

\documentclass[10pt,a4paper]{report}
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\newcommand{\RE}{(O ;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})}
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\begin{document}
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\pagestyle{fancy}

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\fancyhead[LO]{}
\fancyhead[CO]{\leftmark} %RE pour Right Even
\fancyhead[RO]{}

\setcounter{NumLecon}{5}
\setcounter{chapter}{5}

\chapter{ D\'erivation et continuit\'e}


\section{ Fonctions dérivables }


\subsection{ Rappels}


Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, $a$ et $a+h$ deux réels de l'intervalle $I$  



\begin{Defi}
    Dire qu'une fonction est dérivable en $a$  signifie que le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ tend vers un réel $l$


 \[ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=l.\]

Ce réel $l$ est appelé le nombre dérivée de $f$ en $a$ et on le note $f'(a)$.


\end{Defi}


      
   \begin{Defi}

 Dire que $f$ est dérivable sur $I$ signifie que  $f$ est dérivable en tout réel $x$ de $I$.

La  fonction dérivée de $f$, notée $f'$, est la fonction qui associe à tout réel $x$ de $I$ le nombre dérivé $f'(x)$.
\end{Defi}







 \begin{Pro}
          Soit $f$ une fonction dérivable en $a$  et $\mathscr{C_f}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

 La tangente à $\mathscr{C_f}$ au point $A$ d'abscisse $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$ et pour équation 


\[ y=f'(a)(x-a)+f(a).\]
 \end{Pro}



        



\begin{pspicture}(-3.2,-1)(8,6)
\psaxes[linewidth=.6pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-.5)(7.5,5.5)	
					\uput{0.1}[135](-0.1,5.5){$y$}
					\uput{0.1}[135](8,-0.2){$x$}


					\psplot[plotpoints=200,linecolor=black]{-.5}{7}{x x mul 12 div 1.25 add} % f:y=x^2/12+1.25
					\rput(7.2,5.5){$\mathscr{C}$}
			\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,2)(0,2)
					\psdots[dotstyle=o](3,2)(3,0)
					\rput(3,-.2){$a$}
					\rput(-0.5,2){$f(a)$}
			\psplot[plotpoints=100,linecolor=green]{1}{7}{x 2 div 0.5 add}
					\rput(6,3.8){$T$}									
		
\end{pspicture}




\begin{Defi}[Approximation affine]
  Si $f$ est dérivable en un réel $a$ de $I$, alors il existe une fonction $\varepsilon$ telle que pour tout
réel $h$ avec $a+h$ dans $I$ :

\[ f(a+h)= f'(a)\times h +f(a)+h\times \varepsilon(h) \mbox{ avec }  \lim _{h\to 0 } \varepsilon(h)=0.\]

On dit que $f'(a)\times h +f(a)$ est une approximation affine de $f(a+h)$ pour $h$ proche de $0$.


\end{Defi}



\begin{pspicture}(-3.2,-1)(8,6)
\psaxes[linewidth=.6pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-.5)(7.5,5.5)
\uput{0.1}[135](-0.1,5.5){$y$}
\uput{0.1}[135](8,-0.2){$x$}


				\psplot[plotpoints=200,linecolor=black]{-.5}{7}{x x mul 12 div 1.25 add} % f:y=x^2/12+1.25
				\rput(7.2,5.5){$\mathscr{C}$}
				
					\psline[linestyle=dashed]{->}(3,0)(3,2)(0,2)
					\rput(3,-.2){$a$}
					\rput(-0.5,2){$f(a)$}	
					\uput{0.1}[135](3,2){$A$}	
					\psdots[dotstyle=o](3,2)(3,0)							
				
					\psplot[linecolor=blue]{-.5}{7.7}{x 2 div .5 add} % T : y=.5x+.5
					\rput(7.7,4.5){$T$}
			   
				   	\psline[linestyle=dashed](6,0)(6,4.25)
					\psline[linestyle=dashed]{->}(6,4.25)(0,4.25)
					\psline[linestyle=dashed]{->}(6,0)(6,3.5)(0,3.5)
					\psdots[dotstyle=o](6,4.25)(6,3.5)(6,0)
					\psline{<->}(3,-0.4)(6,-0.4)
					\rput(4.5,-0.4){\psframebox*[fillcolor=white]{$h$}}
					\uput{0.1}[135](6,4.25){$M$}
					\rput(6,-.2){$a+h$}
					\rput(-1.5,3.5){$f'(a)\times h +f(a)$}
					\rput(-0.75,4.25){$f(a+h)$}
			
					\psline(6,3.5)(6.7,3.5)
					\psline(6,4.25)(6.7,4.25)
					\rput(7.1,3.9){\psframebox*[fillcolor=white]{$\vert h\varepsilon (h) \vert$}}
					\psline{<->}(6.5,3.5)(6.5,4.25)
			
\end{pspicture}

\newpage
\subsection{Opérations et dérivation}

 \begin{Pro}
  Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un réel, alors les fonctions $ku$, $u+v$ et $uv$ sont dérivables sur $I$, et si de plus $v$ ne s'annule pas sur $I$ alors la fonction $\frac{u}{v}$, sont dérivables sur $I$.

\begin{center}
\begin{tabular}{l*5{c}}
 \rule[2mm]{0 mm}{4mm}Fonction  & $u+v$ & $ku$ & $uv$ & $\frac{1}{v}$ & $\frac{u}{v}$ \\ 
&$\downarrow$&$\downarrow$&$\downarrow$&$\downarrow$&$\downarrow$\\
 \rule[2mm]{0 mm}{4mm}Fonction dérivée & $u'+v'$ & $ku'$ & $u'v+uv'$  & $\frac{-v'}{v^2}$ & $\frac{u'v-uv'}{v^2}$\\
\end{tabular}
\end{center}
 \end{Pro}




 \begin{The}[Dérivée d'une fonction composée]
  Si $v$ est une fonction dérivable sur $I$  et $u$ une fonction dérivable en $v(x)$ pour tout $x$ de $I$, alors 
la fonction composée $u\circ v$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x$ de $I$ on a :
\[(u\circ v)'(x)=v'(x)\times (u'\circ v)(x) \]
 \end{The}

\textbf{Remarque :} la  propriété   vu en première


\begin{em} \og Soit $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
 Pour tout réel $x$ tel que $ax+b \, \in \, I$, la fonction $f\,:\, x \mapsto g(ax+b)$  est dérivable et on a 
$f'(x)=a\times g'(ax+b).$ \fg

\end{em} 

 est un cas particulier du  théorème 1.
 
\Demo{}

Pour tout $x \in I$, on sait que $v$ est dérivable en $x$. 

On a donc $v(x+h)=v'(x)h+v(x)+h\varepsilon(h)$, avec  $\lim _{h\to 0 } \varepsilon(h)=0$
d'où $u\left( v(x+h)\right) = u(v'(x)h+v(x)+h\varepsilon(h))$. 

Si on pose $k=v'(x)h+h\varepsilon(h)$ on a $u\left( v(x+h)\right)=u(v(x)+k)$ 

or lorsque $h$ tend vers $0$,  $k=v'(x)h+h\varepsilon(h)$ tend vers $0$ et puisque $u$ est dérivable en $v(x)$ on peut écrire :

~\[u(v(x) +k) = u(v(x))+k\times u'(v(x)) +k\phi(k)) \mbox{, avec}  \lim _{k\to 0 } \phi(k)=0.\]
 
On en déduit que $u(v(x+h))-u(v(x))= (v'(x)h+h\varepsilon(h)) \times u'(v(x)) +(v'(x)h+h\varepsilon(h))\phi(v'(x)h+h\varepsilon(h))$ 

et on pose $\psi(h)=(v'(x)+\varepsilon(h))\phi(v'(x)h+h\varepsilon(h))$. Par composition et produit de limites   on a $\lim _{h\to 0 }\psi(h)=0$.

$u(v(x+h))-u(v(x)) = hv'(x)\times u'(v(x)) +h(\psi(h)+\varepsilon(h)u'(v(x)))$ 


Pour $h\neq 0$ on a $\frac{u(v(x+h))-u(v(x))}{h}= v'(x)\times u'(v(x)) +\psi(h)+\varepsilon(h)u'(v(x))$

donc \[\lim _{h\to 0 }\frac{u(v(x+h))-u(v(x))}{h}=v'(x)\times u'(v(x))\] 

 \begin{Pro}
  Soit $u$ fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. 

Les fonctions $\cos u$, $\sin u$, $\mathrm{e}^u$, et  $u^n$, avec $n \in \N^*$ sont dérivables sur $I$. 

Si $u$ ne s'annule pas sur $I$ alors la fonction $u^{-n}$, avec $n$ un entier naturel non-nul, est dérivable sur $I$. 

Si $u$ est strictement postive alors la fonction $\sqrt{u}$ est dérivable dans $I$. 

\begin{center}
\begin{tabular}{l*6{c}}
 \rule[2mm]{0 mm}{4mm}Fonction  & $\cos u$ & $\sin u$ & $u^n$ & $u^{-n}$ & $\sqrt{u}$ & $\mathrm{e}^u$\\ 
&$\downarrow$&$\downarrow$&$\downarrow$&$\downarrow$&$\downarrow$&$\downarrow$\\
 \rule[2mm]{0 mm}{4mm}Fonction dérivée & $-u'\sin u$ & $u'\cos u$ & $nu'u^{n-1}$  & $-nu'u^{-n-1}$ & $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$&$u'\mathrm{e}^u$\\
\end{tabular}
\end{center}
 \end{Pro}

\section{Continuité d'une fonction}

La notion de continuité d'une fonction  $f$ a pour objet de traduire mathématiquement le fait que sa courbe représentative peut se tracer sans \og trou \fg, sans \og lever le crayon \fg. 

\subsection{Continuité}

\begin{Defi}
 Dire que $f$ est continue en  un réel $a$ de l'intervalle ouvert $I$ signifie que $f$ admet une limite en $a$ et que 
\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a).\]

Une fonction est dite continue sur un intervalle ouvert $I$ si elle continue en tout $a$ de $I$.

\end{Defi}
On a les résultats suivants :

 \begin{Pro}
   \begin{description}
  \item[$\bullet$] Les fonctions polynômes, les fonctions cosinus et sinus sont continues sur $\R$.
La fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0;+\infty[$.
  \item[$\bullet$] Une fonction rationnelle est continue sur chacun des intervalles où elle est définie.
  \item[$\bullet$] Si $u$ et $v$ sont continues sur $I$, alors $u+v$, $u\times v$ et $u^n$ ($n$ entier naturel non nul) sont continues sur $I$. La fonction $\frac{u}{v}$ est continue sur les intervalles où elle est définie.
  \item[$\bullet$] Si la fonction $v$ est continue en $a$ et si la fonction $u$ est continue en $v(a)$, alors la fonction $u\circ v$ est continue en $a$.
  \end{description}

 \end{Pro}




\subsection{Quelques exemples}

\begin{enumerate}
 \item 


Soit $f$ la fonction définie sur $[0;2]$  par 

\[ 
f\,: x \mapsto \left\lbrace 
\begin{array}{l}
\cos x \mbox{ si } x \in \,[0;1]\\
\cos (x-1) \mbox{ si } x \in \,]1;2]\\
\end{array}\right. 
\]


Lorsqu'on trace $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère $\RE$ on constate un \og décrochage \fg pour $x=1$.
On peut conjecturer que la fonction $f$ n'est pas continue en $1$.

\begin{pspicture}(-3.2,-1)(8,6)



\psset{xunit=3 cm, yunit=3 cm}	
%\psaxes[linewidth=.6pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-.5)(7.5,5.5)
 \psaxes[labels=none,linewidth=1pt,Dx=1,dx=1,Dy=1,dy=1]{->}(0,0)(0,0)(2,2)
\uput{.1cm}[225](0,0){$O$}

\uput{.1cm}[180](1,-0.1){$1$}
					\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=200,linecolor=black]{0}{1}{x 3.1415 div 180 mul cos} % f:y=x^2/12+1.25
			\psdot[dotstyle=o](1,0.54)
			\psdot[dotstyle=*](1.01,1)
			\psline[linestyle=dashed](1,00.54)(1,1)
			\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=100,linecolor=green]{1.01}{2}{x 1 sub 3.1415 div 180 mul cos}
												
		
\end{pspicture}

On a 
$f(1)=\cos 1\approx 0,54$  \quad $\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\cos (1) \approx 0,54$  \quad
$\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\cos (0) =1$, la fonction $f$ est donc discontinue en $1$.

\item  Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par
$
g\,: x \mapsto \left\lbrace 
\begin{array}{l}
\frac{\sin x}{x} \mbox{ si } x \neq 0\\
1 \mbox{ si } x =0 \\
\end{array}\right. 
$


On peut conjecturer que la fonction $f$ est  continue en $0$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-1)(5,5)

\psset{xunit=0.25 cm, yunit=3 cm}	
%\psaxes[linewidth=.6pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-.5)(7.5,5.5)
 \psaxes[labels=none,linewidth=1pt,Dx=1,dx=1,Dy=1,dy=1]{->}(0,0)(-15,0)(15,1.5)
\uput{.1cm}[225](0,0){$O$}


					\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=200,linecolor=black]{-15}{-0.01}{x 3.1415 div 180 mul sin x div} 
			\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=200,linecolor=black]{0.01}{15}{x 3.1415 div 180 mul sin x div} 
		

												
		
\end{pspicture}\end{center}

Pour la démonstration on utilise des inégalités démontrées  dans une précédente activité.

Pour tout  $x$ de $[-\pi;0]$ on a $ 0\leqslant \sin(x) -x\leqslant \frac{x^3}{6}$ et  pour tout $x$ de $[0;\pi]$ on a $ -\frac{x^3}{6}\leqslant \sin(x) -x\leqslant 0$.

À l'aide du théorème des gendarmes on démontre que $\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{\ sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\ sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ sin x}{x} =g(0)=1$, la fonction est donc continue en $0$.

\item \textbf{Partie entière}

\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
Pour tout réel $x$,  il existe un unique  entier $n$ tel que $n\leqslant x < n+1$. Cet entier $n$ est appelé partie entière du réel $x$ et est noté $E(x)=n$.
La  fonction partie entière $E$ qui à tout réel $x$ associe $E(x)$ est discontinue pour tout entier $p$ et est continue sur tout intervalle de la forme $[p;p+1[$.

 En effet, pour tout $p \in \Z$   on a :

\begin{description}
 \item[] si $x\, \in \,[p;p+1[$, alors $E(x)=p$
 \item[] si $x\, \in \,[p-1;p[$, alors $E(x)=p-1$
 \end{description}

d'où $\lim_{x\rightarrow p^-}E(x)=p-1$ et $\lim_{x\rightarrow p^+}E(x)=p$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)

\psset{xunit=1 cm, yunit=1 cm}	
%\psaxes[linewidth=.6pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-.5)(7.5,5.5)
 \psaxes[labels=none,linewidth=1pt,Dx=1,dx=1,Dy=1,dy=1]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
\uput{.1cm}[225](0,0){$O$}

\multido{\i=-3+1}{6}{
\FPadd\j{1}{\i}
			\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black](\i,\i)(\j,\i)
\psdot(\i,\i)
\rput{0.1}(\j,\i){(}		
	}



												
		
\end{pspicture}\end{center}

\end{multicols}

\subsection{Lien entre dérivabilité et continuité}

\begin{Pro}
 Si une fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $I$, alors $f$ est continue en $I$.
\end{Pro}


\Demo

Soit $a$ un réel  de $I$, comme $f$ est dérivable en $a$ il existe une fonction $\varepsilon$ telle que pour tout
réel $h$ avec $a+h$ dans $I$ :
 

\[ f(a+h)= f'(a)\times h +f(a)+h\times \varepsilon(h) \mbox{ avec }  \lim _{h\to 0 } \varepsilon(h)=0.\]

On a $f(a+h)-f(a)=f'(a)\times h+h\times \varepsilon(h)$ donc $\lim_{h\rightarrow 0}f(a+h)=f(a)$.

On en déduit que la fonction $f$ est continue en $a$.
\vspace{0.2 cm}

\textbf{Remarque :} la réciproque est fausse, une fonction continue en un réel $a$ de $I$  n'est pas forcément dérivable en $a$.

Par exemple les fonctions valeur absolue et racine carrée sont continues en $0$ mais non dérivables en $0$.

\end{enumerate}

\section{Théorème des valeurs intermédiares}

\subsection{Cas des fonctions continues}

\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
 \begin{The}[des valeurs intermédiaires]
 Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux réels de $I$.
Pour tout réel $k$ conmpris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que
$f(c)=k$.
\end{The}

Autrement dit l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution.

\textbf{Remarque :} Ce théorème est un théorème d'existence il affirme l'existence d'une solution, mais il ne donne pas de solution.

Des méthodes numériques permettront de donner des valeurs approchées des solutions.

\begin{pspicture}(-1,-3)(6.5,5)
\psaxes[linewidth=.6pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-3)(6.5,4.5)	
					\uput{0.1}[135](-0.1,4.5){$y$}
					\rput(6.6,0){$x$}


					\psplot[plotpoints=200,linecolor=black]{.5}{6}{x x mul x mul -20 div 1.25 add x add 1 add} 
					\rput(2,3.5){$\mathscr{C}$}
						\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,2.74)(0,2.74)
					\psdots[dotstyle=o](0.5,0)(0,2.74)
					\rput(0.5,-.2){$a$}
					\rput(-0.5,2.74){$f(a)$}		
			
			\psline[linestyle=dashed](6,0)(6,-2.55)(0,-2.55)
					\psdots[dotstyle=o](6,0)(0,-2.55)
					\rput(6,-.2){$b$}
					\rput(-0.5,-2.55){$f(b)$}
\end{pspicture}

\end{multicols}




\subsection{Cas des fonctions  continues strictement monotones}

 \begin{The}[bijection]
 Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a;b]$.
Pour tout réel $k$ conmpris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe une unique  solution  $\alpha$ dans l'intervalle $[a;b]$ à l'équation $f(x)=k$.
\end{The}

\Demo

\end{document}