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\setcounter{NumLecon}{14}
\setcounter{chapter}{14}
\chapter{Transformations dans $\mathbb{C}$}




\section{Écriture complexe d'une transformation}


 Soit $T$  la transformation du plan complexe, qui à tout point $M$ d'affixe $z$,  associe le  point $M'$ d'affixe $z'$ 
 et $f$ sa fonction associée de $\mathbb{C}$ dans  $\mathbb{C}$.

 On a  $M'=T(M)$ avec   $z'=f(z)$  appelé \textbf{l'écriture complexe de la transformation} $T$.

\vspace{0.2 cm}

\section{Écriture complexe d'une translation}




\begin{Pro}[translation]
Soit $\overrightarrow{w}$ un vecteur d'affixe $b$, l'écriture complexe de la translation de vecteur  $\overrightarrow{w}$
est $z'=z+b$
\end{Pro}


\section{Écriture complexe d'une homothétie}
\begin{Pro}[homothétie]
Soit $\Omega$ un point d'affixe $\omega$ et $k$ un réel non nul, l'écriture complexe de l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ est $z'-\omega=k(z-\omega).$
\end{Pro}

\Demo{}

 Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ non nul, on a pour tout point $M$ d'affixe $z$

$M'=h(M) \; \Leftrightarrow \;\overrightarrow{\Omega M'}=k\overrightarrow{\Omega M}\; \Leftrightarrow \; z'-\omega=k(z-\omega)$

\section{Écriture complexe d'une rotation}
Dans le plan complexe muni d'un repère $\ouv$ orienté.

\begin{Pro}[rotation]
Soit $\Omega$ un point d'affixe $\omega$ et $\theta$ un réel. L'écriture complexe de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle  $\theta$ est $z'-\omega=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z-\omega).$
\end{Pro}

\Demo{}

 Soit $r$ la rotation  de centre $\Omega$ et d'angle rapport $\theta$ ,  on a pour tout point $M\neq  \Omega$ d'affixe $z$
 $M'=r(M) \; \Leftrightarrow$ $\Omega M' = \Omega M$ et $(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'})=\theta$ 
 c'est-à-dire $|z'-\omega|=|z-\omega|$ et $\arg(\frac{z'-\omega}{z-\omega})=\theta$  ce qui signifie que le nombre complexe $\frac{z'-\omega}{z-\omega}$ a pour module 1 et pour argument $\theta$
 on a donc $\frac{z'-\omega}{z-\omega}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \; \Leftrightarrow\; z'-\omega=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z-\omega).$ 
\end{document}