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\begin{document}
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\pagestyle{fancy}

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\fancyhead[RO]{}

\setcounter{NumLecon}{2}
\setcounter{chapter}{1}
\chapter{Suites et principe de r\'ecurrence}





\section{Définitions et vocabulaire }


\begin{Defi}
 Une suite numérique est une fonction de $\N$ (ou une partie de $\N$)  dans $\R$.

$\begin{array}{rl}
u : &\N \rightarrow \R \\
 &n \mapsto U(n)
\end{array}$
\end{Defi}




\textbf{Remarques}


\begin{description}
\item[$\bullet$]L'image par $u$ de l'entier $n$, $u(n)$  est aussi notée $u_n$ qui se lit \og $u$ indice $n$ \fg.

\item[$\bullet$]On dit que $u_n$ est le terme de rang $n$. 

\item[$\bullet$] Le terme suivant $u_n$ est $u_{n+1}$, le terme précédant $u_n$ est $u_{n-1}$ (avec $n\geq1$).


\end{description}  

\begin{Defi}
 Dire d'une  suite $u$ est qu'elle est croissante (respectivement décroissante) signifie que pour tout entier $n$

$u_{n}\leq u_{n+1}$ (respectivement $u_{n}\geq u_{n+1}$).
\end{Defi}

\textbf{Méthodes : } Pour étudier le sens de variation d'une suite $u$ on pourra :

\begin{description}
\item[$\bullet$] étudier le signe de la différence $u_{n+1}-u_{n}$ ;
\item[$\bullet$] lorsque pour tout entier $n$, $u_n$ est non-nul et de signe constant on peut comparer le rapport
 $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ à 1;
 \item[$\bullet$] si pour tout entier $n$ on a $u_n=f(n)$ avec $f$ une fonction définie et monotone sur $[0;+\infty[$  alors la suite $u$ et la fonction $f$ ont la même monotonie.
\end{description} 


\textbf{Remarque} 

Il existe des suites ni croissantes ni décroissantes, par exemple la suite  $u$ définie pour tout entier $n$ par $u_n={(-1)}^n$. 

Le signe de  la différence  $u_{n+1}-u_{n}$ n'est pas constant donc la suite $u$ n'est ni croissante ni décroissante.
 

\begin{Defi}
 Dire d'une  suite $u$ est qu'elle est majorée  (respectivement minorée) signifie qu'il existe un réel $M$ (respectivement $m$) tel que  pour tout entier $n$, $u_n\leq M$ (respectivement $u_n\geq m$).

 Dire d'une  suite $u$ est qu'elle est bornée  signifie qu'elle est minorée et majorée c'est-à-dire il existe un réel $m$ et un réel  $M$ tels que  pour tout entier $n$, $m \leq u_n\leq M$.
\end{Defi}

\newpage

\section{Suite arithmétique}

\subsection{Définition}
\begin{Defi}
\begin{description}


\item[$\bullet$] Lorsqu'on obtient chaque terme d'une suite en ajoutant au terme précédent toujours le même réel, appelé raison, 
la suite est une suite arithmétique.

\item[$\bullet$] la suite $u$ est une suite arithmétique de raison $r$, signifie que pour tout entier $n$, on a $u_{n+1}=u_n+r$ . 
\end{description}
\end{Defi}

 
\subsection{Calcul du terme de rang $n$}

\begin{The}
Le terme de rang $n$ d'une suite arithmétique $u$ de premier terme $u_1$ et de raison $r$ est $u_n=u_1+(n-1)r.$

Si le premier terme est $u_0$ alors le terme de rang $n$ est : $u_n=u_0+nr$.

Si le premier terme est $u_p$ alors le terme de rang $n$ est : $u_n=u_p+(n-p)r$.
\end{The}

 Exemple : soit la suite arithmétique de premier terme $u_1=12$ et de raison 3.

Le terme de rang 50 $u_{50}=u_1+(50-1)\times r=12+49\times 3 = 159$.





\subsection{Somme des $n$ premiers termes}

\begin{The}
La somme des $n$ premiers termes consécutifs d'une suite arithmétique $u$ de premier terme $u_1$ est :
\[S_n=u_1+u_2 \ldots+u_{n-1}+u_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}.\]

\end{The}

On généralise la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

$\mbox{Somme}=\frac{\mbox{nombres de termes}\times(\mbox{premier terme} +\mbox{dernier terme})}{2}$
\vspace{0.2cm}

\begin{large}\textbf{Variations d'une suite arithmétique}\end{large}

\begin{Pro}
Soit $u$ une suite arithmétique de raison $r$.
\begin{description}


\item[$\bullet$] $r>0$ $\Longleftrightarrow$ $u$ est croissante ;
\item[$\bullet$] $r<0$ $\Longleftrightarrow$ $u$ est décroissante ;
\item[$\bullet$] $r=0$ $\Longleftrightarrow$ $u$ est constante. 
\end{description}

\end{Pro}



\newpage

\section{Suite géométrique}

\subsection{Définition}
\begin{Defi}
\begin{description}


\item[$\bullet$] Lorsqu'on obtient chaque terme d'une suite en multipliant le terme précédent par le même réel, appelé raison, 
la suite est une suite géométrique.

\item[$\bullet$] la suite $u$ est une suite géométrique de raison $q$, signifie que pour tout entier $n$, on a $u_{n+1}=q\times u_n$ . 
\end{description}
\end{Defi}

 
\subsection{Calcul du terme de rang $n$}

\begin{The}
Le terme de rang $n$ d'une suite géométrique $u$ de premier terme $u_1$ et de raison $q$ est $u_n=q^{n-1}\times u_1.$

Si le premier terme est $u_0$ alors le terme de rang $n$ est $u_n=q^{n}\times u_0$. 

Si le premier terme est $u_p$ alors le terme de rang $n$ est $u_n=q^{n-p}\times u_p$.

\end{The}
Exemple : soit $u$  une suite géométrique de premier terme $u_1=100$ et de raison 3.

On a $u_{10}=3^9\times 100= 1968300$




\subsection{Somme des $n$ premiers termes}

\begin{The}
La somme des $n$ premiers termes consécutifs d'une suite géométrique $u$ de premier terme $u_1$ et de raison $q\neq1$ est 
\[S_n=u_1+u_2 \ldots+u_{n-1}+u_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q}.\]

\end{The}

On généralise la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

$\mbox{Somme}=premier\; terme\times \frac{1- q^{nb termes}}{1-q}$
\vspace{0.2cm}


\section{Raisonnement par récurrence}



Soit $P_n$ une proposition relative à l'entier $n$ et $n_0$ un entier.




\begin{Axi}[ \textbf{Principe de récurrence} où cinquième axiome de Peano]

\textit{Initialisation :} si la propostion $P_{n_0}$ est vraie,

\textit{Hérédité :} et si pour tout $k\geq n_0$, la propsition $P_k$ vraie implique que la propsition $P_{k+1}$ soit vraie

alors la proposition $P_n$ est vraie pour tout entier $n\geq n_0 $.

 
\end{Axi}




\textbf{Exemple} Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \in N^*$, $\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.







\end{document}