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\hypersetup{ 
    pdfauthor   = {KBIDA,  Lyc\'ee A. Varoquaux TOMBLAINE },
    pdftitle    = {Ds Terminale S},
    pdfkeywords = {Fonction Exponentielle}
       }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bibliographystyle{unsrt}
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\def\noi{\noindent}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE VERTE : Intervention obligatoire
%%% ADAPTER SUIVANT LA NATURE DE L'EPREUVE
\def\Exam{DEVOIR SURVEILLÉ N°1}
\def\Serie{S}
\def\Session{Année  2008/2009}
\def\Discipline{MATH\'EMATIQUES}
\def\Option{ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE}
\def\Duree{Dur\'ee de l'épreuve : 2 heures}
\def\Coef{Coefficient : 5}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\pagestyle{fancy}




\lhead{Terminale S}
\chead{\begin{large}DEVOIR SURVEILLÉ N°1\end{large}}
\rhead{04/10/2008}
\cfoot{}


\textbf{\begin{Large}  \textsc{Exercice 1}                \end{Large} \hspace{1.5 cm } 13 points}

On considère  les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :
\[f(x)=\frac{1}{2}x^2-x+x\mathrm{e}^{-x} \quad \mbox{et} \quad g(x)=\frac{1}{2}x^2-x.\]

On désigne par $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ les courbes repr\'esentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un rep\`ere orthonormal $\RE$ (unités graphiques : 2~cm).

\noindent \textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
 \item On a :
\begin{description}
 \item[$\bullet$]$\lim _{x\to +\infty }\frac{1}{2}x^2-x=\lim _{x\to +\infty }\frac{1}{2}x^2=+\infty$  
 \item[$\bullet$]$\lim _{x\to +\infty }x\mathrm{e}^{-x}=\lim _{x\to -\infty }-x\mathrm{e}^{x}=0$ (croissance comparée fonction exponentielle et fonction puissance de $x$).
 \end{description}

d'où $\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.











\item 


 Pour tout  réel $x$,  on a 

$\begin{array}{l}
\rule[8mm]{6 mm}{0mm} f(x)=\frac{1}{2}x^2-x+x\mathrm{e}^{-x}\\
\rule[8mm]{6 mm}{0mm} f(x)=\frac{1}{2}x^2\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{-x}-x\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{-x}+x\mathrm{e}^{-x}\\
\rule[8mm]{6 mm}{0mm} f(x)=\left(\frac{1}{2}x\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}+1\right)x\mathrm{e}^{-x}\\
\rule[8mm]{6 mm}{0mm}f(x)=x\mathrm{e}^{-x}\left( \frac{1}{2}x\mathrm{e}^{x} -\mathrm{e}^{x} +1\right)
\end{array}$

On  a 
\begin{description}
 \item[$\bullet$]$\lim _{x\to -\infty}  \frac{1}{2}x\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x} +1=1$ car $\lim _{x\to -\infty}  \frac{1}{2}x\mathrm{e}^{x}=0$ et $\lim _{x\to -\infty}-\mathrm{e}^{x}=0$.
 \item[$\bullet$] $\lim _{x\to -\infty }x\mathrm{e}^{-x}=-\infty$.
 \end{description}
On en déduit que $\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$.








\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=f(x)-g(x)$. 
\begin{enumerate}
 \item Pour tout $x \in \R$ on a $h(x)=x\mathrm{e}^{-x}$, d'où

$\lim _{x\to +\infty }h(x)=\lim _{x\to +\infty }x\mathrm{e}^{-x}=0$


La courbe $\mathscr{C}_g$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$ en $+\infty$.



\item Pour tout $x\in \R$,  $\mathrm{e}^{-x}>0$ donc $h(x)$ est du signe de $x$.

\begin{description}
 \item[$\bullet$] Pour $x<0$  on a $h(x)<0$  la courbe $\mathscr{C}_f$ est en dessous de la courbe $\mathscr{C}_g$,
 \item[$\bullet$] pour $x=0$  on a $h(x)=0$  les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ se coupent au point $O(0;0)$,
 \item[$\bullet$] pour $x>0$  on a $h(x)>0$  la courbes $\mathscr{C}_f$ est au dessus de la courbe $\mathscr{C}_g$.
 \end{description}






\end{enumerate}
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}
 \item Après avoir justifié la dérivabilité de la fonction $f$, déterminer $f'(x)$.

La fonction $x\mapsto \frac{1}{2}x^2-x$ est un polynôme du second degré, elle est donc dérivable.

 La fonction $x\mapsto x\mathrm{e}^{-x}$ est produit de fonctions dérivable, elle est donc dérivable.

On en déduit que la fonction $f$ est dérivable en tant que somme de fonctions dérivables.


Pour tout $x\in \R$ on a

$\begin{array}{l}
 f'(x)=x-1+\mathrm{e}^{-x}-x\mathrm{e}^{-x}\\
f'(x)=x-1+(1-x)\mathrm{e}^{-x}
\end{array}$



\item  On factorise par $(x-1)$ et on obtient $f'(x)=(x-1)(1-\mathrm{e}^{-x})$

On résout dans $\R$ l'inéquation 

$\begin{array}{ll}
&1-\mathrm{e}^{-x}\leq0\\
&1\leq\mathrm{e}^{-x}\\
&\mathrm{e}^{0}\leq\mathrm{e}^{-x} \Leftrightarrow 0\leq-x \mbox{ (la fonction exponentielle est croissante)}\\

&x\leq0\\
\end{array}$


on en déduit le tableau de signe de $f'(x)$.


\begin{pspicture}(10,5)
\psframe(10,5) 





\psline(0,4)(10,4) 
\psline(0,2.6)(10,2.6) 
\psline(0,1.3)(10,1.3) 

\psline(2,0)(2,5) 

\uput[u](1,4.2){$x$} \uput[u](2.4,4.2){$-\infty$} \uput[u](4.3,4.2){$0$} \uput[u](7.3,4.2){$1$}  \uput[u](9.5,4.2){$+ \infty$}

\psline(4.3,4)(4.3,0) 
\psline(7.3,4)(7.3,0) 

\uput[u](1,3){$1-\mathrm{e}^{-x}$} \uput[u](3,3){$-$}  \uput[u](5.8,3){$+$} \uput[u](8.7,3){$+$} \uput[u](4.3,3){$0$} 

\uput[u](1,1.7){$x-1$} \uput[u](3,1.7){$-$}  \uput[u](5.8,1.7){$-$} \uput[u](8.7,1.7){$+$} \uput[u](7.3,1.7){$0$} 

\uput[u](1,0.3){$f'(x)$}   \uput[u](3,0.3){$+$} \uput[u](4.3,0.3){$0$}  \uput[u](5.8,0.3){$-$} \uput[u](8.7,0.3){$+$} \uput[u](7.3,0.3){$0$} 




\end{pspicture}

\item ~

\begin{pspicture}(10,5)
\psframe(10,5) 



\psline(0,2)(10,2) 
\psline(0,4)(10,4) 
\psline(2,0)(2,5) 

\uput[u](1,4.2){$x$} \uput[u](2.3,4.2){$-\infty$} \uput[u](4.3,4.2){$0$} \uput[u](7.4,4.2){$1$}  \uput[u](9.5,4.2){$+ \infty$}

\psline(4.3,4)(4.3,2) 
\psline(7.3,4)(7.3,2) 

\uput[u](1,2.5){$f'(x)$} \uput[u](3,2.5){$+$}  \uput[u](5.8,2.5){$-$} \uput[u](8.7,2.5){$+$}
\uput[u](4.3,2.5){$0$}  \uput[u](7.3,2.5){$0$}
\uput[u](1,0.75){$f$}   
\uput[u](2.5,0){$-\infty$}

\uput[u](4.3,1.4){$0$}   \uput[u](7.4,-0.15){$\frac{1}{\mathrm{e}}-\frac{1}{2}$} \uput[u](9.5,1.4){$+\infty$}

\psline{->}(2.7,0.5)(4.2,1.5)
\psline{->}(4.5,1.5)(7.2,0.8)
\psline{->}(7.5,0.8)(9.3,1.5)

\end{pspicture}



\end{enumerate}
\item La fonction $g$ est une fonction trinôme du second degré ($x\mapsto ax^2+bx+c$)  avec $a=\frac{1}{2}>0$, on a 



  \begin{pspicture}(0,0)(8.2,4)
\psset{unit=1}

\psframe(0,0)(8.2,4)

\uput{0}[0](0.8,3.5){$x$}
\uput{0}[0](2,3.5){$-\infty$}
\uput{0}[0](4.8,3.5){$1$}
\uput{0}[0](7.5,3.5){$+\infty$}

\uput{0}[0](0.8,1.5){$f$}
\uput{0}[0](2,2.7){$+\infty$}
\uput{0}[0](4.8,0.5){$-\frac{1}{2}$}
\uput{0}[0](7.5,2.7){$+\infty$}

\psline(1.8,0)(1.8,4)
\psline(0,3)(8.2,3)
\psline{->}(2.2,2.5)(4.8,0.5)
\psline{->}(5.4,0.5)(7.8,2.5)
\end{pspicture}
       


\newpage
\item ~
   

\begin{pspicture}(-4,-10)(8,10)
\psset{unit=2cm}

\psgrid[gridlabels=0.5pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.5pt,griddots=0](0,0)(-2,-5)(4,4)

{\small \psaxes[labels=none,linewidth=1pt,Dx=1,dx=1,Dy=1,dy=1](0,0)(-2,-5)(4,4)}

%\psdots(0,10.25)(1,9.21)(2,8.22)(3,7.22)(4,6.18)(5,5.28)(6,3.89)


\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=purple]{<->}(0.6,-0.1325)(1.4,-0.1325)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=purple]{<->}(0.6,-0.5)(1.4,-0.5)
\uput{.1cm}[225](0,0){$O$}
\uput{.1cm}[0](0.5,+0.1){$\Vec{\imath}$}
\uput{.1cm}[180](-0.05,0.5){$\Vec{\jmath}$}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-2}{4}{ x 2 exp 2 div x sub   }

\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-1.595}{3.97}{x 2 exp 2 div x sub x x EXP div add}
% 1/2*x^2-x+x*
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1) 
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)

\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=purple]{<->}(-0.25,0)(0.25,0)

\uput{0}[90](-1.85,3){\blue{$\C_g$}}
\uput{0}[90](-1.1,-1){\red{$\C_f$}}
\end{pspicture}

\end{enumerate}


\vspace{0.5 cm}


\textbf{ \begin{Large}\textsc{Exercice 2}  \end{Large} \hspace{1.5 cm } 7 points}






\begin{enumerate}\item

\begin{enumerate}\item Comme pour tout réel $x$ le produit $f(-x) f'(x) = 1$, aucun de ces deux nombres ne peut \^etre nul.
La fonction ne peut s'annuler sur $\R$.

\item La fonction $f$ \'etant suppos\'ee d\'erivable,  $g$ l'est donc aussi.

 On a pour tout  $x \in \R$, $g'(x) = - f'(-x)f(x) + f(-x)f'(x)$ 

Or $f(-x) \times f'(x) = 1$, l'égalité est vraie pour tout $x \in \R$, elle est donc  vraie pour  $-x$, 
donc $f(x)\times f'(-x) = 1$. 

On a donc $g'(x) = - 1 + 1 = 0$.

La dérivée de $g$  est nulle, on en déduit que $g$ est constante.

\item  Il en r\'esulte que pour tout  $x \in \R$, $g(x) = g(0)=f(0)\times f(0)=(-4)^2=16$.


Donc $g(x) = f(-x)f(x) = 16$.

\item On sait que pour tout $x \in \R$
$f(-x) \times f(x) = 16$ et $f(-x) \times f'(x) = 1$, on d\'eduit que $f'(x) = \frac{1}{f(-x)}$ et $\frac{f(x)}{16} = \frac{1}{f(-x)}$ (car $f(-x) \neq 0$).

En comparant les deux \'egalit\'es on obtient : $f'(x) = \frac{1}{16}f(x) $ qui signifie que $f$ est une solution de l'\'equation diff\'erentielle (E) $y' = \frac{1}{16}y$. De plus la condition initale montre que $f(0) = - 4$.

\end{enumerate}

\item \textbf{Question de cours}

\begin{enumerate}\item 


Soit  la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=K\mathrm{e}^{\frac{x}{16}}$ où $K$ est un réel quelconque.

On a  pour tout réel $x$ on a $h'(x)=K\frac{1}{16}\mathrm{e}^{\frac{x}{16}}=\frac{1}{16}h(x)$.

La fonction $h$ est bien une solution de l'équation différentielle (E), $y'=\frac{1}{16}y$.

Les fonctions de la forme $x\mapsto K\mathrm{e}^{\frac{x}{16}}$ sont des solutions de l'équation différentielle (E).

\vspace{0.5 cm}

Réciproquement, soit $\varphi$ une solution de l'équation différentielle (E), $y'=\frac{1}{16}y$.

et $\psi$ la fonction définie sur $\R$ par $\psi(x)=\frac{\varphi(x)}{\mathrm{e}^{\frac{x}{16}}}$.

La fonction $\psi$ est bien  définie sur $\R$ car pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{\frac{x}{16}}\neq0$, elle est dérivable en tant que quotient de fonctions dérivables.

Deplus on a

$\begin{array}{ll}
 \rule[8mm]{6mm}{0mm}\psi'(x)=\frac{g'(x)\mathrm{e}^{\frac{x}{16}}-\frac{1}{16}g(x)\mathrm{e}^{\frac{x}{16}}}{{(\mathrm{e}^{\frac{x}{16}})}^2}
\;\mbox{ or\quad} g'(x)=\frac{1}{16}g(x)\\

 \rule[8mm]{6mm}{0mm}\psi'(x)=\frac{\frac{1}{16}g(x)\mathrm{e}^{\frac{x}{16}}-\frac{1}{16}g(x)\mathrm{e}^{\frac{x}{16}}}{{(\mathrm{e}^{\frac{x}{16}})}^2}\\

 \rule[8mm]{6mm}{0mm}\psi'(x)=0.
\end{array}$

On en déduit que la fonction $\psi$ est constante.  

On en déduit que  pour tout réel $x$, $\psi(x)=\frac{\varphi(x)}{\mathrm{e}^{\frac{x}{16}}}=K$ et donc 
$\phi(x)=K\mathrm{e}^{\frac{x}{16}}$.


Conclusion : l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) sont les fonctions de la forme $x\mapsto K\mathrm{e}^{\frac{x}{16}}$ où $K$ est un réel quelconque.



\item Si $y$ est une solution  de l'\'equation diff\'erentielle (E), $y = K\text{e}^{\frac{x}{16}}$ avec la condition iniale $y(0) = - 4$ entra\^{\i}ne $y(0) = K = - 4$.\\
Finalement $y(x) = - 4\text{e}^{\frac{x}{16}}$.

\end{enumerate}

\item D'apr\`es la question \textbf{1.} $f(0) = - 4$ et $f$ est solution de (E).\\
D'apr\`es la question \textbf{2.} $f(x) = - 4\text{e}^{\frac{x}{16}}$.\\
On peut calculer $f'(x) = - 4 \times \dfrac{1}{16}\text{e}^{\frac{x}{16}} = - \dfrac{1}{4}\text{e}^{\frac{x}{16}}.$\\
On v\'erifie que $f(-x) \times f'(x) = - 4\text{e}^{\frac{-x}{16}}\times 
- \dfrac{1}{4}\text{e}^{\frac{x}{16}} = 1$ et $f(0) = -4$.

Conclusion  

la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = - 4\text{e}^{\frac{x}{16}}$ est l'unique fonction derivable sur $\R$  v\'erifiant les conditions  (C).
\end{enumerate}







\end{document}
