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\setcounter{NumLecon}{1}

\chapter{Fonction exponentielle}


\section{Équation différentielle}

\subsection{Méthode d'Euler, construction du graphe d'une solution approchée}

 Dans de nombreux problèmes, on est amené à déterminer une  fonction proportionnelle à sa dérivée :
  désintégration des noyaux des atomes d'un corps radioactif, datation au carbone 14, évolution d'une population où la croissance est proportionnelle au nombre d'habitants, etc. 

On s'intéresse donc à \textit{l'équation différentielle} $f'= k\,f$, avec $k$ un réel non-nul.
Le problème est de trouver une fonction la satisfaisant.

Avec $k=1$, on recherche une fonction  $f$ dérivable sur $\bbr$ vérifiant pour tout $x$, $f'(x)=f(x)$ et $f(0)=1$ .

En prenant un pas suffisamment petit, la méthode d'Euler permet d'obtenir la courbe d'une fonction affine par morceaux proche de celle d'une solution.

\subsection{Fonction exponentielle}



\begin{Pro}[Résultat préliminaire.]
 Si, pour tout réel $x$, $f'(x)=f(x)$ et $f(0)=1$, alors $f$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.
\end{Pro}
\Demo{}

Soit $\phi$ la fonction définie sur $\bbr$ par $\phi(x)=f(x)\times f(-x)$.
La fonction $\phi$ est dérivable et on a pour tout $x\in \bbr$ 
\begin{arrayl}[l]
\phi(x)=f(x)\times f(-x)\\

\phi'(x)=f'(x)\times f(-x)+f(x)\times [-f'(-x)]\\

\phi'(x)=f'(x)\times f(-x)-f(x)\times f'(-x)\\

\phi'(x)=0.
\end{arrayl}

La fonction $\phi$ est constante sur $\bbr$, or $\phi(0)=f(0)\times f(0) = 1$, donc pour tout réel $x,\;\phi(x)=1$.

D'où $f(x)\times f(-x)=1$, et finalement pour  tout réel $x$, $f(x)\neq 0$.\\

Remarque : on  en déduit aussi que pour  tout réel $x$, $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$.








\begin{The}
  Il existe une unique fonction $f$,
dérivable sur $\mathbb{R}$, telle que $f'=f$ et $f(0)=1$. 

Cette fonction  est appelée \textbf{fonction exponentielle} et est notée \textbf{exp}.

\end{The}

\Demo{}
$\bullet$ \textbf{Existence}

L'existence de la fonction exponentielle est pour l'instant admise. La méthode d'Euler permet d'obtenir la courbe d'une fonction affine par morceaux proche de celle de l'exponentielle.


$\bullet$ \textbf{Unicité}\\



Si $g$ est une fonction telle que $g'=g$ et $g(0)=1$, la fonction $h=\frac{g}{f}$ est définie (car $f$ ne s'annule pas sur $\bbr$, cf. prop.1)
et est dérivable sur $\bbr$.
On a $h'=\frac{g'f-gf'}{f^2}$ or $f'=f$ et $g'=g$, d'où $h'=0$ et donc $h$ est constante sur $\bbr$.

Pour tout réel $x$, $h(x)=h(0)=1$ c'est-à-dire $g(x)=f(x)$ et donc $f=g$.\\







\begin{The}
  Soit $k$ un réel donné.

 Il existe une unique fonction $f$,
dérivable sur $\mathbb{R}$, telle que $f'=kf$ et $f(0)=1$. 

Cette fonction $f$ est définie sur $\bbr$ par  $f(x)=\exp(kx)$.
\end{The}


\Demo{}

Soit  la fonction $f$ définie sur $\bbr$ par $f(x)=\exp(kx)$ avec $k$ réel donné.

On a $f(0)= \exp(0)=1$ de plus pour tout réel $x$ on a $f'(x)=k\exp(kx)=kf(x)$.
La fonction $f$ est bien une solution de l'équation différentielle $f'=kf$ avec $f(0)=1$.


$\bullet$ \textbf{Unicité}


Si $g$ est une fonction telle que $g'=kg$ et $g(0)=1$, comme la fonction exponentielle ne s'annule pas, on peut définir pour tout réel $x$, la fonction $\phi(x)=\frac{g(x)}{\exp(kx)}.$

La fonction $\phi$ est dérivable sur $\bbr$ et on a 

\begin{arrayl}[l]

\phi'(x)=\frac{g'(x)\exp(kx)-kg(x)\exp(kx)}{{\exp(kx)}^2}\\

\phi'(x)=\frac{kg(x)-kg(x)}{\exp(kx)}\\

\phi'(x)=0.
\end{arrayl}

La fonction $\phi$ est constante sur $\bbr$, or $\phi(0)=\frac{g(0)}{\exp(0)}=1$.


On en déduit que pour tout réel $x,\;\phi(x)=1$ soit $\frac{g(x)}{\exp(kx)}=1$ et donc
$g(x)=\exp(kx)$




\begin{The}
Soit $f$ une fonction non-nulle et dérivable sur $\bbr$.

Les propositions suivantes sont équivalentes :

(1) Pour tous réels $x$ et $y$, $f(x+y)=f(x)\times f(y)$.

(2) Il existe un réel $k$ tel que pour tout réel $x$, $f(x)=exp(kx)$.



\end{The}

\Demo{}

\textbf{Prop. (1)$\Rightarrow$Prop. (2)}

Soit $f$ une fonction non-nulle dérivable sur $\bbr$ telle que pour tous réels $x$ et $y$, $f(x+y)=f(x)\times f(y)$

\begin{enumerate}


\item Montrer que $f(0)=1$

\item Soit $y$ un réel fixé et $\phi$ la fonction définie sur $\bbr$ par $\phi(x)=f(x+y)=f(x)f(y).$


Montrer que $\phi$ est dérivable sur $\bbr$ et calculer $\phi'(x)$.

\item Calculer $\phi'(0)$ et déduire que pour tout réels $y$, $f'(y)=kf(y)$ avec $k$ un réel à déterminer.

\item Conclure que pour tous réels $x$, $f(x)=\exp(kx) \quad(2)$
\end{enumerate}


\textbf{Prop. (2)$\Rightarrow$Prop.(1)}

Soit $f$ une fonction non-nulle et dérivable sur $\bbr$ telle qu'il existe un réel $k$ tel que pour tout réel $x$, $f(x)=exp(kx)$.

\begin{enumerate}




\item Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=kf(x)$.

\item Soit $y$ un réel fixé et $g$ la fonction définie sur $\bbr$ par
$g(x)=f(x+y)f(-x)$


Montrer que $g$ est dérivable sur $\bbr$ et calculer
$g'(x)$.

\item Calculer $g(0)$ et déduire que pour tous $x$ et $y$
réels, $f(x+y)\,f(-x)=f(y).$

\item Conclure que pour tous réels $x$ et $y$, $f(x+y)=f(x)\times f(y) \qquad (1)$



\end{enumerate}

\section{Propriétés}

Les théorèmes précedents ont pour conséquences :

 
\begin{Pro}


\begin{enumerate}

\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
 


\item $\exp(0)=1$

\item La fonction $\exp$ est dérivable  pour tout réel $x$, 

$\exp'(x)=\exp(x)$

\item Pour tout réel $x$, $\exp(x)>0$

\item La fonction exp est strictement croissante sur $\bbr$

\item Pour tous réels $a$ et $b$ $\exp(a+b)=\exp(a)\times \exp(b)$

\item Pour tous réels $a$ et $b$ $\exp(a-b)=\frac{\exp(a)}{\exp(b)}$

\item $\exp(-b)=\frac{1}{\exp(b)}$

\item $\exp(ka)={[\exp(a)]}^k$, avec $k\in\bbz$

\item
$\exp\pa{\fr{a}{n}}=\cro{\exp(a)}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{\exp(a)}$,
avec $n\in\bbn^*$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{Pro}



\section{Le nombre $\mathrm{e}$ et la notation $\mathrm{e}^x$}

On pose $\mathrm{e}=\exp(1)$  on a obtenu grâce à la méthode
d'Euler une approximation de $e$, car $e=\lin\pa{1+\fr{1}{n}}^n$

\[\mathrm{e}\simeq 2,71828182845904523536\]

et que pour tout entier $k$,
\[\exp(k)=\exp(k\times 1)=\pa{\exp(1)}^k=e^k\]

on note alors, \textbf{par convention}, que

\[\exp(x)=e^x\]

Il a reste à  vérifier que les propriétés vues précédemment sont
conformes à l'usage de la notation puissance.

\begin{Pro}
 Pour tous réels $x$, $y$ et entier relatif $n$ :
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{3}
 \begin{description}
  \item[$\bullet$]$\mathrm{e}^0=1$
 \item[$\bullet$]  $\mathrm{e}^{-x}=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}$
 \item[$\bullet$]$\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{y}$
 \item[$\bullet$]  $\mathrm{e}^{x-y}=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}}$
 \item[$\bullet$] ${(\mathrm{e}^{x})}^n=\mathrm{e}^{nx}$

  \end{description}
  

 



\end{multicols}

\end{Pro}



\section{Étude de la fonction exponentielle}


\subsection{Limites en $-\infty$ et $+\infty$}


\begin{Pro}
 



\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
  \begin{description}
\item$\Lim{-\infty}e^x=0$
  \item $\Lim{+\infty}e^x=+\infty$

 \end{description}
\end{multicols}

\end{Pro}




\Demo{}
\begin{enumerate}

\item Étudier la
fonction $f~:~x\mapsto e^x-x$ et en déduire que $\Lim{+\infty}e^x=+\infty$.

\item Utiliser $\Lim{+\infty}e^x=+\infty$ pour en déduire que $\Lim{-\infty}e^x=0$

\end{enumerate}
\newpage

\subsection{Sens de variation et représentation graphique}

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\bbr$ et sa courbe representative $\mathscr{C}$ dans un repère orthogonal admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale.

\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
 


  \begin{pspicture}(0,0)(8.2,5)
\psset{unit=1}

\psframe(0,0)(8.2,4)

\uput{0}[0](0.8,3.5){$x$}
\uput{0}[0](2,3.5){$-\infty$}
\uput{0}[0](7.5,3.5){$+\infty$}

\uput{0}[0](0.8,1.5){$\exp$}
\uput{0}[0](2,0.2){$0$}

\uput{0}[0](7.5,2.7){$+\infty$}

\psline(1.8,0)(1.8,4)
\psline(0,3)(8.2,3)
\psline{->}(2.3,0.2)(7.5,2.5)

\end{pspicture}




\begin{pspicture}(-5,-0.5)(3,12)


\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,gridwidth=0.5pt,griddots=10](0,0)(-5,-0.5)(3,11)
\psset{labels=none}
{\small \psaxes[linewidth=0.6pt,dy=0](0,0)(-5,-0.5)(3,11)}

%\psdots(0,10.25)(1,9.21)(2,8.22)(3,7.22)(4,6.18)(5,5.28)(6,3.89)

\psplot[plotpoints=200]{-5}{2.4}{2.71828 x  exp  }

\uput{.1cm}[225](0,0){$O$}
\uput{.1cm}[270](0.5,0){$\Vec{\imath}$}
\uput{.1cm}[180](0,0.5){$\Vec{\jmath}$}
\psline{->}(0,0)(0,1) 
\psline{->}(0,0)(1,0)
\uput{0.1}[0](1.6,8){$\mathscr{C}$}

\end{pspicture}
\end{multicols}


\end{document}