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\fancyhead[LO]{}
\fancyhead[CO]{\leftmark} %RE pour Right Even
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\setcounter{NumLecon}{2}
\setcounter{chapter}{2}
\chapter{Nombres Complexes - Forme alg\'ebrique}






\section{Motivations}

Étant donné que certaines équations polynomiales à coefficients réels n'ont pas toujours de solution, on cherche à construire
un nouvel ensemble de nombres  :
\begin{description}
 \item[$\bullet$] contenant tous les nombres réels,
 \item[$\bullet$] muni de deux opérations prologeant l'addition et la multiplication des nombres réels et ayant les mêmes règles de calculs,
 \item[$\bullet$] contenant un élément noté $\mathrm{i}$ tel que $i^2=-1$,
\item [$\bullet$] tout nombre $z$ s'écrive de manière unique $z=a+ib$ où $a$ et $b$ sont des réels.
 \end{description}


Un tel ensemble existe, il s'agit de l'ensemble des nombres complexes noté $\mathbb{C}$.
\setlength{\parindent}{0pt}




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\fancyhead[CO]{\leftmark} %RE pour Right Even
\fancyhead[RO]{}

\setcounter{NumLecon}{1}


\section{Vocabulaire et premières propriétés}

\begin{Defi}
 Un nombre complexe est un nombre de la forme $a+ib$, où $a$ et $b$ sont deux réels et $i$ et le nouveau nombre
tel que $i^2=-1$.
\end{Defi}

\begin{The}[ L'ensemble $\mathbf \bbc$ ]
 On  définit un ensemble $\bbc$ 
\begin{description}
\item[$\bullet$] muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\bbr$
\item[$\bullet$] contenant un nombre $i$ vérifiant $i^2=-1$ 
\item[$\bullet$] tel que chaque élément $z$ de $\bbc$ peut s'écrire de manière \textbf{unique} sous la forme   $$z=a+ib \quad \text{avec } a \text{ et } b \text{ des nombres réels}$$
\end{description}
\end{The}





\begin{Defi}
Soit $z=a+ib$ et $z'=c+id$ deux nombres complexes  on définit les deux opérations suivantes :
\begin{enumerate}
 \item [$\bullet$] l'addition :

$z+z'=(a+c)+i(b+d)$

 \item [$\bullet$]la multiplication
$z\times z'=(ac-bd)+i(ad+bc)$
\end{enumerate}



\end{Defi}

On vérifie que ces deux opérations sont associatives, communatives que la multiplication est distributive par rapport à l'addition.
 
\begin{Defi}


Cette écriture $z=a+ib$ unique est appelée \textbf{forme algébrique} du réel $z$.

Le nombre réel $a$ est appellé \textbf{partie réelle} de  $z$ et notée $\RR e(z)$

Le nombre rél $b$ est appellé \textbf{partie imaginaire} de  $z$ et notée $\IR m(z)$

\end{Defi}


\section{Conjugué d'un complexe}

\ENC{\Def\ \ Conjugué}{On appelle conjugué du nombre complexe $z=a+ib$ le nombre $$\overline{z}=a-ib$$}







Prouver les propriétés immédiates suivantes

\ENC{\Prop\ \ Propriétés des conjugués}{\bel
\item $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
\item $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\ \, \overline{z_2}$
\item $\overline{\overline{z}}=z$
\item $z\in\bbr\Longleftrightarrow z=\overline{z}$
\item $z\in i\bbr\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$
\item $\RR e(z)=\ud(z+\overline{z})$
\item $\IR m(z)=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})$
\item Si $z=a+ib$, alors $z\overline{z}=a^2+b^2$
\el}



\subsubsection{Méthodes :}

\subsubsection{Montrer qu'un complexe est un réel}

En effet, si on arrive à montrer que $\overline{z}=z$, alors on en conclut que $z$ est réel.

\subsubsection{Rendre réel des dénominateurs pour obtenir des formes algébriques}

En effet, $$z\cdot\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2-(ib)^2=a^2+b^2$$

Ainsi, pour obtenir la forme algébrique de l'inverse de $2+i$,  $$\fr{1}{2+i}=\fr{1}{2+i}\times\fr{2-i}{2-i}=\fr{2+i}{4+1}=\fr{2}{5}+\fr{1}{5}i$$

\newpage










\section{Résolution de \boldmath$ax^2+bx+c=0\quad \text{avec} \ a\neq0,\ b \ \text{ et }\ c$ \unboldmath des réels}

C'est comme en 1\ere : $ax^2+bx+c=0\ssi a\cro{\pa{x+\fr{b}{2a}}^2-\fr{b^2-4ac}{4a^2}}=0\ssi \pa{x+\fr{b}{2a}}^2=\fr{b^2-4ac}{(2a)^2}$

Tout dépend donc du signe de $b^2-4ac$.

\ENC{\Thm\ \ Résolution de \boldmath$ax^2+bx+c=0\quad \text{avec} \ a,\ b \ \text{ et }\ c$ \unboldmath des réels}{L'équation $ax^2+bx+c=0$ admet toujours des solutions sur $\bbc$. \\
Notons $\Delta=b^2-4ac$ le \textbf{discriminant} de l'équation \bel
\item Si $\Delta=0$, il existe une unique solution $x=-\fr{b}{2a}$
\item Si $\Delta>0$, il existe deux solutions réelles  $x=\fr{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
\item Si $\Delta<0$, il existe deux solutions complexes conjuguées $x=\fr{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$\el}



\subsubsection{Exemple :}


\end{document}