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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bibliographystyle{unsrt}
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\def\noi{\noindent}
\newcounter{papa}
\newcommand{\try}[1]{\refstepcounter{papa}

\vspace{.2cm}

  \psshadowbox*[fillcolor=0.9white,framearc=.5]{\textbf{ \Forward\, Exercice \thepapa \, #1 } }  \par\nobreak 

\normalsize
 \vspace{0.2cm} }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}



\pagestyle{fancy}

\lhead{TS }
\chead{\begin{large}Nombres complexes : forme algébrique \end{large}}
\rhead{}
\lfoot{}
\cfoot{}





\setcounter{papa}{3}



\begin{center}\begin{large}\textbf{Ensemble de points}\end{large}\end{center}

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
\try{}
On a $(z-1)^2$, on cherche a en déterminer les parties réelle et imaginaire.
 
$\begin{array}{l}
 (z-1)^2=(x+\mathrm{i}y -1)^2 \\
 (z-1)^2=(x-1+\mathrm{i}y)^2\\
 (z-1)^2=(x-1)^2+2(x-1)y\mathrm{i}-y^2\\
 (z-1)^2=(x-1)^2-y^2+2(x-1)y\mathrm{i}\\
 \end{array}
$

La partie réelle de $(z-1)^2$ est $(x-1)^2-y^2$ et la partie imaginaire est $2(x-1)y$.


\begin{enumerate}[a)]
 \item  $(z-1)^2$ réel équivaut à $2(x-1)y=0$ soit $x=1$ ou $y=0$

L'ensemble cherché est donc deux droites d'équations respectives $D_1\,:\, x=1$ et $D_2\,:\,y=0$.

\item  $(z-1)^2$ imaginair pur équivaut à $(x-1)^2-y^2=0$ 

$\begin{array}{l}
(x-1)^2-y^2=0\\
(x-1-y)(x-1+y)=0
 \end{array}
$
soit $y=x-1$ ou $y=-x+1$

L'ensemble cherché est donc deux droites d'équations respectives $D_3\,:\, y=x-1$ et $D_4\,:\,y=-x+1$.

\end{enumerate}


\try{}
On a

 $\begin{array}{l}
 z+\overline{z}+z\overline{z}=0\\
x+\mathrm{i}y +(x-\mathrm{i}y)+x^2+y^2=0\\
x^2+2x+y^2=0\\
(x+1)^2-1+y^2=0\\
(x+1)^2+y^2=1
 \end{array}
$

L'ensemble cherché est un cercle de centre $I(-1;0)$ et de rayon $R=1$.


\vspace{0.2 cm}
\begin{center}
\begin{large}\textbf{Équations du second, troisième et quatrième degré}\end{large} \end{center}


\try{}
soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{C}$ par

$f(z)=z^2+z+1$

\begin{enumerate}
\item 

$f(z)=z^2+z+1=0$

Les coefficients de cette équation du second degré sont réelles on a donc 

$\Delta=-3$ et $z_1=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$    et $z_2=\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$.

 \item Un nombre complexe $z$ est invariant par $f$ si et seulement si $f(z)=z$.

$\begin{array}{l}
  z^2+z+1=z\\
z^2+1=0\\
z_3=\mathrm{i} \mbox{ ou } z_4=-\mathrm{i}
 \end{array}$

\item Quels sont les nombres complexes dont l'image par $f$ est un réel ?

On a $\begin{array}{l}
 z^2+z+1\\
x^2-y^2 +2xy\mathrm{i}+ x+\mathrm{i}y +1
 \end{array}
$

La partie réelle de $z^2+z+1$ est $x^2-y^2+1$ et la partie imaginaire est $2xy+y$.

 $z^2+z+1$ est un réel si et seulement si $(2x+1)y=0$ soit $x=-\frac{1}{2}$ ou $y=0$.

Il s'agit donc des nombres complexes de la forme $z=x$ ou $z'=-\frac{1}{2}+\mathrm{i}y$ avec $x$ et $y$ des réels.

\end{enumerate}

\try{}
 Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :
\begin{enumerate}
 \item  $z^2-2z+26=0$ classique $\Delta=-100$, $z_1=1-5\mathrm{i}$ et $z_2=1+5\mathrm{i}$
\item $z^4-8z^2-9=0$  (faute de frappe dans l'énoncé), il s'agit d'une équation bicarré poser $Z=z^2$

on obtient $Z^2-8Z-9=0 \ldots\ldots$  $S=\left\lbrace -\mathrm{i}; \mathrm{i}; -3; 3\right\rbrace$.
\end{enumerate}

\try{}

Soit $(E)$ l'équation $z^3-5z^2+19z+25=0$.

\begin{enumerate}
 \item Montrer que $-1$ est une solution de $(E)$.

$-1-5-19+25=-25+25=0$  le nombre $-1$ est bien solution de l'équation  $(E)$.

\item

On cherche $a$ tel que pour tout $z \in \mathbb{C}$ on ait
 $\begin{array}{l}
    z^3-5z^2+19z+25=(z+1)(z^2+az+25)\\
    z^3-5z^2+19z+25=z^3+(a+1)z^2+(a+25)z+25\\
   \end{array}
$

On identifie 

 $\left\lbrace \begin{array}{l}
   a+1=-5\\
 a+25=19\\
  \end{array}\right. \Leftrightarrow  \left\lbrace \begin{array}{l}
   a=-5-1\\
 a=19-25\\
  \end{array}\right.$
d'où $a=-6$.



\item Résoudre l'équation $(E)$ dans $\mathbb{C}$.

$ \begin{array}{l}
z^3-5z^2+19z+25=0\\
(z+1)(z^2-6z+25)=0
  \end{array}$

$z_1=-1$ où $z^2-6z+25=0$ $\Delta=-64$, $z_2=3-4\mathrm{i}$ et $z_3=3+4\mathrm{i}$

$S=\left\lbrace-1; 3-4\mathrm{i}; 3+4\mathrm{i} \right\rbrace $
\end{enumerate}

\try{}

À tout complexe $z$ $\displaystyle{\left(z\neq\frac{1}{2}\right)}$,
on associe le complexe $Z$ défini par :
$$Z=\frac{z-2}{2z-1}$$

 \begin{enumerate} %
\item Déterminer les valeurs de $z$ telles que $Z=z$.

$ \begin{array}{l}
   Z=z\\
\frac{z-2}{2z-1}=z\\
z-2=z(2z-1)\\
2z^2-2z+2=0\\
z^2-z+1=0\\
  \end{array}$

$z_1=\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$ et $z_2=\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$

\item Déterminer les valeurs de $z$ telles que $Z=-z$.

$ \begin{array}{l}
   Z=-z\\
\frac{z-2}{2z-1}=-z\\
z-2=-z(2z-1)\\
2z^2-2=0\\
z^2-1=0\\
  \end{array}$

$z_3=-1$ et $z_4=1$.
\item Déterminer les valeurs de $z$ telles que $Z=z^2$(une des valeurs
trouvées précédemment convient).

$ \begin{array}{l}
   Z=z^2\\
\frac{z-2}{2z-1}=z^2\\
z-2=z^2(2z-1)\\
2z^3-z^2-z+2=0\\

  \end{array}$

$-1$ est une solution car $-2-1+1+2=0$

On cherche à déterminer $a$ tel que 
$ \begin{array}{l}
(z+1)(2z^2+az+2)=2z^3-z^2-z+2 \\
2z^3+(2+a)z^2+(a+2)z+2=2z^3-z^2-z+2
  \end{array}$

on en déduit que $a+2=-1$ d'où $a=-3$.

$2z^3-z^2-z+2=0 \, \Leftrightarrow \,(z+1)(2z^2-3z+2)=0$

Les solutions sont $S=\left\lbrace-1; \frac{3-\mathrm{i}\sqrt{7}}{4}; \frac{3+\mathrm{i}\sqrt{7}}{4}\right\rbrace  $


\end{enumerate}

\try{extrait Bac S 2008}

 Soit A, B et I les points d'affixes respectives 1 + i, $3 - \text{i}$ et 2. 

 À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = z^2 - 4z$. 
 
\begin{enumerate}

\item   Calculer les affixes des points A$'$ et B$'$, images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ?

On a

$\begin{array}{l}
  z_{A'}=(1+\mathrm{i})^2-4*(1+\mathrm{i})\\
 z_{A'}=1+2 \mathrm{i} -1-4-4\mathrm{i}\\
 z_{A'}=-4-2\mathrm{i}\\

 \end{array}
$


$\begin{array}{l}
  z_{B'}=(3-\mathrm{i})^2-4*(3-\mathrm{i})\\
 z_{B'}=9-6 \mathrm{i} -1-12+4\mathrm{i}\\
 z_{B'}=-4-2\mathrm{i}\\
 \end{array}
$


On remarque que $A'$ et $B'$ sont confondus, les points $A$ et $B$ ont même image.

\item   Déterminer les points qui ont pour image le point d'affixe $- 5$.

$\begin{array}{l}
-5 = z^2 - 4z\\
z^2 - 4z+5=0
 \end{array}
$

On a $\Delta=-4$ d'où $z_1=2-\mathrm{i}$ et $z_2=2+\mathrm{i}$

les points qui ont pour image $-5$ sont $P(2-\mathrm{i})$ et $Q(2+\mathrm{i})$.

\item    Vérifier que pour tout nombre complexe $z$ on a :



$\begin{array}{l}
(z - 2)^2=z^2-4z+4\\
(z - 2)^2=z'+4\\
 \end{array}
$.
	
\end{enumerate}
 
 




\end{document}
