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\setcounter{NumLecon}{6}
\setcounter{chapter}{6}

\chapter{ Nombres complexes - Forme trigonom\'etrique}


\section{Notations exponentielle d'un nombre complexe  }

Soit $f$ la fonction $f\, :\,\theta \mapsto \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta$  avec $\theta$ un nombre réel.

Le nombre complexe $f(\theta)$ est le nombre complexe de module 1 et argument $\theta$.

Le nombre complexe $f(\theta+\theta')=\cos (\theta+\theta' )+ \mathrm{i} \sin (\theta+\theta')$ a pour module 1 et pour argument 
$\theta+\theta'$ or le nombre $f(\theta)\times f(\theta')$ a aussi pour module 1 et $\theta+\theta'$

 car pour $z_{1}$ et $z_{2}$ deux nombres complexes non nuls on a
$\left|z_{1}z_{2}\right|  = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|~\text{et arg}\left(z_{1}z_{2}\right) = \text{arg}\left(z_{1}) + \text{arg}(z_{2}\right)$


On en déduit que $f(\theta+\theta')=f(\theta)\times f(\theta')$ de plus $f(0)=1$.

La fonction $f$ ainsi définie vérifie les propriétés de la fonction exponentielle ce qui mène à la notation suivante :

\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta\]

 \begin{Pro}
Tout nombre complexe non nul de module $r$ et d'argument $\theta$ peut s'écrire :

\[z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \mbox{ ou } z=r(cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta),\]  

et réciproquement, tout nombre complexe qui s'écrit :

\[z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \mbox{ ou } z=r(cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta),\]  

avec $r$ un réel strictement positif, a pour module $r$ et pour argument $\theta+ 2k\pi \quad (k\in \mathbb{Z}).$

 \end{Pro}


La forme exponentielle complexe possède des propriétés analogues à la fonction exponentielle réelle.

 \begin{Pro}
  Soit $r$ et $r'$ des réels strictement positifs, $\theta$ et $\theta'$ des réels quelconques.
\begin{enumerate}
 \item $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\times r'\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}=rr'\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\theta')}$,
\item $\frac{1}{r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}=\frac{1}{r}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$,
\item $\frac{r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}{r'\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}}=\frac{r}{r'}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta-\theta')}$.
\end{enumerate}

 \end{Pro}
\newpage

\begin{large}\textbf{Formules d'EULER}\end{large}

\begin{Pro}
 Pour tout nombre réel $\theta$, on a:
\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta, \mbox{ d'où } \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}=\cos \theta - \mathrm{i} \sin \theta.\]
En particulier 
\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=1\]

\end{Pro}

\textbf{\textit{Exemples :}} $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}=\cos\left(  \frac{5\pi}{6}\right) +\mathrm{i}\sin\left(  \frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i} $

On en déduit par addition et soustraction de égalités précédentes les résultats suivants.
\begin{Pro}
 \[\cos \theta =\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2} \quad 
\sin \theta =\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}\]
\end{Pro}



\end{document}