$ et $M$ tels que pour tout $x\in [a;b]$
\pause \[m\leqslant f(x) \leqslant M\]
\pause  ce qui  implique \pause $\int_a^b m \, d x\leqslant\int_a^b f(x) \, d x\leqslant\int_a^b M\, d x$

\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{13.4 Lien primitive et intégrale}
$m(b-a) \leqslant\int_a^b f(x) \, d x\leqslant M(b-a)$

\pause et finalement \pause $m \leqslant\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \, d x\leqslant M$

\pause donc $\mu$ la valeur moyenne est comprise entre le minimum et le maximum de $f$ sur l'intervalle $[a;b]$

\pause or $f$ est continue il existe donc un réel $x_0$ de $[a;b]$ tel que $f(x_0)=\mu$.

\pause \begin{theoreme}[Formule de la moyenne]
\pause     Soit $f$ une fonction continue sur $[a;b]$ il existe un réel  $x_0$ de $[a;b]$ tel que  
\pause \[f(x_0)=\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(t) \, d t\]

       \end{theoreme}

\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{13.4 Lien primitive et intégrale}
\textbf{b. Intégrale fonction de sa borne supérieure}

\pause  Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$, on définit sur $[a;b]$ une fonction $\mathscr{A}$ telle que

\pause  \begin{displaymath}
% use packages: array
\begin{array}{ll}
 \mathscr{A}& [a;b] \rightarrow \mathbb{R}  \\ 
 &  t \longmapsto \int_{a}^{t} f(x) \, d x 
\end{array}
\end{displaymath}

\end{frame}
\end{document}

