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\setcounter{NumLecon}{4}
\setcounter{chapter}{4}

\chapter{Produit Scalaire}


\section{Produit Scalaire dans le plan (rappels)}







\begin{Defi}
Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$  deux vecteurs du plan $\mathscr{P}$.
Le produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, noté $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}$, est le réel
$\Vert\overrightarrow{u} \Vert \times \Vert\overrightarrow{v} \Vert \times \cos (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}).$

Si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$, on pose $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0$
\end{Defi}

\textbf{Remarques :}

\begin{description}
 \item[$\bullet$] $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0$ si, et seulement si, $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$, ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
 \item[$\bullet$] $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}^2=\Vert \overrightarrow{u}\Vert^2$ qui est le carré scalaire de $\overrightarrow{u}$.
 \end{description}

\begin{Pro}
Soit  $\overrightarrow{u}= \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, et $H$ la projection orthogonale de $C$ sur la droite $(AB)$, on a :

\begin{enumerate}
 \item $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=AB \times AH $ si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont le même sens.
\item $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-AB \times AH $ si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont de sens contraire.
\end{enumerate}

Dans les deux cas on a $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
\end{Pro}

\begin{Pro}[commutativité, associativité et distributivité]
Soit $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$  trois vecteurs du plan $\mathscr{P}$ et $k$ un nombre réel. On a :
\begin{description}
 \item[$\bullet$]  $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}= \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}$.
 \item[$\bullet$] $(k \overrightarrow{u})\cdot\overrightarrow{v}= k (\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})=\overrightarrow{u}\cdot(k\overrightarrow{v})$
 \item[$\bullet$]$\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}$
\end{description}


\end{Pro}


Déterminer à partir de la propriété 2 les trois identités remarquables du produit scalaire.
 
\begin{Pro}[produit scalaire dans ron]
 Soit $\RE$ un repère orthonormal du plan $\mathscr{C}$ et les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de coordonnées respectives $(x;y)$ et $(x';y')$.

On a $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'$.

\end{Pro}


\begin{Defi}
 Tout vecteur non nul, orthogonal à un vecteur directeur d'une droite $\mathscr{D}$, est appelé \textbf{vecteur normal} à $\mathscr{D}$
\end{Defi}


\newpage
\textbf{Applications :}
Dans le plan muni repère orthonormal $\RE$, soit les points $A(1;-2)$, $B(3;6)$ et le vecteur $\overrightarrow{n}(2;-3)$ :

\begin{enumerate}
 \item Déterminer une équation cartésienne de la droite $\Delta$ passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$.
\item Déterminer une équation du cercle de diamètre $[AB]$.
\end{enumerate}

\textbf{Remarques :}
Dans le repère orthonormal $\RE$ du plan $\mathscr{P}$, toute droite $\mathscr{D}$ a une équation cartésienne de la forme
$ax+by+c=0$ ou $a$ et $b$ sont les coordonnées d'un vecteur normal à $\mathscr{D}$.


\begin{Pro}[distance d'un point à une droite]
Le plan est muni repère orthonormal $\RE$.

Soit $\mathscr{D}$ la droite contenant le point $A$, de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et d'équation cartésienne $ax+by+c=0$.

La distance d'un point $M(\alpha;\beta)$ à la droite $\mathscr{D}$ est la longueur $MH$ où $H$ est la projection orthogonale de $M$ sur $\mathscr{D}$. On a 

\[MH=\frac{\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}}{\Vert \overrightarrow{n}\Vert} = \frac{a\alpha+b\beta+c}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]
\end{Pro}


\end{document}