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\begin{document}





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\setcounter{NumLecon}{17}
\setcounter{chapter}{17}
\chapter{\'Equations diff\'erentielles lin\'eaires du premier ordre}




\subsection{Position du problème}

 Soit $a$, $b$ deux réels données, avec $a\neq 0$. On cherche à determiner les fonctions $y$  dérivables sur $\bbr$, solutions pour tout $x$ de $\bbr$  de l'équation différentielle :

\[(E)\; :\;y'=ay+b\]








\subsection{Forme des solutions}





\begin{The}
 Soit $a$, $b$ deux réels données, avec $a\neq 0$ et $(E)$ l'équation différentielle $y'=ay+b.$

Les solutions sur $\bbr$ de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions définies sur $\bbr$  de la forme  $x\mapsto-\frac{b}{a} +k\text{e}^{ax}$  avec $k$ une contante réelle. 
\end{The}



\Demo{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\bbr$ par $f(x)=-\frac{b}{a} +k\text{e}^{ax}$, on a pour tout $x$ de $\bbr$ :

$f'(x)=a\times k\text{e}^{ax}=a\times k\text{e}^{ax}-b+b=a(-\frac{b}{a} +k\text{e}^{ax})+b=af(x)+b$

on en déduit que  $f$ est une solution de $(E)$.

\textbf{Réciproquement :}

$y$ est une fonction constante solution de $(E)$ $\Leftrightarrow$ $0=ay+b$ d'où $y=-\frac{b}{a}$.

Ainsi l'unique fonction constante de solution de $(E)$ est $f_0\; :\; x \longmapsto -\frac{b}{a}$.

Soit $g$ une solution de $(E)$, on a pour tout $x$ de $\bbr$, $g'(x)=ag(x)+b$.

Or $(g-f_0)'=g'-{f'}_0=ag+b-af_0-b=a(g-f_0)$, d'après la chapitre 1 comme $(g-f_0)'=a(g-f_0)$ il existe une constante $k$ telle que pour tout $x$ de $\bbr$, $(g-f_0)(x)=k\text{e}^{ax}$ ainsi $g(x)=-\frac{b}{a}+k\text{e}^{ax}$.


\subsection{Solution avec condition initiale}

\begin{The}
 Soit $a$, $b$ deux réels données, avec $a\neq 0$ et $(E)$ l'équation différentielle $y'=ay+b.$

Pour tout couple $(x_0;y_0)$ de réels, l'équation $(E)$ admet une unique solution $f$ définie sur $\bbr$ et vérifiant $f(x_0)=y_0$.

\end{The}


\newpage

\subsection{Exemple détaillé}

\exot{} On considère l'équation différentielle sur $\R$ 
\[(E)\,:\,2y'+3y=6.\]
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle  $(E)$.
\item Déterminer l'unique solution $g$ de $(E)$ vérifiant $g(-1)=0$.
\end{enumerate}

\begin{center}
 \textbf{Corrigé}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item L'équation peut s'écrire $y'=-\frac{3}{2}y+3$, les solutions sont les fonctions $f$  de la forme  $f \; :\; x\mapsto 2+k\text{e}^{-\frac{3}{2}x}$  avec $k$ une contante réelle.
\item Dire que $g$ est une solution de $(E)$ signifie qu'il existe un réel $k$ tel que : 

pour tout $x$ réel,  $g(x)=2+k\text{e}^{-\frac{3}{2}x}$ or $g(-1)=0$ d'où $0=2+k\text{e}^{\frac{3}{2}}$
soit $k=-2\text{e}^{-\frac{3}{2}}$ on a alors $g(x)=2-2\text{e}^{-\frac{3}{2}(x+1)}$.
\end{enumerate}

\subsection{Objectif Bac}
\exot{Antilles-Guyane 2008}

Soit l'équation différentielle (E) : $y' +2y = 3\text{e}^{-3x}$ et  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[f(x) = \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x} - 3\text{e}^{-3x}.\]
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E$'$) : $y' +2y = 0$.
\item En déduire que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) =
\dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x}$ est solution de (E$'$).
\item  Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = - 3\text{e}^{-3x}$ est solution de l'équation (E).
\item  En remarquant que $f = g +h$, montrer que $f$ est une solution de (E).
\end{enumerate}
\begin{center}
 \textbf{Corrigé}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item (E')$\Longleftrightarrow y'=-2y$. D'après le cours, les solutions de (E')  sont les fonctions définies sur $\R$ de la forme $x\mapsto C\text{e}^{-2x}$, où $C$ est une constante réelle.
%Résoudre l'équation différentielle~(E'): $y'+2y=0$.
\item En particulier, avec $C=\dfrac92$, on obtient la fonction $h$.
%En déduire que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\dfrac92\text{e}^{-2x}$ est solution de (E').
\item $g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x)=9\text{e}^{-3x}$. Par conséquent, pour tout réel $x$:
\[g'(x)+2g(x)=9\text{e}^{-3x}-6\text{e}^{-3x}=3\text{e}^{-3x},\]
ce qui prouve que $g$ est bien solution de (E).
%Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-3\text{e}^{-3x}$ est solution de l'équation (E).
\item Comme $f=g+h$, on a $f'=g'+h'$, donc, pour tout réel $x$:
\[f'(x)+2f(x)=\underbrace{g'(x)+2g(x)}_{3\text{e}^{-3x}}+\underbrace{h'(x)+2h(x)}_{0}=3\text{e}^{-3x},\]
et $f$ est alors bien solution de (E).
%En remarquant que $f=g+h$, montrer que $f$ est une solution de (E).
\end{enumerate}

\exot{} Soit l'équation différentielle $(E_1)$~: $y'-2y=1-32x$. 

\begin{enumerate}
 \item Montrer qu'il existe une fonction affine $h$ solution de cette équation.
\item Soit $f$ une fonction  définie sur $\bbr$, montrer que $f$ est une solution de  $(E_1)$ si et seulement, si $f-h$ est une solution de l'équation différentielle $y'-2y=0$.
\item En Déduire les solutions de $(E_1)$.

\end{enumerate}






\end{document}

